Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime

[Professor Puntje]

Klopt dit?

Waarom is de boven gegeven definitie van een raakvector in een punt p aan de m-dimensionale variëteit \( \mathcal{M} \) onafhankelijk van de gekozen kaartafbeelding φ? Laat φ₁ en φ₂ kaartafbeeldingen zijn die beide het punt p in hun domein hebben. Laat verder σ₁ en σ₂ twee volgens de kaartafbeelding φ₁ in p equivalente krommen zijn. Dan hebben we met uⁱ de functie die de i-de coördinaat geeft voor i = 1, 2, 3, ... , m dat:

\(\)

\( \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)

\(\)

\( \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)

\(\)

\( \left ( \mathcal{J}( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 ) \right )_{ \mathbf{x} = \varphi_1(p) } \cdot \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \mathcal{J}( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 ) \right )_{ \mathbf{x} = \varphi_1(p) } \cdot \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)

\(\)

\( \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 \circ \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 \circ \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)

\(\)

\( \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)

\(\)

\( \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_2 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_2 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)

\(\)

Dus dan zijn σ₁ en σ₂ ook volgens de kaartafbeelding φ₂ in p equivalente krommen aan \( \mathcal{M} \) .

[Professor Puntje]

Die oefening uit hetzelfde boek is ook nog wel even interessant.

[flappelap]

Klopt dit?

Waarom is de boven gegeven definitie van een raakvector in een punt p aan de m-dimensionale variëteit \( \mathcal{M} \) onafhankelijk van de gekozen kaartafbeelding φ? Laat φ₁ en φ₂ kaartafbeeldingen zijn die beide het punt p in hun domein hebben. Laat verder σ₁ en σ₂ twee volgens de kaartafbeelding φ₁ in p equivalente krommen zijn. Dan hebben we met uⁱ de functie die de i-de coördinaat geeft voor i = 1, 2, 3, ... , m dat:

\(\)

\( \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)

\(\)

\( \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)

\(\)

\( \left ( \mathcal{J}( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 ) \right )_{ \mathbf{x} = \varphi_1(p) } \cdot \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \mathcal{J}( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 ) \right )_{ \mathbf{x} = \varphi_1(p) } \cdot \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)

\(\)

\( \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 \circ \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 \circ \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)

\(\)

\( \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)

\(\)

\( \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_2 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_2 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)

\(\)

Dus dan zijn σ₁ en σ₂ ook volgens de kaartafbeelding φ₂ in p equivalente krommen aan \( \mathcal{M} \) .

Ik snap zo 123 niet exact wat hier allemaal gebeurt, maar dan zou ik ook weer heel nauwkeurig naar al die definities moeten kijken, en dat mag iemand anders doen

[Professor Puntje]

OK - dank in elk geval zover.

Dan hoop ik maar dat er hier ook nog andere leden zijn die er verstand van hebben.

[Professor Puntje]

Laat σ₁ en σ₂ equivalente krommen in de m-dimensionale differentieerbare variëteit \( \mathcal{M} \) zijn die door het punt p van \( \mathcal{M} \) lopen waarbij σ₁(0) = σ₂(0) = p. Dan weten we dat voor alle kaartafbeeldingen φ die het punt p in hun domein hebben voor i = 1 t/m m geldt dat:

\(\)

\( \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)

\(\)

Verder hebben we de definitie:

\(\)

\( v(f) = \left ( \frac{d \, (f \circ \sigma)}{d t} \right )_{t=0} \,\,\,\, \mbox{met} \,\,\,\, \sigma \in v \)

\(\)

Deze definitie is voor dus voor iedere raakvector v onafhankelijk van de gekozen kromme σ uit de equivalentieklasse v indien de functie f van \( \mathcal{M} \) naar \( \mathbb{R}\) kan worden geschreven in de vorm:

\(\)

\( f = u^i \circ \varphi \)

\(\)

Waarbij uⁱ de projectiefunctie is die voor punten in \( \mathbb{R}^m \) de i-de coördinaat oplevert en φ een kaartafbeelding is van een omgeving van p in \( \mathcal{M} \) naar \( \mathbb{R}^m \).

Rest de vraag welke functies f daaraan voldoen...

[Professor Puntje]

Ik ben nu aan Ray D'Inverno's Introducing Einstein's Relativity begonnen.