ukster schreef: ↑wo 21 jul 2021, 18:56
Om jouw vraag verder te kunnen beantwoorden moet het verband tussen x en y bekend zijn.
In bovenstaande post geef je 1 vergelijking met 2 onbekenden (x en y).
We hebben dus nog een vergelijking in x en y nodig om het probleem op te lossen.
(Terzijde: zoals je zelf al schreef is er mogelijk wat mis met je vergelijking: je waarde van x lijkt te kloppen, de waarde van y niet.)
Hier nog een trigonometrische poging, gebaseerd op jouw plaatje:
![vierkant4](./download/file.php?id=34840&sid=f28cb4dd45a78dd944a5042e847c1dc8)
- vierkant4 3356 keer bekeken
Kies
R = 1, en noem
∠BAF=α⇒tanα=1−x
∠DCF=γ⇒tanγ=x
[1] In gelijkbenige driehoek CEF geldt dan:
∠EFC=α+γ=∠ECF⇒∠CEF=180∘−2α−2γ
en omdat CF² = R² + x² = 1 + x² geldt volgens de cosinusregel op hoek CEF:
1+x2=y2+y2−2y2cos(180∘−2α−2γ)
1+x2=y2+y2+2y2cos(2α+2γ)
1+x2=2y2(1+cos(2α+2γ))
1+x2=2y2(2cos2(α+γ))
y2=1+x24cos2(α+γ)
[2] En in gelijkbenige driehoek CDE geldt:
∠DCE=α+2γ=∠CED⇒∠CDE=180∘−2α−4γ
Hier geldt volgens de cosinusregel op hoek CDE:
y2=R2+R2−2R2cos(180∘−2α−4γ)
en omdat R = 1:
y2=2(1+cos(2α+4γ))
y2=4cos2(α+2γ)
Uit
[1] en
[2] volgt
4cos2(α+2γ)=1+x24cos2(α+γ)
16cos2(α+2γ)cos2(α+γ)−1−x2=0
Nu kunnen we deze formule omzetten naar een uitdrukking in
x, cos(α), sin(α), cos(γ) en sin(γ),
vervolgens via trigonometrische gelijkheden in
x, tan(α) en tan(γ)
en tenslotten in uitsluitend machten van x (met behulp van tan(α) = 1-x en tan(γ) = x).
Hopelijk komt daar dan een gelijkheid met een lagere dan 6e graad van x uit.
Deze klus laat ik over aan een liefhebber.
Anderzijds kunnen we ook direct numeriek oplossen:
16cos2(atan(1−x)+2atan(x))⋅cos2(atan(1−x)+atan(x))−1−x2=0
Dit levert x = 0.2608634482264... , waardoor we net als eerder vinden:
q=1−xx=2.83342322122477...