Gauss’ heeltallen m + ni zijn complexe getallen waarbij m en n gehele getallen zijn.
Het product van twee Gauss’ heeltallen is altijd een Gauss’ heeltal. Zo is (2 – 3i)(3 – 4i) = –6 – 17i. Omgekeerd geldt, dat –6 – 17i ontbonden kan worden in twee Gauss’ heeltallen.
In het domein van de reële getallen heeft het priemgetal p precies twee delers, namelijk 1 en p.
Echte delers zijn er niet.
(Een deelverzameling van de reële priemgetallen is de verzameling Gauss’ priemgetallen. Die wil ik hier niet beschouwen. Ze zijn voor mijn vraag niet relevant.)
Ik vroeg me af, of er op dezelfde manier ook complexe priemgetallen zonder echte delers bestaan? Met andere woorden: zouden er Gauss’ heeltallen bestaan die niet ontbonden kunnen worden in twee Gauss’ heeltallen?
(a+bi)/i = b – ai. Kennelijk is elk Gauss’ heeltal deelbaar door i. Met de gemaakte afspraak zijn er blijkbaar geen complexe priemgetallen. Maar hoe zit het, als i niet als een echte complexe deler beschouwd wordt, net als bovengenoemde 1 en p? Dat spreek ik nu af.
Ik heb er enige gevonden: 1+2i 1+4i 1+6i 2+5i 2+7i en 2+9i. Ze bestaan dus!
Welk Gauss’ heeltal je ook bij deze voorbeelden als deler probeert, je stuit steeds op breuken.
Er bestaat geen formule waarmee je eindeloos (reële) priemgetallen kunt genereren.
Mogelijk bestaat er evenmin een formule voor de niet-ontbindbare complexe priemgetallen.
De voorbeelden geven geen enkele aanwijzing in welke richting gezocht zou moeten worden.
Ik heb niets over dit onderwerp in de wiskundeliteratuur gevonden.
Weet één van jullie meer over dit onderwerp?
Heeft u commentaar of vragen?