netto versnelling

[ukster]

Er is geen wrijving!
m=10kg
M=50kg
g=10m/s²

versnelling 3648 keer bekeken

Hoe groot is de netto versnelling van m ten opzichte van de grond?

[wnvl1]

Als ik neem

\(T=\frac{m\dot{x}^2}{2} + \frac{(m+M)(2\dot{x})^2}{2} \)

\(V=mgx \)

met x de afstand tot de grond, dan kom ik tot

\(a=\frac{mg}{5m+4M}\)

[wnvl1]

Maar ben de horizontale component van de versnelling vergeten....

[wnvl1]

Dus nog eens maal \(\sqrt5\)

[wnvl1]

Zo gaat beter zijn

\(T=\frac{m\dot{x}^2}{2} + \frac{(m+M)(\frac{\dot{x}}{2})^2}{2} \)
\(V=mgx \)
\(L=T-V \)
\(a=\sqrt{ \ddot{x}^2+(\frac{\ddot{x}}{2})^2 }\)

met x de afstand tot de grond.

[wnvl1]

Na Lagrange

\(a=\sqrt{5}\frac{4mg}{5m+M}\)

[wnvl1]

Na Lagrange

\(a=\sqrt{5}\frac{4mg}{5m+M}\)

\(a=\sqrt{5}\frac{2mg}{5m+M}\)

[ukster]

Dus als ik vergelijkingen opstel uit het FBD van M en het FBD van m omzeil ik Lagrange en krijg hetzelfde resultaat?

[Xilvo]

Zonder Lagrange:

\(v_x=v_y/2\)

De snelheid van de kleine massa:

\(v_m=\sqrt{vy^2+vx^2}=v_y\frac{\sqrt5}{2}\)

\(E_k=\frac{1}{2}mv_m^2+\frac{1}{2}Mv_x^2=\frac{5}{8}mv_y^2+\frac{1}{8}Mv_y^2=(\frac{5}{8}m+\frac{1}{8}M)v_y^2\)

\(\frac{dE_p}{dt}=mgv_y=\frac{dE_k}{dt}=(\frac{5}{8}m+\frac{1}{8}M)2v_ya_y\)

\(a_y=\frac{4mg}{5m+M}\)

Dit is de versnelling van de kleine massa in de verticale richting. De versnelling in de x-richting is twee maal zo klein.

De waarde die wnvl1 vindt is de totale versnelling van de kleine massa. Ik bereken hier de component in de y-richting.

[ukster]

Enkel de 2e wet van Newton geeft hetzelfde resultaat.

versnelling 3401 keer bekeken

[Xilvo]

FBD = free body diagram. Dat moest ik opzoeken.

Dat leidt inderdaad snel naar het juiste antwoord.

[Xilvo]

Massa, kracht:

\(F=m.a\)

Nu wordt de kracht via een hefboom/katrol of iets dergelijks overgebracht. Overbreng verhouding r. Als bijvoorbeeld r=2 dan beweegt de massa twee maal de afstand die het punt waarop de kracht wordt uitgeoefend aflegt.

Kracht F' op massa

\(F'=F/r\)

Versnelling massa a'

\(a'=F'/m\)

Versnelling a van punt waar kracht op uit geoefend wordt

\(a=a'/r=F'/(r.m)=F/(r^2.m)\)

De kracht "ziet" een effectieve massa \(m.r^2\)

Hier is de r, t.o.v. de verticale beweging, voor de kleine massa \(\frac{\sqrt{5}}{2}\), voor de grote massa \(\frac{1}{2}\)

De totale effectieve massa is

\(m_{eff}=\frac{5}{4}m+\frac{1}{4}M\)

wat met \(F=mg\)
weer tot

\(a_y=\frac{4mg}{5m+M}\)

leidt.