Steve Mould's nieuwe video van kettingfontein

[jkien]

Steve Mould laat in zijn nieuwe video van de kettingfontein de ketting vanaf groter hoogte dan ooit (45 m) vallen, en de boog werd anderhalve meter hoog, misschien wel een record. Hij is op zoek naar een nieuwe verklaring.

Hier op wetenschapsforum hadden we er in 2013-2014 twee topics over. (1, 2) Misschien komen we nu nog een stap verder.

[Professor Puntje]

Haha! Oude tijden herleven.

Onderstaand schetsje dat ik nog als "Bartjes" maakte is wellicht nog bruikbaar:

ketting-oud 4404 keer bekeken

[Professor Puntje]

Het boogje van de ketting kan in de praktijk - zoals te zien op de video's - allerlei vormen aannemen, maar voor het gemak gaan we hier uit van een halve cirkelboog. Verder nemen we aan dat de ketting (bij benadering) de lineaire dichtheid λ heeft. Ten slotte veronderstellen we de rek niet nul, maar in geometrische zin wel als verwaarloosbaar klein zodat daar afstandjes mee gemoeid zijn die je ten opzichte van de h, H en R mag verwaarlozen. Er gaat in die rek overigens wel energie zitten en die zullen we nu in de berekening meenemen. We gaan ervan uit dat de ketting voldoet aan:

\(\)

\( \Delta l = \mathrm{k} . \mathrm{l_0} . S \,\,\,\,\,\, (1) \)

\(\)

Met \( \Delta l \) de uitrekking (is lengtetoename), \( \mathrm{k} \) een "lineaire veerverhouding", \( \mathrm{l_0} \) de rustlengte, en \( S \) de trekkracht.

[Professor Puntje]

We kunnen formule (1) ook aldus schrijven:

\(\)

\( S = \frac{1}{\mathrm{k} \, \mathrm{l_0}} \cdot \Delta l \)

\(\)

Dus met veerconstante \( \mathrm{C} = \frac{1}{\mathrm{k} \, \mathrm{l_0}} \) wordt dat:

\(\)

\( S = \mathrm{C} \cdot \Delta l \)

\(\)

Zo vinden we de in de veer opgeslagen elastische energie \( E \) als:

\(\)

\( E = \frac{1}{2} \mathrm{C} \, (\Delta l)^2 \)

\(\)

\( E = \frac{1}{2} \frac{1}{\mathrm{k} \, \mathrm{l_0}} \, (\mathrm{k} \, \mathrm{l_0}\, S)^2 \)

\(\)

\( E = \frac{1}{2} \, \mathrm{k} \, \mathrm{l_0} \, S^2 \,\,\,\,\,\,\,\, (2) \)

[Professor Puntje]

Na een nachtje slapen denk ik nu dat we dat boogje in eerste aanzet bij de afleiding maar het beste helemaal kunnen negeren. Als we zo iets zinnigs vinden kan dat manco dan eventueel later nog worden gerepareerd. Ook wil ik nu van een iets aangepast tekeningetje uitgaan:

ketting-nieuw 4260 keer bekeken

[Professor Puntje]

Vraagje tussendoor: zijn de LaTeX formules voor de lezers wel zichtbaar?

[Xilvo]

Vraagje tussendoor: zijn de LaTeX formules voor de lezers wel zichtbaar?

Die in jouw berichten van 4 aug. zijn zichtbaar.

[Professor Puntje]

Vraagje tussendoor: zijn de LaTeX formules voor de lezers wel zichtbaar?

Die in jouw berichten van 4 aug. zijn zichtbaar.

Gelukkig! Op mijn laptop verschijnen ze soms wel en soms niet.

[Professor Puntje]

Aan de top van de ketting komt er in de stationaire situatie (v=constant) in een tijdje dt een stukje v.dt aan ketting met snelheid +v aan en vertrekt er in het zelfde tijdje dt weer een stukje v.dt aan ketting met snelheid -v. Op de top van de ketting moet er dus een kracht \( F_{top} \) werken waarvoor geldt:

\(\)

\( F_{top} = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t} \)

\(\)

\( F_{top} = \frac{ (\lambda \cdot v \mathrm{d} t) \cdot (-v) \,\, - \,\, (\lambda \cdot v \mathrm{d} t) \cdot (+v) }{\mathrm{d} t} \)

\(\)

\( F_{top} = - \lambda \, v^2 \,\, - \,\, \lambda \, v^2 \)

\(\)

\( F_{top} = - 2 \, \lambda \, v^2 \,\,\,\,\,\,\,\, (3) \)

\(\)

Wanneer we nu de verdere invloed en precieze vorm van het boogje aan de top negeren dan moet \( F_{top} \) worden opgebracht door de neerwaartse trekkrachten \( S_{top} \) in de ketting aan weerszijden van de top. Dus vinden we:

\(\)

\( -2 S_{top} = F_{top} \)

\(\)

\( -2 S_{top} = - 2 \, \lambda \, v^2 \)

\(\)

\( S_{top} = \lambda \, v^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\, (4) \)

[Professor Puntje]

Om te bewerkstelligen dat de ketting ter rechter zijde met een uniforme snelheid daalt moet het gewicht van de ketting aldaar precies gecompenseerd worden. Dus:

\(\)

\( S_{top} = (\mathrm{H} + h) \lambda \mathrm{g}\,\,\,\,\,\,\,\,\, (5) \)

\(\)

Combinatie van (4) en (5) geeft:

\(\)

\( \lambda v^2 = (\mathrm{H} + h) \lambda \mathrm{g} \)

\(\)

\( v^2 = (\mathrm{H} + h) \mathrm{g}\,\,\,\,\,\,\,\,\, (6) \)

\(\)

[Professor Puntje]

Het versnellen van de ketting uit bakje A vereist dat we in een tijdje dt een stukje ketting met lengte v.dt vanuit rust tot een snelheid v versnellen. Dit gaat in de praktijk gepaard met de nodige verliezen die we in een factor α (met 0 < α < 1) vangen. Voor de trekkracht \( S_A \) in de ketting net boven het bakje A vinden we dus:

\(\)

\( \alpha S_A = \frac{ v \mathrm{d}t \lambda \cdot v }{ \mathrm{d} t } \)

\(\)

\( \alpha S_A = \lambda v^2 \)

\(\)

\( S_A = \frac{\lambda v^2}{ \alpha} \,\,\,\,\,\,\,\, (7) \)

\(\)

En daarmee hebben we een paradox want dan zou \( S_A \) groter dan \( S_{top} \) (zie (4) ) zijn. Wie ziet de fout? (Ik niet in elk geval.)

[CoenCo]

Help me even. In je bericht van 12:15 komen ineens de variabelen p (in dp/dt) en lambda tevoorschijn.

Wat betekenen die?

Daarnaast gebruik je zowel F als S. Betekenen die hetzelfde?

[Professor Puntje]

Voor de impuls gebruik ik "p", en voor de lineaire dichtheid λ. De trekkracht in de ketting geef ik weer als "S" en meer in het algemeen een kracht als "F".

[Xilvo]

Hier een mooie en interessante simulatie:


Duidelijk is dat de maximale hoek tussen de componenten van de ketting van belang is.
Verder denk ik dat de aandacht vooral uit moet gaan naar wat in de bak gebeurt als de ketting zich daaruit los maakt.

Of de verklaring van Biggins en Warner helemaal juist is durf ik nog niet te zeggen.

[Professor Puntje]

Heel interessante video: met een flexibele ketting komt het zaakje inderdaad niet goed op gang. Aangezien dat gerommel in bakje A een nogal chaotisch proces is wordt het heel lastig daar met pen en papier aan te rekenen.

Als die verklaring het hele verhaal is mag een ketting met kralen met ruime tussenruimtes overigens nooit kunnen werken.