Kronecker delta's

[Professor Puntje]

Mag je als V daarbij de Minkowski-ruimte nemen?

[Math-E-Mad-X]

Mag je als V daarbij de Minkowski-ruimte nemen?

Ga zelf maar na: voldoet de Minkowski ruimte aan alle axioma's van een vectorruimte?

[Professor Puntje]

Ga zelf maar na: voldoet de Minkowski ruimte aan alle axioma's van een vectorruimte?

Ja - dat doet die. Dat de Minkowski-ruimte een raar inproduct heeft doet niets af aan het feit dat het een reële 4-dimensionale vectorruimte is. En daar kun je dan met de Minkowski-ruimte in de rol van V tensoren mee bouwen.

[Math-E-Mad-X]

Ga zelf maar na: voldoet de Minkowski ruimte aan alle axioma's van een vectorruimte?

Ja - dat doet die. Dat de Minkowski-ruimte een raar inproduct heeft doet niets af aan het feit dat het een reële 4-dimensionale vectorruimte is. En daar kun je dan met de Minkowski-ruimte in de rol van V tensoren mee bouwen.

Correct!

[Professor Puntje]

Maar dan had ik toch dezelfde tensoren gekregen wanneer ik \( \mathbb{R}^4 \) voor V had genomen? Het inproduct dat hier het verschil maakt is hierbij immers niet gebruikt....

[Math-E-Mad-X]

Maar dan had ik toch dezelfde tensoren gekregen wanneer ik \( \mathbb{R}^4 \) voor V had genomen? Het inproduct dat hier het verschil maakt is hierbij immers niet gebruikt....

Ja, althans, je moet voorzichtig zijn met woorden als 'dezelfde', want als je begint met twee verschillende vectorruimtes dan zijn de tensoren die je daarmee creëert per definitie verschillend, en vooral in de algemene relativiteitstheorie is dat ontzettend belangrijk.

Maar je idee is correct: het inproduct gebruik je niet in deze constructie, dus het maakt geen verschil of je uitgaat van \(\mathbb{R}^4\) met standaard inproduct of met Minkowski inproduct. Is dat een probleem?

In de relativiteitstheorie gebruikt men meestal sowieso geen inproduct, maar in plaats daarvan gebruikt men een expliciete (0,2) tensor die elementen uit \(V \times V\) afbeelt op \(\mathbb{R}\). Als je daar de kronecker delta \(\delta^{\mu\nu}\) voor gebruikt dan is het resultaat exact het standaard inproduct, en als je de Minkowski-metriek \(\eta^{\mu\nu}\) gebruikt dan krijg je het Minkowski-inproduct. En als je met gekromde tijd-ruimtes wil werken dan gebruik je een plaats-afhankelijke tensor \(g^{\mu\nu}\)

[flappelap]

Hoe zou je een vier-vector dan als een multi-lineaire functionaal definiëren?

Een tensor, in het algemeen, is het tensorproduct van een aantal vectoren en / of co-vectoren, of een som daarvan.
Waarbij het tensorproduct gedefinieerd is als een multilineaire afbeelding.

Dit klopt niet. Een tensor transformeert als een tensorproduct. Maar niet elke tensor is te schrijven als een tensorproduct. Dit is volgens mij niet het gangbare gebruik van de term "tensorproduct".

Hoe zou je een vier-vector dan als een multi-lineaire functionaal definiëren?

Niet multi-lineair, maar lineair

Een 4-vector in een punt is een lineaire afbeelding van de duale vectorruimte in dat punt naar R.

[Math-E-Mad-X]

Hoe zou je een vier-vector dan als een multi-lineaire functionaal definiëren?

Een tensor, in het algemeen, is het tensorproduct van een aantal vectoren en / of co-vectoren, of een som daarvan.
Waarbij het tensorproduct gedefinieerd is als een multilineaire afbeelding.

Dit klopt niet. Een tensor transformeert als een tensorproduct. Maar niet elke tensor is te schrijven als een tensorproduct. Dit is volgens mij niet het gangbare gebruik van de term "tensorproduct".

Klopt, maar daarom zei ik ook: "of een som daarvan"

Ik bedoelde dus dat een tensor te schrijven is als de som van een aantal termen die elk weer te schrijven zijn als een tensorproduct van vectoren en/of co-vectoren.

[flappelap]

Een tensor, in het algemeen, is het tensorproduct van een aantal vectoren en / of co-vectoren, of een som daarvan.
Waarbij het tensorproduct gedefinieerd is als een multilineaire afbeelding.

Dit klopt niet. Een tensor transformeert als een tensorproduct. Maar niet elke tensor is te schrijven als een tensorproduct. Dit is volgens mij niet het gangbare gebruik van de term "tensorproduct".

Klopt, maar daarom zei ik ook: "of een som daarvan"

Ik bedoelde dus dat een tensor te schrijven is als de som van een aantal termen die elk weer te schrijven zijn als een tensorproduct van vectoren en/of co-vectoren.

Ah, ok, slordig lezen inderdaad