Allerlei tensor-vragen

[Professor Puntje]

En wat natuurkundigen de coördinaten x of x' van een punt p in een manifold M noemen zijn dus eigenlijk de beelden φ(p) of φ'(p) onder de twee kaartafbeeldingen φ of φ' van een deelverzameling van M naar Rⁿ ...?

[flappelap]

En wat natuurkundigen de coördinaten x of x' van een punt p in een manifold M noemen zijn dus eigenlijk de beelden φ(p) of φ'(p) onder de twee kaartafbeeldingen φ of φ' van een deelverzameling van M naar Rⁿ ...?

Ja, volgens mij wel.

[Math-E-Mad-X]

Juist - ik vond het al vreemd dat er in kromlijnige coördinatenstelsels zoiets als basisvectoren zouden bestaan, maar die zitten dus voor punten p van de manifold in de raakruimte V_p en daaraan duale co-raakruimte V*_p aan punten p van de manifold.

Inderdaad!

En wat natuurkundigen de coördinaten x of x' van een punt p in een manifold M noemen zijn dus eigenlijk de beelden φ(p) of φ'(p) onder de twee kaartafbeeldingen φ of φ' van een deelverzameling van M naar Rⁿ ...?

Correct!

[Professor Puntje]

Mooi - ik ga nu even uitproberen of ik ook zelf een formele constructie van een raakruimte aan een punt van een manifold kan reproduceren.

[flappelap]

Neem als manifold b.v. een cirkel of boloppervlak. Dat helpt mij i.i.g. vaak.

[Professor Puntje]

Laat \( \mathcal{M} \) een n-dimensionale manifold zijn en laat \( \mathcal{D} \) een stukje van \( \mathcal{M} \) zijn. Onder de coördinaten \( x^i \) van een punt \( p \in \mathcal{D} \) volgens de kaartafbeelding \( \varphi = (\varphi^1, \varphi^2, ... , \varphi^n) \) van \( \mathcal{D} \) naar \( \mathbb{R}^n \) verstaan we dan de beelden \( \varphi^i(p) \) van p. Laat \( \mathbb{F} \) de verzameling van alle oneindig vaak differentieerbare functies van \( \mathcal{D} \) naar \( \mathbb{R} \) zijn. Deze verzameling \( \mathbb{F} \) vormt met de puntsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging een lineaire ruimte.

Voor punten p van \( \mathcal{D} \) en kaartafbeeldingen \( \varphi \) met \( \varphi(p) = (0, 0, ... , 0) \) die minstens het stukje \( \mathcal{D} \) naar \( \mathbb{R}^n \) afbeelden definiëren we de afbeelding \( \frac{\partial}{\partial x^i} \) van \( \mathbb{F} \) naar \( \mathbb{F} \) als de differentiaaloperator:

\(\)

\( \frac{\partial}{\partial x^i} f = \frac{\partial}{\partial x^i} (f \circ\varphi^{-1}) \)

\(\)

De differentiaaloperatoren van de vorm \( a^i \frac{\partial}{\partial x^i} \) met de \( a^i \) reële getallen vormen dan op de gebruikelijke manier ook weer een lineaire ruimte.

(Ben ik nog op de goede weg? Eerst even mijn formele definitie afronden, dan ga ik die daarna op een cirkel uitproberen.)

[Professor Puntje]

Nee - dit klopt nog niet. De differentiaaloperator levert functies van \( \mathbb{R}^n \) naar \( \mathbb{R} \) op. Maar ik denk niet dat dat een probleem is, want ook van de verzameling van die functies kun je een lineaire ruimte maken.

[Professor Puntje]

Even overnieuw:

Laat \( \mathcal{M} \) een n-dimensionale manifold zijn en laat \( \mathcal{D} \) een stukje (= een open deelverzameling) van \( \mathcal{M} \) zijn. Onder de coördinaten \( x^i \) van een punt \( p \in \mathcal{D} \) volgens de kaartafbeelding \( \varphi = (\varphi^1, \varphi^2, ... , \varphi^n) \) van \( \mathcal{D} \) naar \( \mathbb{R}^n \) verstaan we dan de beelden \( \varphi^i(p) \) van p. Laat \( \mathbb{F} \) de verzameling van alle (via de inverse kaartafbeeldingen) oneindig vaak differentieerbare functies van \( \mathcal{D} \) naar \( \mathbb{R} \) zijn. Deze verzameling \( \mathbb{F} \) vormt met de puntsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging een lineaire ruimte. Op een zelfde manier vormt ook de verzameling \( \mathbb{G} \) van alle functies van \( \mathbb{R}^n \) naar \( \mathbb{R} \) een lineaire ruimte. Laat verder \( \mathbb{H} \) de verzameling van alle functies van \( \mathbb{F} \) naar \( \mathbb{G} \) zijn, dan vormt \( \mathbb{H} \) op de gebruikelijke wijze ook weer een lineaire ruimte.

Voor punten p van \( \mathcal{D} \) en kaartafbeeldingen \( \varphi \) van \( \mathcal{D} \) naar \( \mathbb{R}^n \) met \( \varphi(p) = (0, 0, ... , 0) \) definiëren we de afbeelding \( \frac{\partial}{\partial x^i} \) van \( \mathbb{F} \) naar \( \mathbb{G} \) als de differentiaaloperator:

\(\)

\( \frac{\partial}{\partial x^i} f = \frac{\partial}{\partial x^i} (f \circ\varphi^{-1}) \)

\(\)

Dat levert ons voor alle punten p van \( \mathcal{D} \) en kaartafbeeldingen \( \varphi \) van \( \mathcal{D} \) naar \( \mathbb{R}^n \) met \( \varphi(p) = (0, 0, ... , 0) \) dus een n-tal bijbehorende afbeeldingen (differentiaaloperatoren) \( \frac{\partial}{\partial x^i} \) van \( \mathbb{F} \) naar \( \mathbb{G} \) op. De differentiaaloperatoren \( \frac{\partial}{\partial x^i} \) van \( \mathbb{F} \) naar \( \mathbb{G} \) zijn elementen van de lineaire ruimte \( \mathbb{H} \) zodat de verzameling van alle lineaire combinaties van de differentiaaloperatoren \( \frac{\partial}{\partial x^i} \) van \( \mathbb{F} \) naar \( \mathbb{G} \) een lineaire deelruimte van \( \mathbb{H} \) vormen. Deze bij p horende vectorruimte noemen we de raakruimte \( V_p \).

We bekijken nu twee kaartafbeeldingen \( \varphi \) en \( \varphi' \) met de bijbehorende coördinatenstelsels x en x'. Dan komt er voor alle \( f \in \mathbb{F} \) en reële \( X'^{i'} \):

\(\)

\( [ X'^{i'} \frac{\partial}{\partial x'^{i'}} ](f) = X'^{i'} \frac{\partial}{\partial x'^{i'}} (f \circ\varphi'^{-1}) \)

\(\)

\( [ X'^{i'} \frac{\partial}{\partial x'^{i'}} ](f) = X'^{i'} \frac{\partial}{\partial x'^{i'}} (f \circ ( \varphi^{-1} \circ \varphi ) \circ \varphi'^{-1}) \)

\(\)

\( [ X'^{i'} \frac{\partial}{\partial x'^{i'}} ](f) = X'^{i'} \frac{\partial}{\partial x'^{i'}} ((f \circ \varphi^{-1}) \circ ( \varphi \circ \varphi'^{-1})) \)

\(\)

\( [ X'^{i'} \frac{\partial}{\partial x'^{i'}} ](f) = X'^{i'} \frac{\partial f \circ \varphi^{-1}}{\partial x^i} \frac{\partial x^i}{\partial x'^{i'}} \)

\(\)

\( [ X'^{i'} \frac{\partial}{\partial x'^{i'}} ](f) = X'^{i'} ( \frac{\partial}{\partial x^i} f ) \,\, \frac{\partial x^i}{\partial x'^{i'}} \)

\(\)

\( [ X'^{i'} \frac{\partial}{\partial x'^{i'}} ](f) = X'^{i'} \frac{\partial x^i}{\partial x'^{i'}} \,\, \frac{\partial}{\partial x^i} f \)

\(\)

\( [ X'^{i'} \frac{\partial}{\partial x'^{i'}} ](f) = [ (X'^{i'} \frac{\partial x^i}{\partial x'^{i'}}) \,\, \frac{\partial}{\partial x^i} ](f) \)

\(\)

Dus alle vectoren die als een lineaire combinatie van de afbeeldingen (differentiaaloperatoren) \( \frac{\partial }{\partial x'^{i'}} \) van \( \mathbb{F} \) naar \( \mathbb{G} \) geschreven kunnen worden kunnen ook als een lineaire combinatie van de afbeeldingen (differentiaaloperatoren) \( \frac{\partial}{\partial x^i} \) van \( \mathbb{F} \) naar \( \mathbb{G} \) geschreven worden. Met andere woorden de raakruimte \( V_p \) is onafhankelijk van de als uitgangspunt gekozen kaartafbeelding \( \varphi \) (of \( \varphi' \)) van \( \mathcal{D} \) naar \( \mathbb{R}^n \).

[Professor Puntje]

Neem als manifold b.v. een cirkel of boloppervlak. Dat helpt mij i.i.g. vaak.

En dan de raakruimte V_p aan p bepalen met als kaartafbeeldingen φ en φ' bijvoorbeeld:

\( \varphi(q) = \phi_q - \phi_p \,\,\, \mbox {voor} \,\,\, q \in \mathcal{D} \)

\( \varphi'(q) = (\phi_q - \phi_p)^3 \,\,\, \mbox {voor} \,\,\, q \in \mathcal{D'}\)

Zoiets?

[wnvl1]

Vraagje tussendoor... Welke software gebruik je voor je tekeningen? Ik vraag het maar omdat die zo mooi zijn.

[Professor Puntje]

Dank je! Ik gebruik de Linux versie van Paint. Dit progje:

Verder steek ik er ook veel tijd in, ten eerste omdat ik er lol in heb om een mooi en duidelijk schetsje te maken, en ten tweede omdat een vraagstuk daarmee al half is opgelost.

[Professor Puntje]

cirkel-manifold.png

En dan de raakruimte V_p aan p bepalen met als kaartafbeeldingen φ en φ' bijvoorbeeld:

\( \varphi(q) = \phi_q - \phi_p \,\,\, \mbox {voor} \,\,\, q \in \mathcal{D} \)

\( \varphi'(q) = (\phi_q - \phi_p)^3 \,\,\, \mbox {voor} \,\,\, q \in \mathcal{D'}\)

Zoiets?

Helaas dat mag niet! Zowel \( \frac{\partial x'}{\partial x} \) als \( \frac{\partial x}{\partial x'} \) moeten voor de kaartafbeeldingen \( \varphi \) en \( \varphi' \) op \( \mathcal{D} \cap \mathcal{D'} \) bestaan, maar voor \( \frac{\partial x}{\partial x'} \) gaat dat bij x' = 0 (d.w.z q=p) fout. Immers:

\(\)

\( x' = \varphi'(q) = ( \phi_q - \phi_p )^3 = \varphi^3(q) = x^3 \)

Zodat \( \frac{\partial x'}{\partial x} \) voor x = 0 (d.w.z. q=p) nul is, waardoor \( \frac{\partial x}{\partial x'} \) voor x = 0 niet bestaat.

[Math-E-Mad-X]

cirkel-manifold.png

En dan de raakruimte V_p aan p bepalen met als kaartafbeeldingen φ en φ' bijvoorbeeld:

\( \varphi(q) = \phi_q - \phi_p \,\,\, \mbox {voor} \,\,\, q \in \mathcal{D} \)

\( \varphi'(q) = (\phi_q - \phi_p)^3 \,\,\, \mbox {voor} \,\,\, q \in \mathcal{D'}\)

Zoiets?

Helaas dat mag niet! Zowel \( \frac{\partial x'}{\partial x} \) als \( \frac{\partial x}{\partial x'} \) moeten voor de kaartafbeeldingen \( \varphi \) en \( \varphi' \) op \( \mathcal{D} \cap \mathcal{D'} \) bestaan, maar voor \( \frac{\partial x}{\partial x'} \) gaat dat bij x' = 0 (d.w.z q=p) fout. Immers:

\(\)

\( x' = \varphi'(q) = ( \phi_q - \phi_p )^3 = \varphi^3(q) = x^3 \)

Zodat \( \frac{\partial x'}{\partial x} \) voor x = 0 (d.w.z. q=p) nul is, waardoor \( \frac{\partial x}{\partial x'} \) voor x = 0 niet bestaat.

Kies een makkelijker voorbeeld. Bijvoorbeeld:

\( \varphi(q) = \phi_q - \phi_p \,\,\, \mbox {voor} \,\,\, q \in \mathcal{D} \)

\( \varphi'(q) = 2\cdot (\phi_q - \phi_p) \,\,\, \mbox {voor} \,\,\, q \in \mathcal{D'}\)

[Professor Puntje]

Ah - dank! Die ga ik vandaag proberen.

[Professor Puntje]

Kies een makkelijker voorbeeld. Bijvoorbeeld:

\( \varphi(q) = \phi_q - \phi_p \,\,\, \mbox {voor} \,\,\, q \in \mathcal{D} \)

\( \varphi'(q) = 2\cdot (\phi_q - \phi_p) \,\,\, \mbox {voor} \,\,\, q \in \mathcal{D'}\)

Dan hebben we:

\(\)

\( x' = \varphi'(q) = 2 ( \phi_q - \phi_p ) = 2 \varphi(q) = 2x \)

\(\)

Zodat \( \frac{\partial x'}{\partial x} = 2 \) en \( \frac{\partial x}{\partial x'} = \frac{1}{2} \) , en dat is nu wel OK. De doorsnede van \( \mathcal{D} \) en \( \mathcal{D}' \) bestaat uit twee stukjes van de cirkel, namelijk de punten q op de cirkel met een hoek \( \phi_q \) tussen \( \phi_d \) en \( \phi_a \) en de punten q op de cirkel met een hoek \( \phi_b \) tussen \( \phi_c \). Het punt p waaraan we de raakruimte gaan bepalen ligt in het eerstgenoemde stukje dat we voor het gemak \( \mathcal{D}_p \) zullen noemen. We bezien hier verder de restricties van \( \varphi \) en \( \varphi' \) tot het domein \( \mathcal{D}_p \). Wat zijn nu \( \mathbb{F} \), \( \mathbb{G} \) en \( \mathbb{H} \)? De verzameling \( \mathbb{F} \) is de verzameling van alle (via de inverse kaartafbeeldingen) oneindig vaak differentieerbare functies van \( \mathbb{D}_p \) naar \( \mathbb{R} \). Deze verzameling \( \mathbb{F} \) vormt met de puntsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging een lineaire ruimte. Op een zelfde manier vormt ook de verzameling \( \mathbb{G} \) van alle functies van \( \mathbb{R} \) (n is hier 1) naar \( \mathbb{R} \) een lineaire ruimte. Laat verder \( \mathbb{H} \) de verzameling van alle functies (of beter gezegd afbeeldingen of operatoren) van \( \mathbb{F} \) naar \( \mathbb{G} \) zijn, dan vormt \( \mathbb{H} \) op de gebruikelijke wijze ook weer een lineaire ruimte.


Voor het punt p van \( \mathcal{D}_p \) en kaartafbeeldingen \( \varphi \) van \( \mathcal{D}_p \) naar \( \mathbb{R} \) met \( \varphi(p) = 0 \) definiëren we de afbeelding \( \frac{\partial}{\partial x} \) van \( \mathbb{F} \) naar \( \mathbb{G} \) als de differentiaaloperator:

\(\)

\( \frac{\partial}{\partial x} f = \frac{\partial}{\partial x} (f \circ\varphi^{-1}) \)

\(\)

Dat levert ons voor het punt p van \( \mathcal{D}_p \) en kaartafbeeldingen \( \varphi \) van \( \mathcal{D} \) naar \( \mathbb{R} \) met \( \varphi(p) = 0\) dus bijbehorende afbeeldingen (differentiaaloperatoren) \( \frac{\partial}{\partial x} \) van \( \mathbb{F} \) naar \( \mathbb{G} \) op. De differentiaaloperator \( \frac{\partial}{\partial x} \) van \( \mathbb{F} \) naar \( \mathbb{G} \) is een element van de lineaire ruimte \( \mathbb{H} \) zodat de verzameling van alle lineaire combinaties van de differentiaaloperator \( \frac{\partial}{\partial x} \) (die in dit geval slechts uit alle scalaire producten van een reëel getal met de differentiaaloperator bestaat) van \( \mathbb{F} \) naar \( \mathbb{G} \) een lineaire deelruimte van \( \mathbb{H} \) vormen. Deze bij p horende vectorruimte noemen we de raakruimte \( V_p \) aan p.

Het blijft al met al een erg abstract object die raakruimte, zelfs in een eenvoudig geval als dit. Maar goed - het is wel een keurige verzameling vectoren die kennelijk (moet ik nog bewijzen) ook nog eens afhankelijk van de gebruikte kaartafbeelding op de juiste wijze transformeert, dus \( V_p \) voldoet. Dat de raakruimte \( V_p \) onafhankelijk is van de als uitgangspunt gekozen kaartafbeelding hebben we al eerder bewezen.

(Wel is er nog iets schimmigs met het domein van de elementen van \( \mathbb{G} \). In \( \mathbb{G} \) zitten afbeeldingen, maar welk domein hebben die afbeeldingen? Is dat domein niet afhankelijk van de gebruikte kaartafbeeldingen?)