Afstand tussen twee punten in hogere dimensies

[flappelap]

Dit mag als de ruimte Euclidisch is, net als R2 en R3; Rn is daarvan een veralgemenisering, net als wanneer je van R2 naar R3 gaat. Maar er zijn nog vele andere manieren om afstanden ("normen") te definiëren. Elke norm definieert z'n eigen type ruimte.

Zo heb je b.v. de Minkowski ruimte-tijd. Daarin is de norm niet degene die jij geeft.

volgens mij maak je het onnodig ingewikkeld en daarom verwarrend door 2 stappen tegelijk te doen. De vraag ging in eerste instantie niet over gekromde ruimtes, maar over toevoegen van dimensies. Dus ik zou daar beginnen met het antwoord want dat antwoord was er volgens mij nog niet waarom je de redenatie mag doortrekken van 2D naar 3D naar nD. Dan zou daarna de volgende stap kunnen zijn om te kijken naar gekromde ruimtes.

Ik heb het ook nergens over gekromde ruimtes.

[tempelier]

Zoals u wenst.

Beschouw een punt is het P(x1,y1) XY vlak.
(als we het tekenen doen we dat voor het gemak in het eerste kwadrant.)
We trekken nu de lijnen l:x=x1 en m:y=y1 die gaan door P.
Deze lijnen lopen evenwijdig aan de assen
We trekken het lijnstuk OP en bereken de lengte van OP met Pythagoras.

-----------------------

De boel wordt nu op de natuurlijke wijze ingebed in de XYZ ruimte.
Hierin ligt punt Q(x1,y1,z1) dit punt ligt loodrecht boven het oude punt P(x1,x2,0)
We trekken nu van Q een loodlijn op het XY vlak.
Merk op dat deze lijn evenwijdig is met de Zas en ook loodrecht op het lijnstuk OP staat.
We trekken het lijnstuk OQ en bereken de lengte van OQ met Pythagoras.
----------------------------
Tor zover middelbare schoolstof.

----------------------------------

Vervolgens bedden we de XYZ ruimte op de natuurlijk manier in in de vier dimensionale ruimte XYZW
Daarin krijgt Q de coördinaten (x1,y1,z1, 0)

Neem een punt R(x1,y1, z1 ,w1)
We zetten nu het proces door en hier komt iets lastig voor sommige is:

We laten van uit R een loodlijn neer op de XYZ ruimte.
Deze loodllijk gaat dan door Q en staat loodrecht op OQ want hij staat loodrecht op de hele ruimte.
Merk op dat deze lijn evenwijdig is met de Was en ook loodrecht op het lijnstuk OQ staat.

In driehoek OQR kunnen we Pythagoras toepassen omdat Q recht is.

Waarmee de zaak rond is.

PS.
Voor een formeel bewijs moet het wel wat strenger, maar dan wordt het zo'n lang verhaal.

[Xilvo]

Grappigs, dat is dus exact wat ik ook al deed.

[tempelier]

Dit mag als de ruimte Euclidisch is, net als R2 en R3; Rn is daarvan een veralgemenisering, net als wanneer je van R2 naar R3 gaat. Maar er zijn nog vele andere manieren om afstanden ("normen") te definiëren. Elke norm definieert z'n eigen type ruimte.

Zo heb je b.v. de Minkowski ruimte-tijd. Daarin is de norm niet degene die jij geeft.

volgens mij maak je het onnodig ingewikkeld en daarom verwarrend door 2 stappen tegelijk te doen. De vraag ging in eerste instantie niet over gekromde ruimtes, maar over toevoegen van dimensies. Dus ik zou daar beginnen met het antwoord want dat antwoord was er volgens mij nog niet waarom je de redenatie mag doortrekken van 2D naar 3D naar nD. Dan zou daarna de volgende stap kunnen zijn om te kijken naar gekromde ruimtes.

Ik heb het ook nergens over gekromde ruimtes.

Klopt.

@Valerion heeft iets vergeten te vermelden wat formeel wel nodig is.

Het handelt zich kennelijk om een Euclidische Ruimte met orthonormaal assenstelsel voorzien van de natuurlijke metriek.
Dat is te vergeven; want meestal wordt dat stilzwijgend aangenomen.

[tempelier]

Grappigs, dat is dus exact wat ik ook al deed.

Nee dat is het niet.
Je onderbouwt je verhaal nauwelijks.

[tempelier]

volgens mij maak je het onnodig ingewikkeld en daarom verwarrend door 2 stappen tegelijk te doen. De vraag ging in eerste instantie niet over gekromde ruimtes, maar over toevoegen van dimensies. Dus ik zou daar beginnen met het antwoord want dat antwoord was er volgens mij nog niet waarom je de redenatie mag doortrekken van 2D naar 3D naar nD. Dan zou daarna de volgende stap kunnen zijn om te kijken naar gekromde ruimtes.

Ik heb het ook nergens over gekromde ruimtes.

Klopt.

@Valerion heeft iets vergeten te vermelden wat formeel wel nodig is.

Het handelt zich kennelijk om een Euclidische Ruimte met orthonormaal assenstelsel voorzien van de natuurlijke metriek.
Dat is te vergeven; want meestal wordt dat stilzwijgend aangenomen.

[Xilvo]

Grappigs, dat is dus exact wat ik ook al deed.

Nee dat is het niet.
Je onderbouwt je verhaal nauwelijks.

Lees het nog eens door, zou ik je aanraden.

[tempelier]

Er is iets mis gegaan mijn bericht staat nu bubbel.

[tempelier]

Grappigs, dat is dus exact wat ik ook al deed.

Nee dat is het niet.
Je onderbouwt je verhaal nauwelijks.

Lees het nog eens door, zou ik je aanraden.

Niet nodig dat heb ik gedaan.

[tempelier]

Er is natuurlijk een sterker bewijs te maken voor n-dim.

Extrapoleer de formule naar n-dim en bewijs dat het een metriek is.
Dat loopt wat soepeler.

[Xilvo]

Grappigs, dat is dus exact wat ik ook al deed.

Nee dat is het niet.
Je onderbouwt je verhaal nauwelijks.

Je mag eventuele fouten aanwijzen als je die ziet staan. Maar dan zul je wel eerst de moeite moeten nemen het goed te lezen en te begrijpen.
Dus graag goed onderbouwde kritiek of anders helemaal géén commentaar.

[tempelier]

Grappigs, dat is dus exact wat ik ook al deed.

Nee dat is het niet.
Je onderbouwt je verhaal nauwelijks.

Je mag eventuele fouten aanwijzen als je die ziet staan. Maar dan zul je wel eerst de moeite moeten nemen het goed te lezen en te begrijpen.
Dus graag goed onderbouwde kritiek of anders helemaal géén commentaar.

Nogmaals je beweert dat je de truc kont doorzetten naar een hogere dimensie.
Dat maak je echter niet waar, je deelt het slecht mee.

Dit is het wel wat mij betreft.

[Xilvo]

Dat maak je echter niet waar, je deelt het slecht mee.

Ik reken het je voor.

[HansH]

Dit mag als de ruimte Euclidisch is, net als R2 en R3; Rn is daarvan een veralgemenisering, net als wanneer je van R2 naar R3 gaat. Maar er zijn nog vele andere manieren om afstanden ("normen") te definiëren. Elke norm definieert z'n eigen type ruimte.

Zo heb je b.v. de Minkowski ruimte-tijd. Daarin is de norm niet degene die jij geeft.

Ik heb het ook nergens over gekromde ruimtes.

Euclidisch is toch niet gekromd? dus waar heb je het dan over? of maak je het nu nog verwarrender?

[Xilvo]

Ik heb het ook nergens over gekromde ruimtes.

Euclidisch is toch niet gekromd?

Dat is toch precies wat hij zegt?
Hij had het over Euclidische ruimte en over Minkowski ruimte-tijd. Geen van beide is gekromd.