Logaritmische benadering dosis-respons-curve

[PhilipVoets]

Dag,

Bij het plotten van een Michaelis-Menten-curve (een model dat in de geneeskunde veel gebruikt wordt voor het beschrijven van eenvoudige ligand-receptor-interacties en dus geschikt is voor een dosis-respons-model met als functie:

\(Y=K_1X/(X+K_2)\)

met

\(K_1\)

en

\(K_2\)

als constanten) viel mij op dat deze curve bijna perfect overlapt met de curve van de functie:

\(Y=C_1log(X) + C_2\)

met

\(C_1\)

en

\(C_2\)

als (andere!) constanten. Nu zocht ik naar een manier om deze "equivalentie" wiskundig te bewijzen (o.a. gekeken naar Taylor-series, etc.), but no luck! Nu vroeg ik me af of iemand het volgende zou kunnen bewijzen:

\(K_1X/(X+K_2)=C_1log(X) + C_2\)

Mijn dank is groter dan mijn woorden!

H. gr.
Philip Voets

[Xilvo]

In welk gebied wil je dat gebruiken?

\(Y=K_1X/(X+K_2)\)

nadert tot K₁ als x→∞ terwijl

\(Y=C_1log(X) + C_2\)

blijft groeien.

[PhilipVoets]

Excuses voor de onduidelijkheid: met name in de "schouder" van de curve, dus in het domein van X = 0 tot de X-waarde waarbij de Michaelis-Menten-curve richting plateau begint af te buigen.

[Xilvo]

Excuses voor de onduidelijkheid: met name in de "schouder" van de curve, dus in het domein van X = 0 tot de X-waarde waarbij de Michaelis-Menten-curve richting plateau begint af te buigen.

Maar ook daar krijg je een enorm verschil

\(Y=K_1X/(X+K_2)\)

nadert tot nul als x→0 terwijl

\(Y=C_1log(X) + C_2\)

naar -∞ (min oneindig) gaat als x→0.

Bewijzen dat ze gelijk zijn lukt nooit, want dat zijn ze niet.
Maar ongetwijfeld kun je ze in een beperkt gebied goed op elkaar laten lijken.

[PhilipVoets]

Dat snap ik, de functies zijn niet gelijk. Maar kan -bijvoorbeeld via een Taylor-serie o.i.d.- niet bewezen worden dat ze in het gebied van de schouder van de curve (zie groenomcirkelde gebied in bijlage) wél elkaar nagenoeg benaderen? Enkel afgaan op het timmermansoog zonder onderbouwing voelt wat magertjes...

Hartelijk dank alvast!

[Xilvo]

Ik kijk ernaar!
Dar zal waarschijnlijk niet meer vandaag zijn.

[PhilipVoets]

Mijn dank is groter dan mijn woorden!

[tempelier]

Log.jpg

Dat snap ik, de functies zijn niet gelijk. Maar kan -bijvoorbeeld via een Taylor-serie o.i.d.- niet bewezen worden dat ze in het gebied van de schouder van de curve (zie groenomcirkelde gebied in bijlage) wél elkaar nagenoeg benaderen? Enkel afgaan op het timmermansoog zonder onderbouwing voelt wat magertjes...

Hartelijk dank alvast!

Met Taylor zal het niet gaan, dat is een ontwikkeling ronde een punt en niet geschikt voor intervallen.
Wel is direct te zien dat het verschil van de twee voor x=10 13/60 is.

Ik heb kunnen bewijzen dat de afstand tussen de twee groter wordt vanaf x>4.1
Maar dat was op de hand zo goed als onmogelijk.

Ik heb hiervoor de afgeleide van het verschil van de twee krommen bepaald.
Veel gereken dat heb ik X-Maple laten doen.

[Xilvo]

Je wilt deze functies vergelijken:

\(y_1=\frac{k_1x}{x+k_2}\)

en

\(y_2=c_1\log(x) + c_2\)

Het verloop wordt bepaald door de afgeleides

\(\frac{dy_1}{dx}=\frac{k_1k_2}{(x+k_2)^2}\)

\(\frac{dy_2}{dx}=\frac{c_1}{x\ln(10)}\)

Om ze makkelijker te kunnen vergelijken gebruik ik de reciproken van de afgeleiden, z₁ en z₂

\(z_1=\frac{1}{k_1k_2}{(x+k_2)^2}\)

\(z_2=\frac{\ln(10)}{c_1}x\)

Dit zijn dus de omgekeerde van de helling, lagere waarde betekent een steilere grafiek!
z₁ is een parabool waarvan de waarde steeds sterker toeneemt naarmate x groter wordt (x>=0, k₂>0)
z₂ is een rechte lijn.

Er is maar een beperkt gebied waarbij de hellingen ongeveer dezelfde waardes hebben en het verloop dus ongeveer overeenkomt.
Je kunt de tweede natuurlijk altijd t.o.v. de eerste in verticale richting verschuiven door c₂ te veranderen; die komt in de (omgekeerde) afgeleide niet voor.
Hieronder het verloop van de functies en van z (originele functie in blauw, de benadering met de logaritme in rood).
k₁=5,5
k₂=2
c₁=2,6
c₂=2