Allerlei tensor-vragen

[Math-E-Mad-X]

Het blijft al met al een erg abstract object die raakruimte, zelfs in een eenvoudig geval als dit.

Intuitief is de raakruimte in het punt p niets anders dan de verzameling van infinitesimale pijltjes die je kunt tekenen vanuit het punt p. En die pijltjes heb je nodig om natuurkundige vector-grootheden zoals snelheden en krachten te kunnen beschrijven.

De kaartafbeeldingen heb je nodig om die pijltjes te kunnen uitdrukken in getallen. Bijvoorbeeld de rijvector (1,2,3) heeft alleen betekenis ten opzichte van één of ander coördinaten stelsel.

Om dit echt goed te begrijpen is het niet alleen belangrijk dat je alle definities en stelling kunt reproduceren, maar vooral ook dat je voor ieder detail in iedere definitie begrijpt waarom dat nodig is. Ik kan je dus aanraden om je alles wat je hier opgeschreven hebt nog eens stap voor stap na te gaan, en voor iedere stap bij jezelf na te gaan of je ook begrijpt waarom die stap nodig is, en hoe die stap samenhangt met het intuïtieve idee van 'infinitesimale pijltjes'.

[Professor Puntje]

Dat men van infinitesimale pijltjes uitgaat zal zijn omdat ook kromlijnige coördinaten er op infinitesimale schaal rechtlijnig uitzien.

[Math-E-Mad-X]

Dat men van infinitesimale pijltjes uitgaat zal zijn omdat ook kromlijnige coördinaten er op infinitesimale schaal rechtlijnig uitzien.

Dat kan je zo zien, maar dat is eigenlijk een iets andere benadering dan de benadering die jij hebt toegepast.

Er zijn namelijk twee gangbare definities van de raakruimte, namelijk de algebraïsche definitie en de definitie via paden in de manifold (ik ben even vergeten wat de naam voor die definitie is).

Jij hebt hierboven de algebraïsche definitie toegepast. In die definitie kun je het zo bekijken:
een pijltje in het punt p geeft een richting aan waarin je, vanuit het punt p, over de manifold kunt lopen. Als je in een bepaalde richting kunt lopen, dan kun je ook in die richting differentieren. Ieder 'pijltje' geeft dus eigenlijk een mogelijke richting aan waarin je kunt differentieren. Oftewel, ieder pijltje correspondeert met een differentiaaloperator.

Natuurlijk heeft een pijltje niet alleen een richting, maar ook een grootte, maar datzelfde geldt ook voor differentiaaloperatoren. Je kunt de lengte van een pijltje bijvoorbeeld met 2 vermenigvuldigen, en zo kun je ook een differntiaaloperator met 2 vermenigvuldigen (Als \(\frac{\partial}{\partial x}\) een differentiaaloperator is, dan is \(2\cdot \frac{\partial}{\partial x}\) dat ook.)

[Professor Puntje]

Die functies f zijn kennelijk een soort van test functies die dienen om de infinitesimale verplaatsingen in verschillende richtingen (de infinitesimale pijltjes) binnen de manifold kwantitatief uit te kunnen drukken. Als je voor een groot aantal verschillende test functies f weet hoe de functiewaarde van f bij een bepaalde infinitesimale verplaatsing van een punt p als argument naar een nabij liggend punt p' als argument verandert, dan kun je daaruit ook achterhalen in welke richting die infinitesimale verplaatsing van p naar p' heeft plaatsgevonden en "hoe groot" die verplaatsing in verhouding tot andere verplaatsingen in dezelfde richting dan wel was. Daarom kan de exact gedefinieerde differentiaaloperator het intuïtieve infinitesimale pijltje vervangen. Zoiets?

[Math-E-Mad-X]

Die functies f zijn kennelijk een soort van test functies die dienen om de infinitesimale verplaatsingen in verschillende richtingen (de infinitesimale pijltjes) binnen de manifold kwantitatief uit te kunnen drukken. Als je voor een groot aantal verschillende test functies f weet hoe de functiewaarde van f bij een bepaalde infinitesimale verplaatsing van een punt p als argument naar een nabij liggend punt p' als argument verandert, dan kun je daaruit ook achterhalen in welke richting die infinitesimale verplaatsing van p naar p' heeft plaatsgevonden en "hoe groot" die verplaatsing in verhouding tot andere verplaatsingen in dezelfde richting dan wel was. Daarom kan de exact gedefinieerde differentiaaloperator het intuïtieve infinitesimale pijltje vervangen. Zoiets?

Daar komt het inderdaad op neer ja.

[Professor Puntje]

(Wel is er nog iets schimmigs met het domein van de elementen van \( \mathbb{G} \). In \( \mathbb{G} \) zitten afbeeldingen, maar welk domein hebben die afbeeldingen? Is dat domein niet afhankelijk van de gebruikte kaartafbeeldingen?)

Dat probleem is op te lossen door te werken met "kiemen". Zie: https://nl.wikipedia.org/wiki/Kiem_(wiskunde)

[Professor Puntje]

Ik denk nu na correctie van de nodige conceptuele fouten dat het zo moet:


Laat \( \mathcal{M} \) een n-dimensionale manifold zijn en p een punt in \( \mathcal{M} \).

Laat \( \varphi = (\varphi^1, \varphi^2, ... , \varphi^n) \) een kaartafbeelding zijn van \( \mathcal{D} \) naar \( \mathbb{R}^n \) waarbij \( \mathcal{D} \) een open deelverzameling van \( \mathcal{M} \) is en \( \mathcal{D} \) ook het punt p bevat terwijl bovendien \( \varphi(p) = (0,0, ... ,0) \). Onder de coördinaten \( x^i \) van een punt \( q \in \mathcal{D} \) volgens de kaartafbeelding \( \varphi = (\varphi^1, \varphi^2, ... , \varphi^n) \) van \( \mathcal{D} \) naar \( \mathbb{R}^n \) verstaan we dan de beelden \( \varphi^i(q) \) van q.

Laat \( \mathbb{F} \) de verzameling van alle (via de inverse kaartafbeeldingen) oneindig vaak differentieerbare functies van \( \mathcal{M} \) naar \( \mathbb{R} \) zijn. Deze verzameling \( \mathbb{F} \) vormt met de puntsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging een lineaire ruimte. Dit geldt ook voor de verzameling \( \mathbb{G} \) van alle afbeeldingen van \( \mathbb{F} \) naar \( \mathbb{R} \).

Voor punten p van \( \mathcal{D} \) en kaartafbeeldingen \( \varphi \) als gezegd van \( \mathcal{D} \) naar \( \mathbb{R}^n \) met \( \varphi(p) = (0, 0, ... , 0) \) definiëren we nu de afbeelding \( \left ( \frac{\partial}{\partial x^i} \right )_p \) van \( \mathbb{F} \) naar \( \mathbb{R} \) als de differentiaaloperator:

\(\)

\( \left ( \frac{\partial}{\partial x^i}\right )_p f = \frac{\partial}{\partial x^i} (f \circ\varphi^{-1}) |_{\varphi(p)} \)

\(\)

Dat levert ons voor alle punten p van \( \mathcal{D} \) en kaartafbeeldingen \( \varphi \) van \( \mathcal{D} \) naar \( \mathbb{R}^n \) met \( \varphi(p) = (0, 0, ... , 0) \) dus een n-tal bijbehorende afbeeldingen (differentiaaloperatoren) \( \left ( \frac{\partial}{\partial x^i}\right )_p \) op. De differentiaaloperatoren \( \left ( \frac{\partial}{\partial x^i}\right )_p \) zijn elementen van de lineaire ruimte \( \mathbb{G} \) zodat de verzameling van alle lineaire combinaties van de differentiaaloperatoren \( \left ( \frac{\partial}{\partial x^i}\right )_p \) een lineaire deelruimte van \( \mathbb{G} \) vormen. Deze bij p horende vectorruimte noemen we de raakruimte \( V_p \).

[Professor Puntje]

De duale ruimte \( V^*_p \) van \( V_p \) bestaat uit alle lineaire functies van \( V_p \) naar \( \mathbb{R} \) en vormt met de gebruikelijke puntsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging net als \( V_p \) zelf een lineaire ruimte aan het punt p van de manifold \( \mathcal{M} \).

Daarmee hebben we dus voor de punten p van de differentieerbare manifold \( \mathcal{M} \) bijpassende raakruimten \( V_p \) en duale raakruimten \( V^*_p \) gevonden. Uitgaande van die raakruimten en duale raakruimten kunnen we nu voor punten p van \( \mathcal{M} \) op de gebruikelijke wijze weer tensoren bouwen als multi-lineaire functionalen naar \( \mathbb{R} \). En die zo gebouwde "raaktensoren" zijn dan uiteindelijk de dingen die natuurkundigen tensoren noemen.

[flappelap]

Waar ik aanvankelijk vooral moeite mee had was om partiële afgeleiden als basisvectoren te zien die een raakruimte 'opspannen'. Dat abstractiemuntje moest bij mij van ver komen

Bepaalde zaken begrijp ik overigens nog steeds niet, zoals de precieze relatie tussen de basisvectoren van de duale raakruimte en wat we normaliter onder 'infinitesimalen en maten dx' verstaan.

[Professor Puntje]

Waar ik aanvankelijk vooral moeite mee had was om partiële afgeleiden als basisvectoren te zien die een raakruimte 'opspannen'. Dat abstractiemuntje moest bij mij van ver komen

Die afbeeldingen zien eruit als partiële afgeleiden maar de formele definitie is wat ingewikkelder. Dat zag ik ook niet gelijk correct. Het bewijs dat ze inderdaad een basis vormen moet ik overigens nog leveren, dat ze de raakruimte opspannen heb ik (hoop ik) al wel aangetoond.

Bepaalde zaken begrijp ik overigens nog steeds niet, zoals de precieze relatie tussen de basisvectoren van de duale raakruimte en wat we normaliter onder 'infinitesimalen en maten dx' verstaan.

Een interessante vraag om later te bekijken, ik weet het antwoord daarop nu ook nog niet.

[Math-E-Mad-X]

En die zo gebouwde "raaktensoren" zijn dan uiteindelijk de dingen die natuurkundigen tensoren noemen.

Nee, je bent er nog niet helemaal. In mijn ervaring, wanneer natuurkundigen het over een tensor hebben, dan bedoelen ze een raaktensorveld.

Een raakvectorveld is een afbeelding die aan ieder punt p van je manifold M een vector uit de raakruimte \(T_pM\) toekent.
En een co-raakvectorveld een afbeelding die aan ieder punt p van de manifold een co-vector uit de co-raakruimte \(T_pM^*\) toekent.
En op dezelfde manier is een raaktensorveld een afbeelding die aan ieder punt p een tensor toekent die is opgebouwd uit raakvectoren en co-raakvectoren uit de ruimtes \(T_pM\) en \(T_pM^*\)

Wat hierbij vooral belangrijk is, is om te begrijpen dat als p en q twee verschillende punten zijn, dat dan de raakruimtes \(T_pM\) en \(T_qM\) ook twee verschillende ruimtes zijn. Een raakvectorveld is dus niet een afbeelding van M naar één enkele vectorruimte.

[Professor Puntje]

Wat raar! Natuurkundigen noemen een vectorveld toch ook gewoon een vectorveld en niet een vector. Als je een tensorveld zelf een tensor noemt, hoe moet je dan nog de "raaktensors" noemen die aan de punten p van de manifold worden gekoppeld?

[flappelap]

Waar ik aanvankelijk vooral moeite mee had was om partiële afgeleiden als basisvectoren te zien die een raakruimte 'opspannen'. Dat abstractiemuntje moest bij mij van ver komen

Die afbeeldingen zien eruit als partiële afgeleiden maar de formele definitie is wat ingewikkelder. Dat zag ik ook niet gelijk correct. Het bewijs dat ze inderdaad een basis vormen moet ik overigens nog leveren, dat ze de raakruimte opspannen heb ik (hoop ik) al wel aangetoond.

Dat is hetzelfde. Als je N lineair onafhankelijke vectoren hebt die een N-dimensionale ruimte opspannen, dan vormen deze een basis.

[flappelap]

Wat raar! Natuurkundigen noemen een vectorveld toch ook gewoon een vectorveld en niet een vector. Als je een tensorveld zelf een tensor noemt, hoe moet je dan nog de "raaktensors" noemen die aan de punten p van de manifold worden gekoppeld?

Ik ben niet bekend met de term "raaktensor", en als ik google op "tangent tensor" dan kom ik ook geen bekende teksten tegen. In boeken over algemene relativiteit zul je deze term dus denk ik niet (zo snel) tegenkomen.

Ik vind het onderscheid tussen "tensor" en "tensorveld" ook wat pedantisch, omdat je als natuurkundige vrijwel altijd in dat laatste bent geïnteresseerd, voor zover ik weet.

[Professor Puntje]

Waar ik aanvankelijk vooral moeite mee had was om partiële afgeleiden als basisvectoren te zien die een raakruimte 'opspannen'. Dat abstractiemuntje moest bij mij van ver komen

Die afbeeldingen zien eruit als partiële afgeleiden maar de formele definitie is wat ingewikkelder. Dat zag ik ook niet gelijk correct. Het bewijs dat ze inderdaad een basis vormen moet ik overigens nog leveren, dat ze de raakruimte opspannen heb ik (hoop ik) al wel aangetoond.

Dat is hetzelfde. Als je N lineair onafhankelijke vectoren hebt die een N-dimensionale ruimte opspannen, dan vormen deze een basis.

Maar hoe weten we dat ze lineair onafhankelijk zijn en dat onze raakruimte \( V_p \) n-dimensionaal is?