Allerlei tensor-vragen

[Professor Puntje]

@wnvl1

Ik weet hoe ik een bijpassende covector bij een vector kan vinden, en ook hoe ik daar dan weer een bijpassende covector bij kan vinden. Maar dat levert dan de co-covector van T. Het gaat mij om de vraag of het legitiem is (en ook in berekeningen zo gedaan wordt) om het bestaan van een vector S te veronderstellen zodanig dat de co-covector van S T oplevert. Dat gaat dus in de hiërarchie van opeenvolgende uit elkaar gevormde covectoren naar beneden. Het lijkt mij namelijk dat je zo uiteindelijk onder de vectorruimte uitkomt die aan de basis van die hiërarchie staat. Maar daar is nog niets beschikbaar waar die vector S dan in zou kunnen "leven". Allemaal wiskundig gedacht hier. - De koppeling met de ART komt later.

[Professor Puntje]

Een vraag is nog welke tensorbewerkingen absoluut essentieel zijn om de einsteinvergelijkingen in wiskundige zin te kunnen begrijpen...

[wnvl1]

Ben nooit theoretisch zo diep in gegaan op tensoren om ART te leren.

De covariante afgeleide lijkt mij nog een belangrijke tensorbewerking te zijn die nog niet gepasseerd is.

Ik weet niet of dingen zoals parallel transport en geodeten onder de categorie tensorbewerkingen valt. Dan heb je nog dingen als de Ricci tensor (daar echt goed inzicht inkrijgen is lastig vind ik) en de energie-impulstensor die je moet leren kennen, maar dat valt niet echt onder de categorie "tensor bewerkingen".

[Professor Puntje]

Maakt niet uit of het onder de categorie "tensor bewerking" valt, het is in elk geval weer genoeg stof voor weken zo niet maanden studie. Maar nu eerst even de tijd nemen om te laten bezinken wat ik al geleerd heb.

[wnvl1]

Als je de Einstein vergelijking bekijkt, dan zijn elk van die tensoren op zich wel te begrijpen.

\(R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R \, g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}\)

De grote moeilijkheid is te begrijpen hoe Einstein er toe gekomen is de linkerkant en de rechterkant van deze vergelijking aan elkaar gelijk te stellen. Ik snap zelf wel elk van die dingen op zichzelf staande, maar het ding als geheel echt begrijpen in al zijn complexiteit is niet evident en ik vrees dat dat nooit zal komen bij mij. Het blijft een vergelijking waarvan ik weel begrijp hoe je ze gebruikt voor simpele gevallen, maar die mysterieus blijft omdat ze toch enigszins uit de lucht komt gevallen.

[Professor Puntje]

Maar dat laatste geldt toch voor alle natuurwetten? Er is er geen logische reden waarom die zijn zoals ze zijn, je kunt immers ook alternatieve werelden met andere wetmatigheden bedenken.

Hoe Einstein erop gekomen is dat is in boeken over de (voor)geschiedenis van de ART na te lezen. Dat was in hoge mate via trial-and-error.

[flappelap]

Als je de Einstein vergelijking bekijkt, dan zijn elk van die tensoren op zich wel te begrijpen.

\(R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R \, g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}\)

De grote moeilijkheid is te begrijpen hoe Einstein er toe gekomen is de linkerkant en de rechterkant van deze vergelijking aan elkaar gelijk te stellen. Ik snap zelf wel elk van die dingen op zichzelf staande, maar het ding als geheel echt begrijpen in al zijn complexiteit is niet evident en ik vrees dat dat nooit zal komen bij mij. Het blijft een vergelijking waarvan ik weel begrijp hoe je ze gebruikt voor simpele gevallen, maar die mysterieus blijft omdat ze toch enigszins uit de lucht komt gevallen.

Einstein gebruikte 4 uitgangspunten: algemene covariantie (het equivalenteprincipe), het correspondentieprincipe, dus dat de vergelijking naar de Poissonvergelijking moet gaan in de Newtonse limiet, dynamica met hoogstens tweede orde afgeleiden, en covariant energiebehoud. Zie ook https://arxiv.org/abs/gr-qc/0103044.

[Math-E-Mad-X]

Beschouw als het formele object dat in de zin van een abuse of notation achter uitdrukkingen van de vorm \( \frac{\partial}{\partial x^{i_{\mu}}} \) schuilgaat de afbeelding van \( \mathbb{F} \cup V^*_p \cup V^{***}_p \cup V^{*****}_p \cup \cdots \, \) naar \( \mathbb{R} \) die argumenten uit \( \mathbb{F} \) met \( \frac{\partial}{\partial x^{i_{\mu}}} \) evalueert; die argumenten uit \( V^*_p \) evalueert met de co-covector van \( \frac{\partial}{\partial x^{i_{\mu}}} \); die argumenten uit \( V^{***}_p \) evalueert met de co-co-co-covector van \( \frac{\partial}{\partial x^{i_{\mu}}} \), etc.

Ik denk dat ik een eenvoudigere oplossing heb.

Ik maak onderscheid tussen een inwendig tensorproduct en een uitwendig tensorproduct. Het uitwendige tensorproduct is het gewoon het 'normale' tensorproduct \(\otimes\), en kan gezien worden als een multi-lineaire afbeelding die twee tensoren als input neemt, en ook weer een tensor als uitput geeft.

Een tensor zelf is geen multilineaire afbeelding meer, maar niets anders dan een formeel product van vectoren en covectoren, geconstrueerd met het uitwendige tensorproduct.

Het inwendige tensorproduct noteer ik als \(F\) en is ook een multi-lineaire afbeelding die twee tensoren als input neemt, en een tensor als uitput geeft (waarbij ik een reëel getal ook beschouw als een tensor van type (0,0)).

Als v een vector is, en w een covector, dan definieer ik:

\(F(w,v) = w(v)\)

en ook:

\(F(v,w) = w(v)\)

Dit kunnen we nu uitbreiden naar hogere order tensoren. Bijvoorbeeld:

\(F(w \otimes z,v) = w(v)\otimes z\)

waarbij z een willekeurig type tensor kan zijn. Je mag zelf de details uitwerken om dit helemaal netjes gedefinieerd te hebben voor alle mogelijke combinaties van tensoren.

Het handige is dat we de tensoren zelf niet meer als multi-lineaire afbeelding hoeven te beschouwen. In plaats daarvan gebruiken we de afbeelding F, dus dat hele verhaal van de co-co-vectoren hebben we niet meer nodig.

Als je nu in de relativiteitstheorie een uitdrukking van, bijvoorbeeld, de vorm \(g_{\mu\nu} T^\nu\) tegenkomt,
dan moet je dat dus eigenlijk lezen als: \(F(\ \ \sum_{\mu \nu} g_{\mu\nu}\otimes dx^\mu\otimes dx^\nu \ \ , \ \ \sum_{\nu}T^\nu \otimes \frac{\partial}{\partial x^\nu}\ \ )\)

[Professor Puntje]

Helaas kan ik dat maar moeilijk volgen. Als je opzet werkt zal die waarschijnlijk ook al wel eens eerder door anderen uitgewerkt zijn, en dan is het interessant om te bekijken hoe dat er concreet uitziet.

[Math-E-Mad-X]

Helaas kan ik dat maar moeilijk volgen. Als je opzet werkt zal die waarschijnlijk ook al wel eens eerder door anderen uitgewerkt zijn, en dan is het interessant om te bekijken hoe dat er concreet uitziet.

Wel gedeelte begrijp je niet?

Begrijp je niet hoe mijn voorbeelden gegeneraliseerd kunnen worden? Of begrijp je de tekst niet die ik er boven schreef? Kun je precies het punt in mijn tekst aangeven vanaf waar je het niet meer volgt?

[Professor Puntje]

Beschouw als het formele object dat in de zin van een abuse of notation achter uitdrukkingen van de vorm \( \frac{\partial}{\partial x^{i_{\mu}}} \) schuilgaat de afbeelding van \( \mathbb{F} \cup V^*_p \cup V^{***}_p \cup V^{*****}_p \cup \cdots \, \) naar \( \mathbb{R} \) die argumenten uit \( \mathbb{F} \) met \( \frac{\partial}{\partial x^{i_{\mu}}} \) evalueert; die argumenten uit \( V^*_p \) evalueert met de co-covector van \( \frac{\partial}{\partial x^{i_{\mu}}} \); die argumenten uit \( V^{***}_p \) evalueert met de co-co-co-covector van \( \frac{\partial}{\partial x^{i_{\mu}}} \), etc.

Ik denk dat ik een eenvoudigere oplossing heb.

Ik maak onderscheid tussen een inwendig tensorproduct en een uitwendig tensorproduct. Het uitwendige tensorproduct is het gewoon het 'normale' tensorproduct \(\otimes\), en kan gezien worden als een multi-lineaire afbeelding die twee tensoren als input neemt, en ook weer een tensor als uitput geeft.

Tot hier OK.

Een tensor zelf is geen multilineaire afbeelding meer, maar niets anders dan een formeel product van vectoren en covectoren, geconstrueerd met het uitwendige tensorproduct.

Het uitwendig tensorproduct levert toch een tensor op? Is het de bedoeling het teken \( \otimes \) niettemin louter als een betekenisloos symbool te zien?

Het inwendige tensorproduct noteer ik als \(F\) en is ook een multi-lineaire afbeelding die twee tensoren als input neemt, en een tensor als uitput geeft (waarbij ik een reëel getal ook beschouw als een tensor van type (0,0)).

Als v een vector is, en w een covector, dan definieer ik:

\(F(w,v) = w(v)\)

en ook:

\(F(v,w) = w(v)\)

Hoe herkent F wat een vector, en wat een covector is?

Dit kunnen we nu uitbreiden naar hogere order tensoren. Bijvoorbeeld:

\(F(w \otimes z,v) = w(v)\otimes z\)

waarbij z een willekeurig type tensor kan zijn. Je mag zelf de details uitwerken om dit helemaal netjes gedefinieerd te hebben voor alle mogelijke combinaties van tensoren.

Het handige is dat we de tensoren zelf niet meer als multi-lineaire afbeelding hoeven te beschouwen.

Wat zijn tensoren dan wel? Formele sommen uitgedrukt in formele producten van vectoren en covectoren?

In plaats daarvan gebruiken we de afbeelding F, dus dat hele verhaal van de co-co-vectoren hebben we niet meer nodig.

Als je nu in de relativiteitstheorie een uitdrukking van, bijvoorbeeld, de vorm \(g_{\mu\nu} T^\nu\) tegenkomt,
dan moet je dat dus eigenlijk lezen als: \(F(\ \ \sum_{\mu \nu} g_{\mu\nu}\otimes dx^\mu\otimes dx^\nu \ \ , \ \ \sum_{\nu}T^\nu \otimes \frac{\partial}{\partial x^\nu}\ \ )\)

Dat zie ik niet.

[Math-E-Mad-X]

Een tensor zelf is geen multilineaire afbeelding meer, maar niets anders dan een formeel product van vectoren en covectoren, geconstrueerd met het uitwendige tensorproduct.

Het uitwendig tensorproduct levert toch een tensor op? Is het de bedoeling het teken \( \otimes \) niettemin louter als een betekenisloos symbool te zien?

Ja, het uitwendig tensorproduct levert een tensor op. Ik zeg alleen maar dat in mijn definitie een tensor geen multilineaire afbeelding is. Het teken \( \otimes \) is zelf wel een multilineaire afbeelding. Het beeld van deze afbeelding op, bijvoorbeeld, de vector v en de covector w is het formele product \(v \otimes w\), wat we ook wel een tensor noemen (van type (1,1)).

Het inwendige tensorproduct noteer ik als \(F\) en is ook een multi-lineaire afbeelding die twee tensoren als input neemt, en een tensor als uitput geeft (waarbij ik een reëel getal ook beschouw als een tensor van type (0,0)).

Als v een vector is, en w een covector, dan definieer ik:

\(F(w,v) = w(v)\)

en ook:

\(F(v,w) = w(v)\)

Hoe herkent F wat een vector, en wat een covector is?

Het domein van \(F\) is het cartesisch product \(\mathcal{T} \times \mathcal{T}\) waarbij \(\mathcal{T}\) de verzameling van alle tensoren is. Oftewel, \(\mathcal{T}\) bestaat uit alle objecten die je kunt construeren met vectoren, co-vectoren, en het symbool \( \otimes \).

De vectorruimte \(V\) en duale ruimte \(V^*\) zijn dus deelverzamelingen van \(\mathcal{T}\), en dus is \(F\) goed gedefinieerd voor beide voorbeelden.

Dit kunnen we nu uitbreiden naar hogere order tensoren. Bijvoorbeeld:

\(F(w \otimes z,v) = w(v)\otimes z\)

waarbij z een willekeurig type tensor kan zijn. Je mag zelf de details uitwerken om dit helemaal netjes gedefinieerd te hebben voor alle mogelijke combinaties van tensoren.

Het handige is dat we de tensoren zelf niet meer als multi-lineaire afbeelding hoeven te beschouwen.

Wat zijn tensoren dan wel? Formele sommen uitgedrukt in formele producten van vectoren en covectoren?

Inderdaad! Formele sommen uitgedrukt in formele producten van vectoren en covectoren.

In plaats daarvan gebruiken we de afbeelding F, dus dat hele verhaal van de co-co-vectoren hebben we niet meer nodig.

Als je nu in de relativiteitstheorie een uitdrukking van, bijvoorbeeld, de vorm \(g_{\mu\nu} T^\nu\) tegenkomt,
dan moet je dat dus eigenlijk lezen als: \(F(\ \ \sum_{\mu \nu} g_{\mu\nu}\otimes dx^\mu\otimes dx^\nu \ \ , \ \ \sum_{\nu}T^\nu \otimes \frac{\partial}{\partial x^\nu}\ \ )\)

Dat zie ik niet.

Wat zie je niet? Met de uitspraak dat we geen co-co-vectoren meer nodig hebben bedoel ik gewoon dat deze objecten nergens voorkomen in mijn definities. dus je hoeft je ook geen zorgen meer te maken over de vraag of je ze wel of niet gelijk mag stellen aan vectoren.

[Professor Puntje]

Ik moet dat even laten bezinken. Ik meen ook dat ik ergens al eens zoiets gezien heb. Dat wil zeggen: tensoren gedefinieerd als formele sommen van formele producten. Ga er vanavond verder over nadenken.

[Professor Puntje]

Ik meen ook dat ik ergens al eens zoiets gezien heb. Dat wil zeggen: tensoren gedefinieerd als formele sommen van formele producten.

Hier wordt dat uitgelegd (1.7): https://github.com/winitzki/linear-algebra-book

[wnvl1]

Maar dat laatste geldt toch voor alle natuurwetten? Er is er geen logische reden waarom die zijn zoals ze zijn, je kunt immers ook alternatieve werelden met andere wetmatigheden bedenken.

Hoe Einstein erop gekomen is dat is in boeken over de (voor)geschiedenis van de ART na te lezen. Dat was in hoge mate via trial-and-error.

Uiteindelijk geldt dat voor alle natuurwetten, ja. De wetten van Maxwell komen ook uit de lucht gevallen. Maar bij de wetten van Maxwell kan ik mij relatief gemakkelijk inbeelden dat je bepaalde experimenten doet, verbanden ziet en als je wat wiskunde kan, dat je dan nogal snel op de wetten van Maxwell komt zonder afbreuk te doen aan de enorme verdiensten van Maxwell. Zoveel jaar later is dat allemaal gemakkelijk gezegd natuurlijk.

In geval van de ART vind ik dat er nog heel veel stappen zitten tussen Einsteins gedachtenexperimenten, de principes waar hij vanuit gaat en hoe dan alles als bij wonder tesamen vallen in de Einstein vergelijking. Hoewel ik op zich wel alle stappen wiskundig denk te snappen, blijft dat wonderbaarlijk en dat geeft op de een of andere manier het gevoel dat ik het geheel niet snap.

Wijkt wel af van het topic tensoren.