Allerlei tensor-vragen

[Professor Puntje]

Met zwaartekracht is wel veel moeilijker te experimenteren natuurlijk. Dat is waar. Einstein had er veel makkelijk naast kunnen zitten dan Maxwell. Maar bedenk dat er rond de tijd dat Einstein aan de ART werkte er ook andere geleerden bezig waren om soortgelijke theorieën te ontwerpen. Als de wereld net iets anders in elkaar had gezeten hadden we nu (naast de naam 'Einstein') ook andere nu vergeten namen in onze natuurkundeboeken gelezen.

[wnvl1]

Als je de Einstein vergelijking bekijkt, dan zijn elk van die tensoren op zich wel te begrijpen.

\(R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R \, g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}\)

De grote moeilijkheid is te begrijpen hoe Einstein er toe gekomen is de linkerkant en de rechterkant van deze vergelijking aan elkaar gelijk te stellen. Ik snap zelf wel elk van die dingen op zichzelf staande, maar het ding als geheel echt begrijpen in al zijn complexiteit is niet evident en ik vrees dat dat nooit zal komen bij mij. Het blijft een vergelijking waarvan ik weel begrijp hoe je ze gebruikt voor simpele gevallen, maar die mysterieus blijft omdat ze toch enigszins uit de lucht komt gevallen.

Einstein gebruikte 4 uitgangspunten: algemene covariantie (het equivalenteprincipe), het correspondentieprincipe, dus dat de vergelijking naar de Poissonvergelijking moet gaan in de Newtonse limiet, dynamica met hoogstens tweede orde afgeleiden, en covariant energiebehoud. Zie ook https://arxiv.org/abs/gr-qc/0103044.

Ik heb het artikel gelezen. Het artikel legt wel de Riemann tensor en de Ricci tensor. Maar het lastigste stuk met betrekking tot het echt begrijpen slagen ze wel over. Waar ik vooral de draad kwijt geraak, is wanneer die Ricci tensor omgezet wordt naar de Einstein tensor. Dat is dat "covariant" maken waarnaar je verwijst, denk ik. In de meeste boeken wordt dan gebruik gemaakt van de Bianchi-identiteit. Je doet een aantal bewerkingen met de Ricci tensor en je krijgt dan iets waarvan de covariante afgeleide nul is. Dat gebruik je dan in de Einstein vergelijking.

Probleem dat ik heb is dat je eerst alles probeert te begrijpen op basis van de Riemann / Ricci tensor. Je probeert dat te begrijpen, maar nadien wordt het dan nog eens omgewerkt naar de Einstein tensor. Wiskundig niet zo moeilijk als je het stap voor stap bekijkt, maar daarmee blijf ik met het gevoel zitten dat ik het niet goed begrijp en dat het wonderlijk is dat het allemaal nog werkt.

Misschien is het een betere optie om het te proberen te begrijpen aan de hand van de Einstein–Hilbert actie. Ik moet het nog eens goed bekijken, maar dan vertrek je van een simpele formule met de Ricci scalar voor de actie om uit te komen bij de Einstein tensor en dan zit die kunstgreep met dat covariant maken er niet in hoop ik. Maar moet het nog eens in detail bekijken.

[Professor Puntje]

Beschouw als het formele object dat in de zin van een abuse of notation achter uitdrukkingen van de vorm \( \frac{\partial}{\partial x^{i_{\mu}}} \) schuilgaat de afbeelding van \( \mathbb{F} \cup V^*_p \cup V^{***}_p \cup V^{*****}_p \cup \cdots \, \) naar \( \mathbb{R} \) die argumenten uit \( \mathbb{F} \) met \( \frac{\partial}{\partial x^{i_{\mu}}} \) evalueert; die argumenten uit \( V^*_p \) evalueert met de co-covector van \( \frac{\partial}{\partial x^{i_{\mu}}} \); die argumenten uit \( V^{***}_p \) evalueert met de co-co-co-covector van \( \frac{\partial}{\partial x^{i_{\mu}}} \), etc.

Ik denk dat ik een eenvoudigere oplossing heb.

Ik maak onderscheid tussen een inwendig tensorproduct en een uitwendig tensorproduct. Het uitwendige tensorproduct is het gewoon het 'normale' tensorproduct \(\otimes\), en kan gezien worden als een multi-lineaire afbeelding die twee tensoren als input neemt, en ook weer een tensor als uitput geeft.

Een tensor zelf is geen multilineaire afbeelding meer, maar niets anders dan een formeel product van vectoren en covectoren, geconstrueerd met het uitwendige tensorproduct.

Het inwendige tensorproduct noteer ik als \(F\) en is ook een multi-lineaire afbeelding die twee tensoren als input neemt, en een tensor als uitput geeft (waarbij ik een reëel getal ook beschouw als een tensor van type (0,0)).

Als v een vector is, en w een covector, dan definieer ik:

\(F(w,v) = w(v)\)

en ook:

\(F(v,w) = w(v)\)

Dit kunnen we nu uitbreiden naar hogere order tensoren. Bijvoorbeeld:

\(F(w \otimes z,v) = w(v)\otimes z\)

waarbij z een willekeurig type tensor kan zijn. Je mag zelf de details uitwerken om dit helemaal netjes gedefinieerd te hebben voor alle mogelijke combinaties van tensoren.

Het handige is dat we de tensoren zelf niet meer als multi-lineaire afbeelding hoeven te beschouwen. In plaats daarvan gebruiken we de afbeelding F, dus dat hele verhaal van de co-co-vectoren hebben we niet meer nodig.

Als je nu in de relativiteitstheorie een uitdrukking van, bijvoorbeeld, de vorm \(g_{\mu\nu} T^\nu\) tegenkomt,
dan moet je dat dus eigenlijk lezen als: \(F(\ \ \sum_{\mu \nu} g_{\mu\nu}\otimes dx^\mu\otimes dx^\nu \ \ , \ \ \sum_{\nu}T^\nu \otimes \frac{\partial}{\partial x^\nu}\ \ )\)

Na de nodige uren zoekwerk denk ik dat je voorstel neerkomt op Gibbs' polyadics calculus (een voorloper van de tensorrekening).

[Math-E-Mad-X]

Ik heb er nog wat verder over nagedacht, maar ik bedenk me dat de bovenstaande constructie (zoals ik hem in gedachte had) niet werkt, omdat je in het algemeen, wanneer je een inwendig product tussen twee tensoren neemt, je niet voldoende informatie hebt met alleen die twee tensoren. Je moet ook weten welke co-vector uit de ene tensor je laat werken op welke vector uit de andere tensor.

Bijvoorbeeld: \(A^{\mu \nu} B_{\mu \rho}\) is niet hetzelfde als \(A^{\mu \nu} B_{\rho \nu}\).


In plaats daarvan kunnen we de definitie van \(F\) beperken tot een afbeelding van alleen maar \((V \times V^*) \cup (V^* \times V)\) naar \(\mathbb{R}\) en moeten we met verdere notatie aangeven op welke vectoren en co-vectoren we deze \(F\) toepassen.

Bijvoorbeeld:

Stel we hebben de tensoren (in natuurkundige notatie) \(A^{\mu \nu}\) en \(B_{\gamma \rho}\).

In wiskudige notatie worden deze tensoren dan genoteerd als:

\(\sum_{\mu \nu} A^{\mu \nu} \frac{\partial}{\partial x^\mu} \otimes \frac{\partial}{\partial x^\nu}\)

en

\(\sum_{\mu \nu} B_{\gamma \rho} dx^\gamma \otimes dx^\rho\)

Het product \(A^{\mu \nu} B_{\mu \rho}\) (in natuurkundige notatie, met Einstein-sommatie) kun je dan schrijven in wiskundige notatie, met mijn functie \(F\), als:

\(\sum_{\mu \nu \gamma \rho } A^{\mu \nu} B_{\gamma \rho} F(\frac{\partial}{\partial x^\mu}, dx^\gamma ) \otimes \frac{\partial}{\partial x^\nu} \otimes dx^\rho\)


En aangezien uit mijn definitie van \(F\) volgt at \(F(\frac{\partial}{\partial x^\mu}, dx^\gamma )\) gelijk is aan 1 als \(\mu = \gamma\) en gelijk aan 0 in de andere gevallen, reduceert dit tot:

\(\sum_{\mu \nu \rho} A^{\mu \nu} B_{\mu \rho} \frac{\partial}{\partial x^\nu} \otimes dx^\rho\)

[Professor Puntje]

https://web.archive.org/web/20100626102 ... 211716.pdf (blz. 12 en verder)

Is dat zoveel anders? Daar moeten ze dat ook op een aparte manier noteren.

[flappelap]

Als je de Einstein vergelijking bekijkt, dan zijn elk van die tensoren op zich wel te begrijpen.

\(R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R \, g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}\)

De grote moeilijkheid is te begrijpen hoe Einstein er toe gekomen is de linkerkant en de rechterkant van deze vergelijking aan elkaar gelijk te stellen. Ik snap zelf wel elk van die dingen op zichzelf staande, maar het ding als geheel echt begrijpen in al zijn complexiteit is niet evident en ik vrees dat dat nooit zal komen bij mij. Het blijft een vergelijking waarvan ik weel begrijp hoe je ze gebruikt voor simpele gevallen, maar die mysterieus blijft omdat ze toch enigszins uit de lucht komt gevallen.

Einstein gebruikte 4 uitgangspunten: algemene covariantie (het equivalenteprincipe), het correspondentieprincipe, dus dat de vergelijking naar de Poissonvergelijking moet gaan in de Newtonse limiet, dynamica met hoogstens tweede orde afgeleiden, en covariant energiebehoud. Zie ook https://arxiv.org/abs/gr-qc/0103044.

Ik heb het artikel gelezen. Het artikel legt wel de Riemann tensor en de Ricci tensor. Maar het lastigste stuk met betrekking tot het echt begrijpen slagen ze wel over. Waar ik vooral de draad kwijt geraak, is wanneer die Ricci tensor omgezet wordt naar de Einstein tensor. Dat is dat "covariant" maken waarnaar je verwijst, denk ik. In de meeste boeken wordt dan gebruik gemaakt van de Bianchi-identiteit. Je doet een aantal bewerkingen met de Ricci tensor en je krijgt dan iets waarvan de covariante afgeleide nul is. Dat gebruik je dan in de Einstein vergelijking.

Probleem dat ik heb is dat je eerst alles probeert te begrijpen op basis van de Riemann / Ricci tensor. Je probeert dat te begrijpen, maar nadien wordt het dan nog eens omgewerkt naar de Einstein tensor. Wiskundig niet zo moeilijk als je het stap voor stap bekijkt, maar daarmee blijf ik met het gevoel zitten dat ik het niet goed begrijp en dat het wonderlijk is dat het allemaal nog werkt.

Misschien is het een betere optie om het te proberen te begrijpen aan de hand van de Einstein–Hilbert actie. Ik moet het nog eens goed bekijken, maar dan vertrek je van een simpele formule met de Ricci scalar voor de actie om uit te komen bij de Einstein tensor en dan zit die kunstgreep met dat covariant maken er niet in hoop ik. Maar moet het nog eens in detail bekijken.

Het is ook lastig; Einstein zelf gebruikte diverse principes om tot zijn vergelijkingen te komen, inclusief het actieprincipe. De Einstein-Hilbert actie inclusief kosmologische constante is de kortste klap: het is de simpelste Lagrangiaan die je kunt opstellen op basis van de metriek en zijn 1e en 2e afgeleiden. Maar dan neem je dus de symmetrieën (algemene covariantie) en de eis dat de dynamica hooguit 2e orde afgeleiden bevat als uitgangspunt.

[Math-E-Mad-X]

https://web.archive.org/web/20100626102 ... 211716.pdf (blz. 12 en verder)

Is dat zoveel anders? Daar moeten ze dat ook op een aparte manier noteren.

Sorry, maar ik heb helaas niet echt de tijd om dit soort documenten door te gaan nemen.

[Professor Puntje]

OK - dank voor de hulp zover.

Omdat ik uiteindelijk de einstein-vergelijking wil begrijpen heb ik de covariante afgeleide nodig, en daarvoor heb ik dan weer de Christoffel symbolen nodig. En die vereisten weer de metrische tensor. Dus de volgende stap is nu de metrische tensor.

[Professor Puntje]

Bron: Wikipedia.

En dat is mij op zich duidelijk. De variëteit (manifold) is hier de ruimtetijd, en de punten p zijn gebeurtenissen in de ruimtetijd. De metrische tensor g_p beschrijft de geometrie van de ruimtetijd rond gebeurtenissen p.

Maar wat stelt dit natuurkundig gezien voor? Wat zijn de vectoren die als argumenten van de metrische tensor optreden?

[wnvl1]

Vertrekpunt is, denk ik, dat \(g(\cdot,\cdot)\) een tensor is waar je twee vectoren kan instoppen. Als je er twee keer dezelfde vector in stopt, heb je het kwadraat van de lengte. Stop je er twee verschillende vectoren dan heb je het scalair product. Dan is het probleem vertaald naar de gewone mechanica / fysica. Je kan met die lengtes en scalaire producten hetzelfde doen als je ermee kan doen in de klassieke fysica / mechanica / wiskunde: lengtes van curves berekenen (door er twee keer hetzelfde in te stoppen en daarna integreren), arbeid berekenen (de ene vector is de kracht en de andere de verplaatsing), ...

[Professor Puntje]

Maar in de relativiteitstheorie zijn ruimte en tijd gekoppeld, die vectoren die als argument van de metrische tensor dienen kunnen dus niet zonder meer (gerichte) lengtes zijn.

[Professor Puntje]

Ik vermoed dat de vectoren uit de raakruimte T_pM natuurkundig als vier-vectoren worden geïnterpreteerd. De raakruimte wordt dan gezien als in de omgeving van de gebeurtenis p "rakend" aan de ruimtetijd. Doe je dit voor infinitesimale omgevingen (d.w.z neem je limieten) dat verdwijnt de met het kiezen voor de raakruimte gemaakte fout ten opzichte van de ruimtetijd. Althans dat zou dan de achterliggende intuïtie zijn. Is dit juist?

[wnvl1]

Ja, we werken met 4-vectoren net zoals in de SR. Het gaat dus over lengtes en inwendige producten in de 4D tijd-ruimte. Maakt het allemaal lastiger te interpreteren.

[Professor Puntje]

Als ik twee vier-vectoren naar gebeurtenissen A en B in de omgeving van de gebeurtenis p als argument neem wat geeft de metrische tensor dan - natuurkundig gesproken - als functiewaarde?

[Professor Puntje]

Ik bedenk me nu dat de gebeurtenissen A en B strikt genomen niet in de raakruimte zitten maar in de manifold M. Voor een zinnige situatie moeten we dus A en B zeer dicht (liefst infinitesimaal dicht) bij p kiezen.