Rindler ruimte op basis van tekst Gerard ’t Hooft

[wnvl1]

Ik probeer de inleiding van 't Hooft tot de ART volledig te begrijpen omdat daar zoveel naar verwezen wordt.

https://webspace.science.uu.nl/~hooft10 ... l_2010.pdf

Ik loop echter hier vast bij vgl (3.3). Het gaat over een lift die versnelt met versnelling g.

Vraag is hoe je aan die matrix komt in 3.3. Een korte hint is voldoende, ken de grote principes wel.

[flappelap]

Dat is een infinitesimale Lorentz transformatie in de x-richting. Dus schrijf een LT in de x-richting op, maak een lineaire (of Taylor) benadering van de matrix elementen, en vul de snelheid in.

[wnvl1]

Ok, dan heb je
\(\chi = \frac{v}{c} = \frac{g d \tau}{c} \)
\(\cosh(\frac{g d \tau}{c}) = 1 \)
\(\sinh(\frac{g d \tau}{c}) = \frac{g d \tau}{c}\)

[wnvl1]

Nog een vraagje. 't Hooft leidt de formles af voor de Rindler coörinaten

Deze formules gebruikt hij dan om voorspellingen te doen naar de ART toe.

Eerste gevolgtrekking is dat de kloksnelheid varieert met de hoogte. Die formule is duidelijk.

Tweede gevolgtrekking is dat het lokaal zwaartekrachtveld gelijk is aan
\(\rho^{-2} g \). Hoe komt hij daaraan? Is dat gelinkt aan gevolgtrekking 1?

[flappelap]

Dat zie ik zou gauw ook niet. Ik zou de metriek opschrijven en naar de 00-component kijken.

Ik heb een tijd geleden m'n eigen aantekeningen omtrent versnelling in de ART gemaakt, zal eens kijken of ik die hier kan delen.

[wnvl1]

De metriek staat mooi op wikipedia.

De link leggen tussen het lokaal zwartekrachtveld met de 00-component gebeurt dan op basis van onderstaande wat je in elk boek over ART wel terugvindt (stukje uit Schutz hieronder).

Op dat punt in zijn tekst heeft 't Hooft daar allemaal wel nog niet over gesproken.


Ik heb toevallig exact dezelfde vraag gevonden op SE.

https://physics.stackexchange.com/quest ... oordinates

Hier gaan ze het inderdaad ook zoeken in de 00-component van de metriek.

Maar moet nog verder kijken of ik het op basis daarvan kan verklaren.

[Gast]

Ik begrijp het niet. De Rindler chart valt onder SRT, niet ART. Dus een zwaartekrachtsveld in Rindler coördinaten??

Wel is het uhm zijn er gelijkenissen; een waarnemingshorizon, Unruh straling etc.

[wnvl1]

Ik denk dat 't Hooft met "the gravitational field strength felt locally" eigenlijk bedoelt de lokale eigenversnelling. Hij verwijst naar het gravitationele om de link te leggen met de ART die later in zijn tekst uitgewerkt wordt. Dat is mijn vermoeden.

[wnvl1]

Tweede gevolgtrekking is dat het lokaal zwaartekrachtveld gelijk is aan
\(\rho^{-2} g \). Hoe komt hij daaraan? Is dat gelinkt aan gevolgtrekking 1?

Ik vraag me af of dat geen typefout is in de tekst van 't Hooft en het moet zijn \(\rho^{-1} g \).

Dat zou corresponderen met de formule in



op 19m24s. De film legt het ook uit zonder ART.

[flappelap]

Volgens het equivalentieprincipe is lokaal een zwaartekrachtsveld niet te onderscheiden van een eigenversnelling. Dus wat is de norm van je eigenversnelling? Per constructie is dat hier g.

[wnvl1]

Als in het accelererend frame de onderlinge afstand tussen punten constant moet blijven bekeken vanuit een observator die meebeweegt met de oorsprong van het accelererend frame, dan zullen niet alle punten dezelfde eigenversnelling kunnen hebben. De eigenversnelling is rindler coördinaat afhankelijk. Ik zal het later beter proberen op te schrijven.

[wnvl1]

Ik heb er een tekening bij gemaakt.

We hebben een inertiële vaste waarnemer Einstein. Mickey en Donald gaan versnellen. Als Mickey en Donald allebei dezelfde eigenversnelling zouden hebben, dan zien hun werleldlijnen er als volgt uit.

De wereldlijn van Donald is een copy paste van de wereldlijn van Mickey.
Vanuit het referentieframe van Mickey bekeken gaat door de versnelling van Donald, de afstand tot Donald steeds toenemen. Als je wil dat de Afstand vanuit het frame van Mickey hetzelfde blijft, dan moet de versnelling van Donald lager zijn zoals in de figuur hieronder.

De eigenversnelling van Donald zou dan afnemen volgens die \(\rho^{-1}\). Hoe verder Donald bij het vertrek van Mickey des te kleiner zijn eigenversnelling. Mogelijk is dat wat 't Hooft bedoelt. \(\rho\) is dan min of meer de afstand tot Einstein in de figuur (zonder in detail te gaan). Hoe groter die afstand hoe kleiner de eigenversnelling van Donald zal mogen zijn.
Maar ook hier zou er dan een fout in de tekst zitten van 't Hooft, want het zou zijn \(\rho^{-1}\) ipv \(\rho^{-2}\) in zijn tekst.

[Professor Puntje]

https://www.youtube.com/user/eigenchris/videos

Allemaal goede filmpjes van telkens een half uur zowel over relativiteit als de achterliggende wiskunde.

In die video's komen versnellingen in de SRT ook aan de orde. Een bekende paradox daarbij is:

[wnvl1]

Daarop heb ik mij gebaseerd. Hij legt dat subliem uit. Het aantal boeken waarin de Rindler coördinaten uitgelegd worden is relatief beperkt. In een klassiek boek over ART en SRT wordt dat meestal overgeslagen.

Vind het vreemd dat ik die passage van 't Hooft moeilijk kan begrijpen of dat ze fout zou zijn, maar deze films maken het duidelijk inclusief de wiskunde. Op zich is het niet zo'n groot probleem dat die passage onduidelijk is.

[Gast]

Daarop heb ik mij gebaseerd. Hij legt dat subliem uit. Het aantal boeken waarin de Rindler coördinaten uitgelegd worden is relatief beperkt. In een klassiek boek over ART en SRT wordt dat meestal overgeslagen.

Vind het vreemd dat ik die passage van 't Hooft moeilijk kan begrijpen of dat ze fout zou zijn, maar deze films maken het duidelijk inclusief de wiskunde. Op zich is het niet zo'n groot probleem dat die passage onduidelijk is.

Een goed boek om mee te beginnen vind ik is:

https://www.eftaylor.com/exploringblackholes/

Van Taylor en Wheeler.

Ondanks gaat het niet zo zeer over zwarte gaten, maar bijvoorbeeld Schwarzschild metriek. Tis gratis, dus .. ik zou zeggen neem een kijkje