Conclusie van het "twee pieken experiment"

[Professor Puntje]

Dit is wat MathPages doet:

Bron: https://www.mathpages.com/rr/s6-06/6-06.htm

[wnvl1]

Ik heb die formule van wikipedia met de integraal in Matlab gestopt.

Code: Selecteer alles

%1.75 arcsec = 0.000008484239419416949 rad

rSchwarz=2950; %Schwarzild straall zon
rAfstandZon=696340000; %straal zon

fun = @(r) 1./((r.^2).*(1./(rAfstandZon^2)-(1-rSchwarz./r)./r.^2 ).^0.5);

phi = 2*integral(fun, rAfstandZon,Inf)

geeft

phi =

3.1375

Ik kom dus niet op die 1.75 arcsec.

Waar zit de fout? Is dat al gelukt in Python of iets anders?

[Professor Puntje]

We hebben eerder al simulaties in Python aan de hand van de Jacobi elliptische functie gemaakt. Zie vanaf hier: viewtopic.php?f=85&t=212427&start=150

[wnvl1]

ALs ik het juist hebben jullie dat altijd via die Elliptische functies gedaan, nooit door rechtstreeks zelf de integraal uit te rekenen?

[Professor Puntje]

Ik heb inmiddels zoveel geprobeerd dat ik dat niet meer weet. Ik weet wel dat het ons met de Jacobi elliptische functie gelukt is. En het mooie daarbij is dat die oplossing (afgezien van de numerieke methoden die Python zelf gebruikt) exact is.

[Gast]

Ik heb inmiddels zoveel geprobeerd

Ja. Dat is bewonderingswaardig!

[Professor Puntje]

Ik heb inmiddels zoveel geprobeerd

Ja. Dat is bewonderingswaardig!

Dank je wel! Al met al zal ik blij zijn wanneer dit topic definitief is opgelost, want zolang dat nog niet zo is blijft het kriebelen...

[Gast]

Ja, ik ken het.

Maar misschien toch eens even een pauze inlassen? (Dat doet soms wonderen is mijn ervaring.) Ik neem aan dat jij iig wel aanneemt dat Dale weet waar hij het over heeft. (En dat het dus niets te maken heeft met twee punten op een bepaalde afstand van de zon waarbij het licht maximaal afgebogen wordt, oftewel de baan/niets met de baan of wereldlijn die sterrenlicht langs de zon scheerd.)

Maar jij wil het tot in de puntjes begrijpen, aha .. vandaar de naam Professor Puntje!

Dit was even off-topic. Excuses moi.

[Professor Puntje]

Ik sta nog in de pauze-stand en wacht nu met veel belangstelling af hoe wnvl1 de zaken aanpakt.

Voor mij is het overigens een zuiver wiskundig probleem. Als je naar een xy-frame transformeert kun je de vraag stellen of de grafiek van \( \frac{\mathrm{d} \phi / \mathrm{d} x }{ \mathrm{m}/ \mathrm{R}^2 } \) als functie van \( x / \mathrm{R} \) al dan niet twee pieken heeft. Dale stelt dat die eventuele twee pieken fysisch niets te betekenen hebben, maar daar verdwijnt het wiskundige piekenprobleem nog niet mee...

[Gast]

Precies

[OOOVincentOOO]

phi =

3.1375

Ik kom dus niet op die 1.75 arcsec.

Door de golf berichten heb ik jouw bericht gemist.

Ikzekf ben ook aan het studeren. Ook moeite zelfr integraal. Waar ik nu moeite mee heb is variabele b.

In metoden waarbij integraal als power series genomen word is eerste element integraal pi/2. Deze word niet meegenomen als deflektie verandering Zie mathpages andere paginas.

Opletten factor 2 licht in en uit.

Verder lees Ik vaak substituties als: Rs/R en Ro/R. Daar ben ik momenteel mee aan het studeren.

[OOOVincentOOO]

Status update (mijn vorige bijdragen worden niet gerespecteerd dus probeer nu via een andere weg):

Momenteel ben ik dezelfde integraal aan he besturen als wnvl1 uit mijn op. Deze integraal is moeilijk te begrijpen.

Ik doe een stapje terug en bestudeer meer simpele integraal: mathpages, hier word totale deflectie uitgedruk in: q=Ro/R.

EDIT nu een werkende link:
[Mathpages]

Methode:

Deze power series:
$$1/\sqrt{1-a}=1 + a/2 + 3 a^2/8 + 5 a^3/16 + 35 a^4/128 + 63 a^5/256 + O(a^6)$$
Mathpages neemt de power series (en ook andere webpages). Ik echter heb de totale power series genomen en geïntegreerd.

Grafiek: met geintergeerde hoek verandering en de verdeling dphi/dr

Observaties:

• Zoals verwacht hebben de hogere orde element totaal geen significant invloed op het resultaat.

• De deflectie hoek is 0.87 arcsec (dat is de halve hoek, in en uit is dus: 1.75 arcsec) klopt precies.

• De hoek verandering als functie van R van deze integraal laat helemaal geen verdeling zien meer een hyperbool. Niet een of twee pieken maar totaal geen. Heb bewust niet terug gerekend met: x=r*cos(phi)

Als je echt ermee bezig bent leer je veel meer: de handen vies maken en niet praten. Heb nog veel moeite met integraal Wiki ik denk dat daar de sleutel zit.

Opmerking:
Ik ben nog steeds dezelfde gedachte als voorheen: door de limiet nemen naar massaloos particle verlies je informatie. Met mijn inzicht betekend dit dat men informatie "weggooit". De limiet nemen heeft een dualistisch karakter. Men verliest dus informatie. Ook aannemelijk men wil niet het licht pad maar de totale deflectie bepalen uit deze vergelijking. De deflectie kan je bepalen maar niet het precieze traject met deze methode. Maar ik probeer uit te zoeken of dit waar is.

Voor de geïnteresseerde. Ik heb enig commentaar toegevoegd:

Code: Selecteer alles

#Open pyplot in separate interactive window
from IPython import get_ipython
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'qt5')

#https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm
#https://www.mathpages.com/rr/s6-03/6-03.htm

import numpy as np
from scipy.special import comb
import matplotlib.pyplot as plt

widths = [5,5,5,5]
heights = [5]

fig= plt.figure(figsize=(20,5))

gs=fig.add_gridspec(1,4,width_ratios=widths, height_ratios=heights)

ax1=fig.add_subplot(gs[0,0])
ax2=fig.add_subplot(gs[0,1])
ax3=fig.add_subplot(gs[0,2])
ax4=fig.add_subplot(gs[0,3])


#Physical constants
M=1.989e30
G=6.67408e-11
c=3e8
Ro=696340000

#Schwarzshield radius
Rs=2*M*G/c**2

#set radius q=Ro/R range
q=np.linspace(0.005,1,1000)
q=q[1:-1]

#calculate radius (reciprocal)
r=Ro/q

#leading term power series and element b**n
a=1/np.sqrt(1-q**2)
b=2*(1-q**3)/(1-q**2)*M*G/(Ro*c**2)
dp=np.zeros(np.size(q))

dq=q[10]-q[9]

#Loop over every element power series
for n in range(5):

    i=n+1
    
    #determine fractions
    #https://oeis.org/A046161
    #(2n choose n)/2^n
    com=comb(2*i, i)/4**i
    dp=dp+a*com*b**i

    #plot angular change as function q and r note: dq=-(q^2/Ro)dr
    ax1.plot(q,dp)
    ax1.set_ylabel('dphi/dq')
    ax1.set_xlabel('q')
    
    ax3.plot(r,dp*(q**2/Ro))
    ax3.set_ylabel('dphi/dr')
    ax3.set_xlabel('r')

    #Integrate angular deflection     
    phi=np.cumsum(dp)*dq
    phisec=np.degrees(phi)*3600
    phisec=phisec[-1]-phisec
       
    ax2.plot(q,phisec)
    ax2.set_ylabel('dphi/dq')
    ax2.set_xlabel('q')
    
    ax4.plot(r,phisec)
    ax4.set_ylabel('dphi/dr')
    ax4.set_xlabel('r')
    

[Gast]

Sorry, maar begrijp ik het nu goed dat hier getracht wordt het traject wat bepaalt licht door ruimte (niet ruimtetijd, dus geen wereldlijn/nulgeodeet) te bepalen?

Want dat is m.i. zinloos. Ruimte is immers niet absoluut.

En de wereldlijn is afhankelijk van het gekozen coordinaten systeem.

Dus zoals PP zegt is het puur een wiskundig "probleem" van die creatie van Kevin Brown, mathpages.

[Gast]

@OOOVincentOOO

Ik weet (!) dat PP jouw bijdragen zeer waardeerd. (En waarschijnlijk anderen ook.)

Waar het enigszins spaak loopt oid is dat je, zoals jezelf zegt, vrijwel niets van de RT weet.

[Professor Puntje]

Dank! Laten we het alsjeblieft bij de oorspronkelijke wiskundige vraag houden hoeveel pieken er in het grafiekje op MathPages horen te staan als er geen benaderingen (dan de strikt onontkoombare) worden toegepast. Dat is zo al ingewikkeld genoeg. Zo niet dan zal ook dit topic weer in een onleesbare chaos eindigen.