Conclusie van het "twee pieken experiment"

[wnvl1]

Sorry, maar begrijp ik het nu goed dat hier getracht wordt het traject wat bepaalt licht door ruimte (niet ruimtetijd, dus geen wereldlijn/nulgeodeet) te bepalen?

Want dat is m.i. zinloos. Ruimte is immers niet absoluut.

En de wereldlijn is afhankelijk van het gekozen coordinaten systeem.

Dus zoals PP zegt is het puur een wiskundig "probleem" van die creatie van Kevin Brown, mathpages.

In de grond deel ik die mening wel. Op r is oneindig valt de Schwarzschild ruimte samen met de Minkowwski ruimte. Daarom dat als je integreert van r is oneindig aan de ene kant tot r is oneindig aan de andere kant, dat heeft betekenis. Het mappen van die Schwarschild ruimte onderweg op een Minkowski ruimte, lijkt mij eigenlijk iets waar je vragen bij kan stellen. Daarom dat die tussenliggende deflecties ook niet in papers gepubliceerd worden, behalve dan in die van Mathpages.

Ik zal de nieuwe code nog bekijken.

[OOOVincentOOO]

Als ik de orginele math pages bekijk vind ik dit nogal een kritisch punt [Mathpages]:

$$c(r)=\sqrt{ \frac{ 1-\frac{2m}{r} }{ {1+ \frac{2m}{r}\frac{x^2}{r^2} \left( \frac{1}{1- \frac{2m}{r}} \right) } }} \approx \left( 1-\frac{m}{r} \right) \left( 1- \frac{m}{r} \frac{x^2}{r^2} \right)$$

Zoals ik hier begrijp worden elementen verwijderd men neem hier op sommige plaatsen de aanname/limiet "small quantities m/r":

$$ \lim_{m \rightarrow 0} \frac{m}{r}=0 $$

Dit is natuurlijk hetzelfde als:

$$ \lim_{r \rightarrow \infty} \frac{m}{r}=0 $$

Mijn redenatie hoe ik begrijp is dan:
"Door de limiet te nemen gooit men informatie weg. Door m nul te stellen kan het radius traject niet meer volledig bepaald te worden. De m komt niet als losstaande variabele dus door vereenvoudigen/limiet nemen verlies je informatie"

De bekende simulatie [Youtube] wat gemaakt is toont alle oplossingen voor een lichttraject. Hier is te zien dat een dubbele piek verdeling (instabiele zone) een element is van deze verzameling.

Door vereenvoudigingen te doen (bijvoorbeeld limieten) nemen krijg men geen exacte oplossing maar een mix of extreme van een uit de gehele oplossing verzameling (met andere wegingsfactor natuurlijk).

==============================================
Grappig:

Waar het enigszins spaak loopt oid is dat je, zoals jezelf zegt, vrijwel niets van de RT weet.

Dank! Laten we het alsjeblieft bij de oorspronkelijke wiskundige vraag houden

Mijn conclusie uit deze reacties wat bedoelen jullie: wiskunde of natuurkunde of beide of geen?
==============================================

[OOOVincentOOO]

Hier een plaatje voor \(c\) als functie van \(m/r\) met \(c*\) als benadering en \(c\) (theorie) geeft (genormaliseerd: \(r=1\) en \(x=1\) verder als functie \(m/r \in [0,1]\):

Dat geeft wat gevoel voor deze vereenvoudiging. Voor zeer kleine waarden \(m/r\) (zeer) goede fit maar daarbuiten niet.

c benadering

(211.05 KiB) 61 keer gedownload

De nulpunten vind ik erg typisch. Wat dit fysisch betekend weet ik niet. Dat bestudeer ik off-line.

[Professor Puntje]

@wnvl1

De vraag naar de eventuele fysische betekenis van de tussentijdse afbuiging leidt tot allerlei nieuwe problemen van deels filosofische aard die dit topic nog veel verder kunnen doen ontsporen. Vandaar mijn gehamer op het wiskundige karakter van mijn vraag. Ook ben ik niet geïnteresseerd in een herberekening of simulatie van de totale afbuiging. En evenmin in allerhande berekeningen waarin zoals op MathPages benaderingen worden toegepast. Dat is wat mij aangaat allemaal niet aan de orde. Dit wel:

Voor mij is het overigens een zuiver wiskundig probleem. Als je naar een xy-frame transformeert kun je de vraag stellen of de grafiek van \( \frac{\mathrm{d} \phi / \mathrm{d} x }{ \mathrm{m}/ \mathrm{R}^2 } \) als functie van \( x / \mathrm{R} \) al dan niet twee pieken heeft.

Ik ben heel benieuwd hoeveel pieken er volgens jou bij een exacte berekening in dat grafiekje horen te staan.

[Professor Puntje]

Ter herinnering:

(Ik zou hier eigenlijk niet meer reageren, want tis voor mij wel duidelijk. Alleen ik vind het zo opmerkelijk dat je die pieken werkelijk nergens terug ziet komen. .. Ook niet in Einsteins papieren.)

Onderstaande tabel komt in de buurt:

table1.png

Bron: https://iopscience.iop.org/article/10.1086/123896

Er zijn dus wel papers (of in elk geval één) die zich om de tussentijdse afbuiging bekommeren, maar het zijn er inderdaad niet veel.

[Gast]

Niet in die van Einstein zelf.

@Vincent

Geen van beide. Maar omdat je vertelde "nog niets van relativiteitstheorie te begrijpen".

Maja. Succes maar weer.

[wnvl1]

Hier een plaatje voor \(c\) als functie van \(m/r\) met \(c*\) als benadering en \(c\) (theorie) geeft (genormaliseerd: \(r=1\) en \(x=1\) verder als functie \(m/r \in [0,1]\):
Functie c.jpg

Dat geeft wat gevoel voor deze vereenvoudiging. Voor zeer kleine waarden \(m/r\) (zeer) goede fit maar daarbuiten niet.
c benadering.xlsx

De nulpunten vind ik erg typisch. Wat dit fysisch betekend weet ik niet. Dat bestudeer ik off-line.

Ze berekenen gewoon een Taylorreeks die ze afkappen na de lineaire term. Voor de zekerheid, ben je daarmee vertrouwd? Als m/r groter is dan 0,1 is die benadering niet goed meer. Die grafiek daarbuiten gaan bekijken heeft geen enkel nut.

[Professor Puntje]

@TommyWhite

Maakt mij niet zoveel uit of Einstein zelf iets gezegd of geschreven heeft. Dat is maar één poppetje in het verhaal, was Einstein er niet geweest dan hadden Poincaré, Hilbert, Lorentz, en hun navolgens de klus ook wel geklaard.

[OOOVincentOOO]

@wnvl1,

Dankjewel voor de inhoudelijke reactie!

Uit de voorgaande reacties had ik begrepen dat "men" eigenlijke niet andere methoden wil bekijken. Vandaar dat ik de originele mathpages er wederom bijgehaald heb.

Denk jij dat deze benadering geen invloed heeft op het traject \(r\)?

Zoals ik begrijp maak men een aanname \(m/r\) richting nul geeft correcte waarden op grote afstand \(r\) of kleine \(m\).

Dus jij denkt dat deze benadering wijze niet de twee pieken veroorzaakt (bij kleine \(r\) dus \(m/r\) is groot) nabij de zon/centrum?

Dan zou ik graag willen weten waarom niet als dat tenminste toelaatbaar is in dit draadje. Want ik probeer slechts iedere stap te bestuderen (top down).

[Professor Puntje]

@OOOVincentOOO

Wellicht dat het je niet is opgevallen maar wnvl1 heeft voor de bespreking van Python simulaties van het tweepieken-experiment een apart topic geopend: viewtopic.php?f=66&t=212777

Het topic waarin je nu post was voor het beantwoorden van mijn vraag, waar zo weinig van terecht komt. Daarom nogmaals het vriendelijke verzoek je onderzoekingen in het andere, hierboven gelinkte toepasselijke topic te plaatsen.

[wnvl1]

Wat ik wilde doen is,

1. \(r(\phi)\) berekenen met een 'exacte formule (dus op basis van dat werk van Antoniou ofzo).

2. Je berekent de afgeleide (op basis van polaire coördinaten) via

\({\frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_\theta }}}{{{x’_\theta }}} } = {\frac{{{{\left( {f\left( \theta \right)\sin \theta } \right)}^\prime }}}{{{{\left( {f\left( \theta \right)\cos\theta } \right)}^\prime }}} } = {\frac{{f’\left( \theta \right)\sin \theta + f\left( \theta \right)\cos\theta }}{{f’\left( \theta \right)\cos\theta – f\left( \theta \right)\sin \theta }}.}\)

3. Je neemt hiervan de Atan
4. Als je dan doet pi/2 min die hoek heb je de afwijking tov een rechte baan van het licht.
5. Je leidt dat nog eens af en de twee pieken zouden moeten verschijnen.

[Professor Puntje]

Zoiets?

Code: Selecteer alles

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import optimize
from scipy.special import ellipj
from scipy.special import ellipk


fig, ax= plt.subplots(3,1,figsize=(4, 6))

# Berekening totale lichtafbuigng alpha

def f(t):
    r0 = 7e8
    rs = 2.95e3
    
    e1 = (r0 - rs + np.sqrt((r0 - rs)*(r0 + 3*rs)))/(2*rs*r0)
    e2 = 1/(r0)
    e3 = (r0 - rs - np.sqrt((r0 - rs)*(r0 + 3*rs)))/(2*rs*r0)
    tau = np.sqrt((rs*(e1 - e3))/4)
    h = np.sqrt((e2 - e3)/(e1 - e3))
    m = h*h
    sigma = -tau*(np.pi/2) + ellipk(m)
    sn,_,_,_=ellipj(tau*t + sigma , m)
    return e3 + (e2 - e3)*sn**2

root = optimize.newton(f,-1e-6)
alpha = -2*root



# Berekening lichtbaan

r0 = 7e8
rs = 2.95e3

e1 = (r0 - rs + np.sqrt((r0 - rs)*(r0 + 3*rs)))/(2*rs*r0)
e2 = 1/(r0)
e3 = (r0 - rs - np.sqrt((r0 - rs)*(r0 + 3*rs)))/(2*rs*r0)
tau = np.sqrt((rs*(e1 - e3))/4)
h = np.sqrt((e2 - e3)/(e1 - e3))
m = h*h
sigma = -tau*(np.pi/2) + ellipk(m)

alpha99 = 0.99*alpha # beveiliging tegen singulariteiten
#t = np.linspace(-alpha99/2,np.pi+alpha99/2,1000)
t = np.linspace(np.pi/2-1.4,np.pi/2+1.4,1000)


sn,_,_,_=ellipj(tau*t + sigma , m)

x = (1/(e3 + (e2 - e3)*sn**2))*np.cos(t)
y = (1/(e3 + (e2 - e3)*sn**2))*np.sin(t)

ax[0].plot(x,y,c=(1,0.2,0.5),lw=1)
ax[0].title.set_text('lichtbaan')

dx=np.diff(x)
dy=np.diff(y)
dydx=dy/dx
afb=-np.arctan(dydx)

ax[1].plot(x[:-1],afb,c=(1,0.2,0.5),lw=1)
ax[1].title.set_text('lichtafbuiging')

dafb=np.diff(afb)
aanw=dafb/dx[:-1]

ax[2].plot(x[:-2],aanw,c=(1,0.2,0.5),lw=1)
ax[2].title.set_text('aanwas afbuiging')


plt.tight_layout()
plt.show()


# De berekende constanten

print("root =", root)
print("alpha =", alpha)
print("e1 =", e1)
print("e2 =", e2)
print("e3 =", e3)
print("tau =", tau)
print("h =", h)
print("m =", m)
print("sigma =", sigma)
print("alpha =", alpha)

[Professor Puntje]

@wnvl1

Het gaat bij jou toch net iets anders dan bij mij. Ik weet niet of dat verschil gaat maken. Ik doe eerst de transformatie naar het xy-frame en werk vandaar verder.

[Professor Puntje]

Waarvoor is punt 4. nog nodig? Je hebt met arctan(dy/dx) toch al direct de hellingshoek?

[HansH]

ik zie dat dit topic met 'conclusies' inmiddels alweer op pagina 4 zit. in een topic over conclusies horen naar mijn idee alleen conclusies te staan uit gevolgde redenaties in de andere topics. Maar ik zie hier nu ook weer de redenaties verschijnen, dus waarom doen we dat niet in de andere topics hierover. zo blijft het straks nog steeds niet te volgen.