Conclusie van het "twee pieken experiment"

[wnvl1]

Waarvoor is punt 4. nog nodig? Je hebt met arctan(dy/dx) toch al direct de hellingshoek?

Je hebt gelijk denk ik. Zoiezo maakt het niet uit, gezien je daarna toch afleidt, verandert het eigenlijk niets.

[Professor Puntje]

Mooi - lijkt dat progje je verder correct?

[wnvl1]

Op welke vergelijking is het eerste deel van je progje gebaseerd? Als het het Antoniou welke nummer van vergelijking dan? Ik vind het niet terug.

[wnvl1]

Het tweede deel van je prog lijkt mij zoiezo juist.

[Professor Puntje]

Het eerste deel dient voor het juist instellen van de "stand" van de grafiek, en kan eventueel worden overgeslagen als je de totale afbuiging zelf als een bekend gegeven invoert.

[wnvl1]

Maar ik vind echt niet terug op welke vergelijking van Antoniou je progje gebaseerd is? Kan je een nummer geven?

https://www.researchgate.net/publicatio ... s_approach

[Professor Puntje]

Zie: viewtopic.php?f=85&t=212427&start=15
(En dan vanaf Bericht za 05 jun 2021, 14:00)

Alleen formule 6. moest later nog worden aangepast vanwege notatieproblemen met de sn-functie.

[wnvl1]

Dat ziet er goed uit. Je totale afbuiging klopt ook, die is 1.75 arcsec = 0.000008484239419416949 rad.

[wnvl1]

Dus geen pieken bij deze rekenwijze.

[Professor Puntje]

Fijn dat je er naar wilde kijken.

Een mooie conclusie.

[wnvl1]

Vraag blijft dan vanwaar het verschil.

Antoniou werkt met een exacte oplossing, die we omzetten naar een euclidische ruimte.

Mathpages / Einstein werkt met het principe van Huyghens. Ik heb in de beginpost argumenten aangedragen die de twee pieken kunnen verklaren, maar niet vereisen dat er twee pieken zijn.

Het verschil tussen beiden intuitief aanvullen, lijkt mij heel moeilijk omdat er teveel wiskunde tussenzit en dan verdwijnt de intuitie.

Tot slot blijf ik het feit het feit dat we in de buurt van de zon een Schwarzschild metriek op een Euclidische ruimte mappen een belangrijke opmerking vinden.

Veel verder ga ik niet komen. Dus denk dat het erop zit. Eigenlijk had je het zelf al drie maanden geleden gevonden.

[Professor Puntje]

Wat er nog aan ontbrak was dat een onafhankelijk persoon met kennis van zaken het nakeek, en dat is nu wel gebeurd. Waarvoor dank.

Wel is het raadsel daarmee alleen maar groter geworden, maar we weten nu dat die twee pieken niet automatisch verschijnen als je naar een xy-frame transformeert, er moet daarvoor nog iets meer meespelen. Maar wat dat precies is kunnen we vooralsnog alleen maar vermoeden...

[Gast]

Ik zat nog even na te denken over een mogelijk traject of pad door wat licht aflegt door (de) ruimte. Ik dacht dat dat ook ergens ter sprake kwam.

Maar er is geen "traject door de ruimte". Een foton volgt een geodeet in de ruimtetijd: naarmate het voortschrijdt in de ruimte, verstrijkt de tijd. Voor een stroom fotonen (een lichtstraal die gedurende een bepaalde tijd aan is) kun je deze nulgeodeet voor elk van hen berekenen, en elk van hen kan een ander traject volgen, bijvoorbeeld als het heelal uitdijt of de zwaartekrachtsveld verandert.

Ik dacht ik post dat hier maar achteraan, dit topic is inmiddels oud .. maar ik zie dat ik dat eerder eigenlijk ook al zei in andere woorden.
Denk dan ook dat niemand hier wat aan heeft .. naja.

[OOOVincentOOO]

Beste Professor,

Hier is samenvatting twee pieken aan de hand van afleidingen PP. Hier is mooi te zien waar en hoe asymmetrische term: \(x^2/r^2\) overblijft over na verwaarlozing \(dy\). Volgens mij zijn we het allen eens over dit.

nb. Ergens is er een foutje bij afleiding pp ingeslopen (in de afleiding hier onder). Jij krijgt een dubbele afbuighoek van \(3.5"\) ipv \(1.75"\). Dat heb ik op twee verschillende manieren aangetoond. Maar doet voor twee pieken niet terzake.

Ik loop nu jouw afleiding bottom top door. Mijn top down methode was in jouw verkeerde keelgat geschoten.

Ik ben onder de indruk van jouw algebra kwaliteiten. Ik wenste dat ik die had. Hier een beknopte samenvatting zonder kleine vereenvoudigingen:

Standaard startpunt Schwarzschild:
kan ik volgen

\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 \mathrm{d}t^2 + \frac{\mathrm{d}r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + r^2 \mathrm{d}\alpha^2 \,\,\,\,\,\, (1) \)

\( dx^2 + dy^2 = r^2 d\alpha^2 + dr^2 \,\,\,\,\,\,\, (2) \)

\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \frac{\frac{r_s}{r} d r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + d x^2 + dy^2 \,\,\,\,\,\,\, (3)\)

Substitutie dr door dx dy:
kan ik volgen

En verder:

\( r^2 = x^2+ y^2 \)

\( dr = \frac{x dx + y dy}{r} \,\,\,\,\,\,\, (4) \)

\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \frac{(x dx + y dy)^2}{r^2} \frac{r_s}{r - r_s} + d x^2 + dy^2 \,\,\,\,\,\,\, (5) \)

Hier de beruchte stap waarbij dy word verwaarloosd (kan ik volgen):
HIER ZIJN WIJ HET BEIDE EENS DE ASSYMETRISCHE TERM \(x^2/r^2\) BLIJFT ALLEEN OVER. JIJ NOEMT HET ANDERS MAAR WIJ ZEGGEN HETZELFDE!!! DE OORZAAK VAN DE PIEKEN. IK WIL MIJ NIET NATUURKUNDIG INMENGEN.

Eindformule:
Volgens mij is nog ergens iets met een min teken aan de hand. Er is verschil met mathpages en wiki. Aangezien jouw afleiding kwaliteiten beter zijn vertrouw ik jouw.

Op MathPages wordt dan dy in (5) verwaarloosd, zodat je krijgt:

\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \frac{(x dx)^2}{r^2} \frac{r_s}{r - r_s} + d x^2 \)

\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \left ( \frac{x^2}{r^2} \frac{r_s}{r - r_s} + 1 \right ) d x^2 \,\,\,\,\,\,\, (6) \)

Wat math pages doet:
Bovenstaande formule delen door \((d \tau)^2\):
$$c(r)=\frac{dx}{dt}=\sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{xx}}}\\
g_{tt}=\left( d \tau/dt \right)^{2}
\\g_{xx}=\left( d \tau/dx \right)^{2}$$
$$c(r)=\sqrt{\frac{1-\frac{r_s}{r}}{1+\frac{r_s}{r}\frac{x^2}{r^2}\left(
\frac{1}{1-r_s/r} \right)}}$$
En tenslotte de hoekverdeling \(d \varphi /dx\) en \(r^2=x^2+y^2\) waar het om gaat (welke ik numeriek oplos):
$$\frac{\partial c(r)}{\partial y}= \frac{d \varphi}{dx}$$

Jou methode:
Om eerlijk te zijn kan ik de rest moeilijk volgen hoe jij tot de hoekverdeling \(d \varphi /dx\) komt.

Stap 1 doel: \(d \varphi/dx\):
Kan ik volgen maar ben niet overtuigd of dit correct is. Staat NIET zo in mathpages. Maar accepteer voorlopig dat het correct is

buiging 921 keer bekeken

Even herhalen wat MathPages met Huygens' principe doet. Dat komt op het volgende neer:

\( \mathrm{d} \varphi = \tan( \mathrm{d} \varphi ) \)

\( \mathrm{d}\varphi = \frac{ (x_{R+dR}(t + \mathrm{d}t) - x_{R+dR}(t)) \, - \, (x_R(t + \mathrm{d}t) - x_R(t)) )}{\mathrm{d}R} \)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\partial}{\partial R} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} \right ) }{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} \,\,\,\,\,\,\,\, (7) \)

Stap 2 doel: \(dx^2/dt^2\):
Kan ik niet helemaal volgen. Moet je de tijd element ook nul stellen? Is dit eigenlijk al: \(c(r)\) wat je berekend?

Voor een lichtstraal hebben we ds = 0, dus de in (6) toegepaste MathPages-benadering dy=0 levert dan op dat:

\( 0 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \left ( \frac{x^2}{r^2} \frac{r_s}{r - r_s} + 1 \right ) d x^2 \)

\( \frac{dx^2}{dt^2} = \frac{ (1 - \frac{r_s}{r})^2 }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \cdot c^2 \,\,\,\,\,\,\,\, (8) \)

Stap 3 combinatie doel: \(d \varphi/dx\) bepalen:
Methodiek volg ik en ook jouw inbreng \(\ln\) maar weet niet of dat mag: zijn \(x\) en \(r\) linear??
Volgens mijn waarnemingen:
Het tussen resultaat \(c(r)\) geeft een foute deflectiehoek van \(3.5"\) ipv. \(1.75"\).
De eindformule \(d \varphi / dx\) geeft ook een foute deflectiehoek van \(3.5"\) ipv. \(1.75"\).
Betekend dat de afleiding tussenin correct is.

\( \frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t^2} = \frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \cdot c^2 \,\,\,\,\,\,\,\, (6)\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\partial}{\partial R} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} \right ) }{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} \,\,\,\,\,\,\,\, (7) \)

Dat geeft:

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\partial}{\partial R} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{c \, \mathrm{d}t} \right ) }{\frac{\mathrm{d}x}{c \, \mathrm{d}t}} \)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial}{\partial R} \ln(\frac{\mathrm{d}x}{c \, \mathrm{d}t}) \)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial}{\partial R} \ln \left (\sqrt{\frac{\mathrm{d}x^2}{c^2 \mathrm{d}t^2}} \right ) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial R} \ln \left (\frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \right ) \)

********************************************************************************************************************************
IS DIT IN FEITE NIET c(r)???? WAAROM IS ER DAN EEN LOGARITME??? DIT SNAP IK NIET!!!!
$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial R} c(r)$$
********************************************************************************************************************************

----verdere vereenvoudiging komt uit op:

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \left ( \frac{1}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \, - \, \frac{1}{2} \frac{- 3 \frac{x^2}{r^2} + 1 }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \right ) \cdot r_s \frac{R}{r^3} \,\,\,\,\,\,\, (9) \)

\(\)

Hopende op een serieuze reactie.

Groeten,

Vincent

[Professor Puntje]

Dank voor je reactie. Net als TommyWhite vind ook ik dat de afleiding op MathPages moeilijk te volgen is (hij neemt te grote stappen), daarom heb ik een reconstructie gemaakt van de MathPages afleiding die in essentie op hetzelfde neer komt. Maar ik geef in mijn afleiding zo goed mogelijk wel alle tussenstappen aan. In detail zitten er dus inderdaad verschillen tussen MathPages en wat ik doe.

Als er een fout in mijn afleiding zit dient dat gecorrigeerd te worden. Laten we dat eerst eens bekijken. Welke van mijn formules zitten er volgens jou een factor twee naast?