watertank

[wnvl1]

Daar maken we abstractie van. Het gaat maar om het idee of iets als

$$(p_0-\rho_{lucht}g(h_{lucht}+h_{lucht} - z) -\frac{1}{2}\rho_{lucht}v^2)+\frac{1}{2}\rho_{vloeistof}v^2+\rho_{vloeistof}gz = p_0 + \rho_{vloeistof}\frac{A1}{2A2} v^2$$

zou kunnen deugen om van te vertrekken?

[Xilvo]

Als we dan een stroombuis laten vertrekken juist onder het vloeistof oppervlak naar beneden in de oefening van ukster krijgen we dan ...

$$(p_{atmosfeer}-\rho_{lucht}gh_{lucht}-\frac{1}{2}\rho_{lucht}v^2)+\frac{1}{2}\rho_{vloeistof}v^2+\rho_{vloeistof}gz = …$$

\(h_{lucht}\) is de hoogt van de nuis met lucht boven de opstelling

In het RL komt de situatie waar de vloeistof uit het vat stroomt.

Dan krijg je aan het vloeistofoppervlak een discontinue drukverandering ter grootte van \(\frac{1}{2}\rho_{vloeistof}v^2\). Dat kan niet juist zijn.

Een snelheid veroorzaakt geen drukdaling, drukverschil tussen plaatsen op een stroomlijn veroorzaakt een verandering van snelheid.
Snelheid is gevolg van drukverschil, niet de oorzaak.

[Xilvo]

Ja, maar de bedoeling is dat op de luchtstroom ook iets Bernouilli-achtigs toegepast wordt. Cfr de vorige post van Xilvo. Dan is het minder standaard lijkt mij. De lucht beweegt dus dat zorgt voor een drukdaling.

Als het vloeistofniveau in het vat met een toch behoorlijke snelheid als 0,1 m/s zou dalen, dan is de drukdaling aan het oppervlak maar \(\frac{1}{2}\rho_{lucht}v^2\) ≈ 0,006 Pa.
Zelfs bij een snelheid van 1 m/s is het drukverschil nog maar ca. 0,6 Pa, dat is de druk van minder dan een tiende mm water.
Praktisch zul je dit effect meestal volkomen kunnen verwaarlozen.

Denk je dat dat beetje lucht significant is t.o.v. de uitstroomverliezen bij de tuit? En de wandwrijving?

Ik denk ook dat bijvoorbeeld verliezen door viskeuze wrijving in het vat en bij de uitstroomopening (Bernoulli veronderstelt de viscositeit nul) een veel grotere rol spelen dan de minieme drukdaling aan het oppervlak.

[wnvl1]

Een snelheid veroorzaakt geen drukdaling, drukverschil tussen plaatsen op een stroomlijn veroorzaakt een verandering van snelheid.
Snelheid is gevolg van drukverschil, niet de oorzaak.

De reden dat een vliegtuig vliegt is toch doordat de lucht een hoge snelheid heeft boven de vleugel. Dit zorgt toch voor een verlaging van de statische druk waardoor het vliegtuig omhoog blijft.

Zou je dat effect hier ook niet hebben? De lucht is in beweging dus voor de vloeistof is het alsof de statische druk verlaagt.

Al denk ik zoiezo wel dat Bernouilli niet de ideale manier is om dit soort van probleem aan te pakken.

Wat betreft de andere opmerking dat de verliezen van de lucht verwaarloosbaar zijn tov de ladingsverliezen in de bocht en door de viscositeit, klopt allemaal, maar daar wilde ik graag abstractie van maken. Het doorrekenen van die verliezen lukt wel.

[Xilvo]

Een snelheid veroorzaakt geen drukdaling, drukverschil tussen plaatsen op een stroomlijn veroorzaakt een verandering van snelheid.
Snelheid is gevolg van drukverschil, niet de oorzaak.

De reden dat een vliegtuig vliegt is toch doordat de lucht een hoge snelheid heeft boven de vleugel. Dit zorgt toch voor een verlaging van de statische druk waardoor het vliegtuig omhoog blijft.

Bernoulli speelt een rol bij het creëren van lift bij een vleugel maar die rol is lang niet zo groot als vaak gedacht.
Een vleugel staat meestal onder een hoek met de romp en buigt zo lucht naar beneden af. Die impulsverandering zorgt voor een kracht omhoog.
Vliegtuigen kunnen ook ondersteboven vliegen. Als het profiel voor een hogere snelheid aan de bovenkant van de vleugel zou zorgen en dat zou het enige mechanisme zijn om lift te krijgen, dan zou dat onmogelijk zijn.

De hogere snelheid gaat gepaard met een lagere druk maar het drukverschil is ook hier de oorzaak. Lucht gaat niet zomaar sneller stromen, daar is een kracht, hier een drukverschil voor nodig.

Zou je dat effect hier ook niet hebben? De lucht is in beweging dus voor de vloeistof is het alsof de statische druk verlaagt.

Ja. Maar zoals ik hierboven berekende, is die drukverlaging extreem klein. Je bent het met me eens dat een discontinuïteit in de druk aan het vloeistofoppervlak niet kan?

Wat betreft de andere opmerking dat de verliezen van de lucht verwaarloosbaar zijn tov de ladingsverliezen in de bocht en door de viscositeit, klopt allemaal, maar daar wilde ik graag abstractie van maken. Het doorrekenen van die verliezen lukt wel.

Bernoulli kent geen verliezen (geen wrijving want geen viscositeit). De verliezen door b.v. viscositeit zijn vast heel goed te benaderen maar heel precies doorrekenen lijkt me nog niet zo makkelijk.

Grappig hoeveel er achter een op het oog eenvoudig sommetje zit

[wnvl1]

Je mag het dan misschien niet meer Bernouilli noemen, maar die verliezen in bochten enzo kan je gemakkelijk incorporeren in Bernouilli (arbeid = veradering energie + verliezen). Voor ingenieursberekeningen kan je voor een bepaalde bocht een coëfficiënt K opzoeken en dan \(K\rho v^2/2\) ladingsvverlies doorrekenen analoog voor wrijvingsverliezen. Dat gaat relatief gemakkelijk. Heb ik overlaatst eens gedaan om de pomp van een zonneboiler uit te rekenen.

Dat er hier een probleem is aan het oppervlak lucht - vloeistof ben ik met akkoord. Ik vermoed dat een andere aanpak is aangewezen. Mogelijk klopt er ook iets niet aan mijn opgave en de randvoorwaarden. I heb niet zo veel ervaring met fluidummechanica.

[Xilvo]

Je mag het dan misschien niet meer Bernouilli noemen, maar die verliezen in bochten enzo kan je gemakkelijk incorporeren in Bernouilli (arbeid = veradering energie + verliezen). Voor ingenieursberekeningen...

Dat weet ik maar dat is zeker geen Bernoulli meer.

Dat er hier een probleem is aan het oppervlak lucht - vloeistof ben ik met akkoord. Ik vermoed dat een andere aanpak is aangewezen.

Volgens mij is er geen probleem maar mag er daar niet plotseling een extra druk \(\frac{1}{2}\rho_{vloeistof}v^2\) geïntroduceerd worden zodra je onder het vloeistofoppervlak komt.

[wnvl1]

Ik blijf met het gevoel dat er iets niet klopt aan mijn opgave. Wat zorgt ervoor dat die lucht in mijn opgave mooi de snelheid van de vloeistof blijft volgen tijdens het hele leegloopproces van de vloeistof. Ik zie daar geen reden voor.

Ik had de vraag ook kunnen stellen met een tank gevuld met twee vloeistoffen boven elkaar die leegloopt. Water beneden en olie boven. Dan had ik voor die olie boven nooit gedacht aan het toepassen van Bernouilli (of variant). Dan had ik mij gefocust op de versnelling van de olie en via de tweede wet van Newton was er dan wel een differentaalvergelijking uitgekomen.

[Xilvo]

Ik blijf met het gevoel dat er iets niet klopt aan mijn opgave. Wat zorgt ervoor dat die lucht in mijn opgave mooi de snelheid van de vloeistof blijft volgen tijdens het hele leegloopproces van de vloeistof.

De opgave is prima. Lucht volgt het oppervlak omdat het de ruimte krijgt, net als een gas een zuiger volgt in een cilinder waarin een zuiger naar buiten getrokken wordt. Het alternatief is het ontstaan van een vacuüm boven de vloeistof. Dat bedoel je vast niet dus misschien begrijp ik je verkeerd.

Ik had de vraag ook kunnen stellen met een tank gevuld met twee vloeistoffen boven elkaar die leegloopt. Water beneden en olie boven. Dan had ik voor die olie boven nooit gedacht aan het toepassen van Bernouilli (of variant). Dan had ik mij gefocust op de versnelling van de olie en via de tweede wet van Newton was er dan wel een differentaalvergelijking uitgekomen.

Dan had je een stroombuis moeten kiezen door die olie naar stilstaande lucht ergens erboven. Bernoulli zegt alleen iets over drukverschillen dus als je absolute drukken wil weten moet je beginnen op een punt waar de druk bekend is.

Overigens heb je meestal Bernoulli in het vat niet nodig; de snelheid zal daar sowieso laag zijn.
Voor de uitstroomsnelheid gebruik je Torricelli, feitelijk een speciaal geval van Bernoulli waar je de ter hoogte van de opening druk (potentiele energie) omzet in kinetische energie.

[wnvl1]

Ik zal ze eerstdaags eens oplossen met olie. Daarna denk ik nog eens over de lucht. Ik noem inderdaad wel vanalles ten onrechte Bernouilli.

[Xilvo]

Laat maar zien als je zover bent. Ik ben benieuwd!

[wnvl1]

De oefening eens gemaakt voor 2 vloeistoffen boven elkaar.

Een cilindrisch vat met hoogte \(h\) en oppervlakte \(A1\) is voor de helft gevuld met water met dichtheid \(\rho_{water}\) voor de helft met olie met dichtheid \(\rho_{olie}\).
De atmosferische druk is \(p_0\).

Op de olie werkt de atmosferische druk \(p_0\) bovenaan en onderaan de reactiekracht \(F_{olie-water}\) tussen het water en de olie. De tweede wet van Newton levert voor het olievolume
\begin{equation*}
-p_0 A_1 + F_{olie-water} - \rho_{olie} A_1 \frac{h}{2} g = \rho_{olie} A_1 \frac{h}{2}\ddot{z}
\end{equation*}
\begin{equation*}
F_{olie-water} = p_0 A_1 + \rho_{olie} A_1 \frac{h}{2} g + \rho_{olie} A_1 \frac{h}{2}\ddot{z}
\end{equation*}

We berekenen nu de arbeid \(d W\) die geleverd wordt op het water als het waterniveau zich beweegt over een afstand \(d z\).

\begin{equation*}
d W = -F_{olwa}dz + p_0 A_2 \frac{A_1}{A_2} dz
\end{equation*}

De verandering van de kinetische energie \(dK\) is

\begin{equation*}
d K = \frac{1}{2} \rho((\frac{A_1}{A_2})^2-1) A_1\dot{z} ^2dz
\end{equation*}

De verandering van de potentiele energie \(dU\) is

\begin{equation*}
d U = \rho g A_1 z dz
\end{equation*}

We hebben
\begin{equation*}
d W = dU + dK
\end{equation*}
Dit betekent
\begin{equation*}
-F_{olwa}dz + p_0 A_2 \frac{A_1}{A_2} dz = \frac{1}{2} \rho((\frac{A_1}{A_2})^2-1) A_1\dot{z} ^2dz + \rho_{water} g A_1 z dz
\end{equation*}

\begin{equation*}
-F_{olwa} + p_0 A_1 = \frac{1}{2} \rho_{olie}((\frac{A_1}{A_2})^2-1) A_1\dot{z} ^2 + A_1\rho_{water} g A_1 z
\end{equation*}

Substitutie van \(F_{olie-water}\) levert

\begin{equation*}
-p_0 A_1 - \rho_{olie} A_1 \frac{h}{2} g - \rho_{olie} A_1 \frac{h}{2}\ddot{z} + p_0 A_1 = \frac{1}{2} \rho_{water}((\frac{A_1}{A_2})^2-1) \dot{z} ^2 + \rho_{water} g A_1 z
\end{equation*}

\begin{equation*}
- \rho_{olie} \frac{h}{2} g - \rho_{olie} \frac{h}{2}\ddot{z} = \frac{1}{2} \rho_{water}((\frac{A_1}{A_2})^2-1) \dot{z} ^2 + \rho_{water} g z
\end{equation*}

\begin{equation*}
\rho_{olie} \frac{h}{2}\ddot{z} + \frac{1}{2} \rho_{water}((\frac{A_1}{A_2})^2-1) \dot{z} ^2 + \rho_{water} g z + \rho_{olie} \frac{h}{2} g = 0
\end{equation*}

Gecombineerd met de begonvoorwaarden \(z(0) = h/2\) en \(\dot{z}(0)=0\) kan deze DV wel opgelost worden. Is wel geen lineaire.

[wnvl1]

Als het juist is, is de vraag nog hoe dit dan correct kan uitgebreid worden naar de eerdere oefening met lucht boven het water.

[Xilvo]

Voordat ik er helemaal induik een paar vragen.
1. Uitgangspunt: Houdt het systeem op bij de uitstroomopening onderaan? Telt de kinetische (of potentiele) energie van het water zodra het het vat heeft verlaten niet meer mee?

2. Vergelijkingen
Hier gebruik je de versnelling van de vloeistof \(\ddot{z}\) in verticale richting

\(-p_0 A_1 + F_{olie-water} - \rho_{olie} A_1 \frac{h}{2} g = \rho_{olie} A_1 \frac{h}{2}\ddot{z}\)

Moet je die ook niet meenemen bij de verandering van kinetische energie?

\(d K = \frac{1}{2} \rho((\frac{A_1}{A_2})^2-1) A_1\dot{z} ^2dz\)

Moet hier die z (voor dz) niet weg?

\(d U = \rho g A_1 z dz\)

3. Je hebt bewust de term \(-\frac{1}{2}\rho_{lucht}v^2\) weggelaten bij de druk aan het oppervlak van de olie?
"Officieel" hoort die daar maar de waarde zal weer zo klein zijn dat die geen rol van betekenis zal spelen.

[wnvl1]

Voordat ik er helemaal induik een paar vragen.
1. Uitgangspunt: Houdt het systeem op bij de uitstroomopening onderaan? Telt de kinetische (of potentiele) energie van het water zodra het het vat heeft verlaten niet meer mee?

Ik gebruik identiek hetzelfde uitgangspunt als wat Torricelli gedaan heeft, die je wel kent.

https://gaz.wiki/wiki/nl/Torricelli%27s_law

Het water komt in de omgeving terecht en heeft daar nog een zekere kinetische energie. Als je dat niet terug vindt in mijn formules, zeg maar. Dan duid ik het concreter aan. De potentiele energie is daar nul in mijn assenstelsel want voor mij is de hoogte bij de uitgang nul.