De schwarzschildmetriek in het xy-vlak

[Gast]

screenshot.png

Waarom staat daar eigenlijk 2R in plaats van r_s ?

Oh het gaat daar over de zogenoemde Schwarzchild-Droste metriek. Staat ook op die mathpages:

https://www.mathpages.com/home/kmath697/kmath697.htm

Zie voor korte omschrijving hier:

https://physics.stackexchange.com/quest ... ild-metric

[flappelap]

screenshot.png

Waarom staat daar eigenlijk 2R in plaats van r_s ?

Blijkbaar geldt R=GM/c^2.

[Professor Puntje]

screenshot.png

Waarom staat daar eigenlijk 2R in plaats van r_s ?

Oh het gaat daar over de zogenoemde Schwarzchild-Droste metriek. Staat ook op die mathpages:

https://www.mathpages.com/home/kmath697/kmath697.htm

Zie voor korte omschrijving hier:

https://physics.stackexchange.com/quest ... ild-metric

Dank! Daar begrijp ik uit dat het lichttraject dat men vindt onafhankelijk is van de gebruikte coördinaten. En dat ligt ook voor de hand, maar het is fijn om te weten dat dat ook wiskundig gezien het geval is.

[Professor Puntje]

Wat mij nu interesseert is wat het effect is van de op MathPages in de metriek toegepaste benadering dy=0. Introduceert dat die twee pieken?

[Gast]

Wat mij nu interesseert is wat het effect is van de op MathPages in de metriek toegepaste benadering dy=0. Introduceert dat die twee pieken?

Inderdaad is het (uiteraard) onafhankelijk van het gekozen coördinaten stelsel.

Die twee pieken ontstaan wanneer de Schwarzschild oplossing gekozen wordt, en geldt dan denk ik idd r^2=x^2+y^2.

Maar ik dacht dat jij en Vincent dit nu wel berekend hadden ..

[Professor Puntje]

Ik vermoed dat die twee pieken pas optreden nadat je in de schwarzschildoplossing (zoals MathPages dat doet) de benadering dy=0 hebt toegepast, en dat er bij het gebruik van de exacte schwarzschildoplossing dus zonder de benadering dy=0 maar één piek gevonden wordt. In dit topic hoop ik dat via de geodetenvergelijking te bewijzen, wat voor mij gelijk ook een goeie oefening is. Als dat lukt is deze kwestie ook voor mij definitief de wereld uit.

Maar eerst heb ik als uitgangspunt een duidelijke en betrouwbare bron voor de vorm van de schwarzschildmetriek in x, y en t coördinaten nodig (met hier z=0).

[flappelap]

Waarom reken je het niet expliciet na? Je weet toch hoe de metriek transformeert?

[Professor Puntje]

Kun je inderdaad gewoon de metriek in x,y,z,t uitdrukken door de transformatieformules te gebruiken, en is wat je dan vindt ook weer exact geldig?

[Professor Puntje]

Iets dergelijks heb ik in een eerder topic al eens gedaan. Dat ging (ongeveer) zo:

Voor onze zon gebruiken we de Schwarzschild metriek:

Bron: https://hepweb.ucsd.edu/ph110b/110b_notes/node75.html

We hebben het over een lichtstraal in het xy-vlak dus ds = 0 en:
θ = 90º
dθ = 0
z = 0
dz = 0

Bovendien schrijven we de azimut hoek φ als α om verwarring met de afbuiging φ(x) te voorkomen. Dat geeft:

\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 \mathrm{d}t^2 + \frac{\mathrm{d}r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + r^2 \mathrm{d}\alpha^2 \,\,\,\,\,\, (1) \)

Uit bovenstaand schetsje (figuur 1) zien we dat:

\(\)

\( dx^2 + dy^2 = r^2 d\alpha^2 + dr^2 \,\,\,\,\,\,\, (2) \)

Combinatie van (1) en (2) geeft:

\(\)

\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 dt^2 + \frac{dr^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + dx^2 + dy^2 - dr^2 \)

\(\)

\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \frac{d r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + d x^2 + dy^2 - \frac{ d r^2 ( 1 - \frac{r_s}{r} )}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \)

\(\)

\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \frac{\frac{r_s}{r} d r^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + d x^2 + dy^2 \,\,\,\,\,\,\, (3)\)

\(\)

[flappelap]

Kun je inderdaad gewoon de metriek in x,y,z,t uitdrukken door de transformatieformules te gebruiken, en is wat je dan vindt ook weer exact geldig?

Uiteraard. Je gaat dan effectief van bol- naar Cartesische coordinaten.

[Professor Puntje]

En verder:

\(\)

\( r^2 = x^2+ y^2 \)

\(\)

\( 2 r dr = 2 x dx + 2 y dy \)

\(\)

\( dr = \frac{x dx + y dy}{r} \,\,\,\,\,\,\, (4) \)

\(\)

Substitutie van (4) in (3) geeft:

\(\)

\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \frac{\frac{r_s}{r} ( \frac{x dx + y dy}{r} )^2}{1 - \frac{r_s}{r} } + d x^2 + dy^2 \)

\(\)

\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + ( \frac{x dx + y dy}{r} )^2 \frac{\frac{r_s}{r} }{1 - \frac{r_s}{r} } + d x^2 + dy^2 \)

\(\)

\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \frac{(x dx + y dy)^2}{r^2} \frac{r_s}{r - r_s} + d x^2 + dy^2 \,\,\,\,\,\,\, (5) \)

[Professor Puntje]

Op MathPages wordt dan dy in (5) verwaarloosd, zodat je krijgt:

\(\)

\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \frac{(x dx)^2}{r^2} \frac{r_s}{r - r_s} + d x^2 \)

\(\)

\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \left ( \frac{x^2}{r^2} \frac{r_s}{r - r_s} + 1 \right ) d x^2 \,\,\,\,\,\,\, (6) \)

[Professor Puntje]

Vergelijking (6) kan voor y = R_zon (als benadering) gebruikt worden om de horizontale snelheid dx/dt vlak bij de zon te berekenen. En omdat alleen vlak bij de zon een noemenswaardige afbuiging plaats vindt kan je de zo gevonden horizontale snelheid gebruiken om via Huygens' principe de totale afbuiging te bepalen. Dat de zo berekende horizontale snelheid verder weg van de zon niet meer klopt maakt dan niet meer uit omdat de afbuiging daar sowieso verwaarloosbaar gering is. Echter zegt vergelijking (6) doordat dy daarin op nul is gesteld van zichzelf niets meer over de verandering van y en dus ook niets meer over het traject dat het licht aflegt. Vandaar dat daar Huygens' principe voor van stal gehaald is. Dit zijn duidelijk benaderingen maar ze blijken voor de totale afbuiging vrij goed uit te pakken.

Helaas ik kan het lichttraject volgens (5) en (6) dus niet met elkaar vergelijken, zoals ik dat oorspronkelijk van plan was. Vergelijking (6) levert van zichzelf immers geen lichttraject op. Hopelijk kunnen we de horizontale snelheid dx/dt volgens vergelijkingen (5) en (6) wel met elkaar vergelijken...

[wnvl1]

Kun je inderdaad gewoon de metriek in x,y,z,t uitdrukken door de transformatieformules te gebruiken, en is wat je dan vindt ook weer exact geldig?

Uiteraard. Je gaat dan effectief van bol- naar Cartesische coordinaten.

Als ik kijk naar hoe de Schwarzschildmetriek wordt afgeleid in Relativity Demistified, dan wordt er vertrokken van bolcoordinaten met \(r\), \(\theta\) en \(\phi\). Dan gebeurt er echter een transformatie \(\rho=\sqrt{C(r)}r \) en verderop wordt die \(\rho\) dan terug herschreven als \(r\). De details maken niet uit, maar Schwarzschild manipuleert de originele \(r\), dat is niet meer de r van de originele bolcoordinaten. Ik weet ook wel dat er andere afleidingen zijn van de Schwarzschildmetriek.

Op zich heb ik er geen probleem mee dat je nadien terug van bol naar Cartesische coordinaten gaat. Maar volgens mij is dat niet de enigste toegelaten manier. Als je nu bijvoorbeeld doet \(x=r \sin \theta \cos \phi e^{-1/r}\) (ik geef een voorbeeld zonder er veel bij na te denken), dan is voor een waarnemer die zich op r is oneindig bevindt de mapping dezelfde (\(e^{-1/r}\) wordt dan toch 1), maar onderweg is ze anders. Vandaar ook mijn bewering dat voor een waarnemer op aarde de verdeling van de afbuiging van het licht onderweg niet relevant is, hij ziet toch alleen maar de totale afbuiging op oneindig. Vandaar ook mijn overtuiging dat heel deze oefening niet zo relevant is.

[Professor Puntje]

Ik zie dit vooral als een oefening met de wiskunde van de schwarzschildoplossing, en daarvoor is dit topic althans voor mij wel relevant. Het maken van oefeningen uit leerboeken vind ik veel minder boeiend, dan om zelf met een hardnekkig vraagstuk zoals het piekenprobleem te worstelen. Dus hoe absurd deze hele exercitie er voor de profs ook uitziet, ik leer er heel veel van.