De schwarzschildmetriek in het xy-vlak

[Professor Puntje]

Die twee pieken ontstaan wanneer de Schwarzschild oplossing gekozen wordt, en geldt dan denk ik idd r^2=x^2+y^2.

Dat laatste kan inderdaad vanuit de transformatieregels bewezen worden:

\(\)

\( 1 = \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) \)

\(\)

\( r^2 = r^2 \cos^2(\alpha) + r^2 \sin^2(\alpha) \)

\(\)

\( r^2 = x^2 + y^2 \)

[Professor Puntje]

Ook vergelijking (2) kan desgewenst direct uit de transformatieregels worden afgeleid:

\(\)

\( x = r \cos(\alpha) \)

\(\)

\( dx = d r \cdot \cos(\alpha) \, + \, r \cdot (-\sin(\alpha)) d \alpha \)

\(\)

\( dx = d r \cdot \cos(\alpha) \, - \, r \cdot \sin(\alpha) d \alpha \)

\(\)

\( dx^2 = d r^2 \cos^2(\alpha) - 2 d r \cos(\alpha) r \sin(\alpha) d \alpha + r^2 \sin^2(\alpha)) d \alpha^ 2 \)

\(\)

\( dx^2 = d r^2 \cos^2(\alpha) - r \sin(2 \alpha) d r d \alpha + r^2 \sin^2(\alpha)) d \alpha^2 \)

\(\)

\(\)

\( y = r \sin(\alpha) \)

\(\)

\( dy = d r \cdot \sin(\alpha) \, + \, r \cdot \cos(\alpha) d \alpha \)

\(\)

\( dy^2 = d r^2 \sin^2(\alpha) + 2 d r \sin(\alpha) r \cos(\alpha) d \alpha + r^2 \cos^2(\alpha)) d \alpha^ 2 \)

\(\)

\( dy^2 = d r^2 \sin^2(\alpha) + r \sin(2 \alpha) d r d \alpha + r^2 \cos^2(\alpha)) d \alpha^2 \)

\(\)

\(\)

\( dx^2 + dy^2 = dr^2 + 0 + r^2 d \alpha^2 \)

\(\)

\( dx^2 + dy^2 = r^2 d \alpha^2 + dr^2 \)

[VooralDoen]

Is de metriek voor een 3D ruimtetijd gevraagd, of een 3Ddoorsnede van de 4D ruimtetijd?

[Professor Puntje]

Aangezien we in dit topic de beweging van licht beschouwen dat rakelings langs de zon scheert mogen we z = dz = 0 nemen. Het middelpunt van de zon en het lichttraject liggen immers in hetzelfde vlak, en loodrechte bewegingen daarop zijn dus niet aan de orde. Er blijven dan maar drie relevante dimensies (x, y en t) over. Maar de metriek is hier al gevonden. Ik werk nu aan de toepassing.

[Professor Puntje]

Even herhalen wat MathPages met Huygens' principe doet. Dat komt op het volgende neer:

Uit bovenstaand plaatje van een infinitesimaal voortschrijdend golffront zien we dat:

\(\)

\( \mathrm{d} \varphi = \tan( \mathrm{d} \varphi ) \)

\(\)

\( \mathrm{d}\varphi = \frac{ (x_{R+dR}(t + \mathrm{d}t) - x_{R+dR}(t)) \, - \, (x_R(t + \mathrm{d}t) - x_R(t)) )}{\mathrm{d}R} \)

\(\)

\( \mathrm{d}\varphi = \frac{ \frac{\mathrm{d} x_{R+dR}}{\mathrm{d}t} \cdot \mathrm{d}t \, - \, \frac{\mathrm{d} x_R}{\mathrm{d}t} \cdot \mathrm{d}t }{\mathrm{d}R} \)

\(\)

\( \mathrm{d}\varphi = \frac{ \frac{\mathrm{d} x_{R+dR}}{\mathrm{d}t} \, - \, \frac{\mathrm{d} x_R}{\mathrm{d}t} }{\mathrm{d}R} \cdot \mathrm{d}t \)

\(\)

\( \mathrm{d}\varphi = \frac{\partial}{\partial R} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} \right ) \cdot \mathrm{d}t \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial}{\partial R} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} \right ) \cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\partial}{\partial R} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} \right ) }{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} \,\,\,\,\,\,\,\, (7) \)

\(\)

Let wel dat hier sprake is van een benadering, en dat Huygens' principe zoals op MathPages toegepast nog in de race is als mogelijke (deel)oorzaak van de twee pieken.

[Professor Puntje]

Voor een lichtstraal hebben we ds = 0, dus de in (6) toegepaste MathPages-benadering dy=0 levert dan op dat:

\(\)

\( 0 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \left ( \frac{x^2}{r^2} \frac{r_s}{r - r_s} + 1 \right ) d x^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 = \left ( \frac{x^2}{r^2} \frac{r_s}{r - r_s} + 1 \right ) d x^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 = \left ( \frac{x^2}{r^2} \frac{r_s}{r} \frac{1}{1 - \frac{r_s}{r}} + 1 \right ) d x^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})^2 c^2 d t^2 = (1 - \frac{r_s}{r}) \left ( \frac{x^2}{r^2} \frac{r_s}{r} \frac{1}{1 - \frac{r_s}{r}} + 1 \right ) d x^2 \)

\(\)

\( (1 - \frac{r_s}{r})^2 c^2 d t^2 = ( \frac{x^2}{r^2} \frac{r_s}{r} + 1 - \frac{r_s}{r}) d x^2 \)

\(\)

\( \frac{dx^2}{dt^2} = \frac{ (1 - \frac{r_s}{r})^2 }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \cdot c^2 \,\,\,\,\,\,\,\, (8) \)

[Professor Puntje]

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}t^2} = \frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \cdot c^2 \,\,\,\,\,\,\,\, (6)\)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\partial}{\partial R} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d}t} \right ) }{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} \,\,\,\,\,\,\,\, (7) \)

\(\)

Dat geeft:

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\partial}{\partial R} \left ( \frac{\mathrm{d} x}{c \, \mathrm{d}t} \right ) }{\frac{\mathrm{d}x}{c \, \mathrm{d}t}} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial}{\partial R} \ln(\frac{\mathrm{d}x}{c \, \mathrm{d}t}) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial}{\partial R} \ln \left (\sqrt{\frac{\mathrm{d}x^2}{c^2 \mathrm{d}t^2}} \right ) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial R} \ln(\frac{\mathrm{d}x^2}{c^2 \mathrm{d}t^2}) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial R} \ln \left (\frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \right ) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial R} \left \{ \ln \left ((1 - \frac{r_s}{r})^2 \right ) \, - \, \ln \left ( \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} \right )\right \} \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial R} \ln \left ((1 - \frac{r_s}{r})^2 \right ) \, - \, \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial R} \ln \left ( \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} \right ) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial}{\partial R} \ln (1 - \frac{r_s}{r}) \, - \, \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial R} \ln \left ( \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} \right ) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\partial}{\partial R} (1 - \frac{r_s}{r})}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \, - \, \frac{1}{2} \frac{ \frac{\partial}{\partial R} \left ( \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} \right ) }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{- r_s \frac{\partial}{\partial R} \frac{1}{r}}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \, - \, \frac{1}{2} \frac{r_s x^2 \frac{ \partial}{\partial R} \frac{1}{r^3} - r_s \frac{\partial}{\partial R} \frac{1}{r} }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{ r_s \frac{R}{r^3}}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \, - \, \frac{1}{2} \frac{- 3 r_s x^2 \frac{R}{r^5} + r_s \frac{R}{r^3} }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \left ( \frac{1}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \, - \, \frac{1}{2} \frac{- 3 \frac{x^2}{r^2} + 1 }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \right ) \cdot r_s \frac{R}{r^3} \,\,\,\,\,\,\, (9) \)

\(\)

De vraag wat voor curve dit oplevert voor R = R_zon en r = √(x² + R_zon²) is eerder in het topic "Twee pieken of toch maar één?" al beantwoord:

Ik vind zelf op basis van (16) met een provisorische Python simulatie twee pieken voor dφ/dx als functie van x, kan iemand anders dat ter controle ook nog plotten?

Dit is een Mapleplot van jouw expressie...

[OOOVincentOOO]

Twee pieken want je hebt de term: \(x^2/r^2\) zie mijn draadje:

viewtopic.php?f=66&t=212787

[Professor Puntje]

Correctie: de eerste formule in mijn vorige post moet niet nummer (6) hebben maar (8). Kan een moderator dat nog verbeteren?

[Professor Puntje]

In het topic "Conclusie van het "twee pieken experiment"" kwamen we tot de volgende conclusie:

(...) maar we weten nu dat die twee pieken niet automatisch verschijnen als je naar een xy-frame transformeert, er moet daarvoor nog iets meer meespelen. Maar wat dat precies is kunnen we vooralsnog alleen maar vermoeden...

De afleiding die hier in het huidige topic is gegeven bevat slechts twee benaderingen, namelijk dy=0 in de metriek en MathPages' toepassing van Huygens' principe. Bovendien vinden we hier de twee pieken. Dus de benadering dy=0 in de metriek en MathPages' toepassing van Huygens' principe zijn nu nog de enige overgebleven "verdachten" als veroorzaker(s) van de twee pieken.

[Professor Puntje]

Nu is het de vraag welke van de twee de kwaaie pier is, of dat ze er wellicht allebei een aandeel in hebben?

[OOOVincentOOO]

Beste Professor Puntje,

Misschien kun je overwegen dit draadje te lezen:
viewtopic.php?f=66&t=212787

Blijkbaar heeft iemand mogelijk een aanwijzing waarom de twee pieken ontstaan. Het lijkt er op dat de term:
\(x^2/r^2\) In jouw formule (9):
$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \left ( \frac{1}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \, - \, \frac{1}{2} \frac{- 3 \frac{x^2}{r^2} + 1 }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \right ) \cdot r_s \frac{R}{r^3} \,\,\,\,\,\,\, (9)$$

De twee pieken veroorzaakt. Indien je deze functie plot met en zonder \(x^2/r^2\) kom je misschien tot de zelfde conclusie. Dat zou interessant zijn! Tevens lijkt het opp. (totale afbuighoek) hetzelfde te zijn!

[Professor Puntje]

Het gaat mij erom te achterhalen welke toegepaste benadering in de afleidingen op MathPages de twee pieken veroorzaakt. Inmiddels zijn er maar twee kandidaten over. Het is nu te laat, maar ik zal morgen je onderzoek bekijken.

[Professor Puntje]

@OOOVincentOOO

Ik heb je onderzoek zojuist doorgenomen. Het is goed mogelijk dat het vinden de twee pieken aan de invloed van de term x²/r² is toe te schrijven, maar het simpelweg schrappen van die term is voor mij geen optie. Daarmee zou je dan de twee pieken teniet doen, maar dan weet je nog steeds niet welke op MathPages toegepaste benadering die twee pieken veroorzaakt. Als je de exacte metriek (5) met de benaderde metriek (6) vergelijkt dan zie dat ze beide de term x²/r² bevatten. (Daarvoor moet je (5) nog wat verder uitschrijven.) Maar bij de benaderde metriek (6) is de relatieve invloed van de term x²/r² door het verwaarlozen van termen met dy toegenomen. De twee pieken grijpen dan bij gebruik van die benaderde metriek (6) hun kans, terwijl ze bij gebruik van de exacte metriek (5) nog door andere met dy verbonden termen teniet gedaan worden. - Dat zou kunnen.

Maar om netjes te bewijzen dat bovenstaande inderdaad is wat er gebeurt dat is andere koek.

[OOOVincentOOO]

Beste Professor,

EDIT ik ben fout. Lijkt te kloppen!