Conclusie van het "twee pieken experiment"

[Professor Puntje]

In een ander topic schrijf je dit:

Mijn analyse jouw aanpak:
$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \left ( \frac{1}{ 1 - \frac{r_s}{r} } \, - \, \frac{1}{2} \frac{- 3 \frac{x^2}{r^2} + 1 }{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \right ) \cdot r_s \frac{R}{r^3} \,\,\,\,\,\,\, (9)$$

Mijn input:

Code: Selecteer alles

 phi=(1/(1-Rs/r)-0.5*(-3*(x**2/r**2)+1)/((x**2/r**2) *Rs/r  +1 -Rs/r))*Rs*R/r**3

Code: Selecteer alles

#Open pyplot in separate interactive window
from IPython import get_ipython
get_ipython().run_line_magic('matplotlib', 'qt5')

#https://www.mathpages.com/rr/s8-09/8-09.htm
#https://www.mathpages.com/rr/s6-03/6-03.htm

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import rcParams

rcParams['axes.titlepad'] = 20 

widths = [10,10]
heights = [10]

fig= plt.figure(figsize=(20,10))

gs=fig.add_gridspec(1,2,width_ratios=widths, height_ratios=heights)

ax1=fig.add_subplot(gs[0,0])
ax2=fig.add_subplot(gs[0,1])


#Physical constants
M=1.989e30
G=6.67408e-11
c=3e8
R=696340000

#schwarzschild Radius
Rs=4*M*G/c**2

#Function c(r)
def fdphidr1(r,x):
    
    phi=(1/(1-Rs/r)-0.5*(-3*(x**2/r**2)+1)/((x**2/r**2) *Rs/r  +1 -Rs/r))*Rs*R/r**3
  
    return phi


y=R
x=np.linspace(-10,10,10000)
x=x*R
r=np.sqrt(y**2+x**2)

#Angular Distribution
dphidr=fdphidr1(r,x)

ax1.plot(x/R,dphidr,color="red", linewidth=0.5, label=r"(9)")
ax1.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
ax1.set_ylabel(r'$d \phi /dx$',fontsize=15)

#Integrated deflection agngle
deflection=np.cumsum(dphidr)*(x[10]-x[9])
deflection=np.degrees(deflection)*3600

ax2.plot(x/R,deflection,color="red", linewidth=0.5, label=r"(9)")
ax2.set_xlabel(r'$x$',fontsize=15)
ax2.set_ylabel(r'$\int \phi dx$',fontsize=15)


ax1.legend(loc="upper right")
ax2.legend(loc="upper right")

Puntje.png

Mijn obervatie:

• Er zijn twee pieken.

• Totale deflectiehoek krijg ik niet kloppende.

Eens zien of dat klopt...

[OOOVincentOOO]

Wil eerst zeggen dat ik de enige ben die de factor twee heeft waargenomen \(3.5"\) ipv \(1.75"\). Thans op twee verschillende manieren.

Dus als iemand kan triple checken graag!

Die wat je net stuurt de eerste "brute force" de andere met "c(r)" (aangegeven met dikke tekst in mijn post).

Kan je code volgen? "np.cumsum" is cumulatieve sommatie (integraal) vermenigvuldigd met delta x "x[10]-x[9]" (verschil tussen element 10 en 9 in x array).

Ben nu bezig met andere reply!

[Professor Puntje]

Ik heb net de code in Spyder gedraaid maar ik krijg een leeg plaatje.

Verder begrijp ik de code ook niet helemaal.

[OOOVincentOOO]

Allereerst compliment voor jouw werk. Het doornemen van jouw formules heeft mij zeer veel inzicht gegeven.

Alleen moeilijk als je soms heel simpele "kladpapier" vereenvoudigingen opschrijft (de grote lijn is makkelijk te volgen zonder). En soms geen toelichting schrijft bij voor mij moeilijke stappen wat jij misschien in het hoofd doet! Maar dat ben ik.

Erg blij dat ik bij jouw ook (mijn): \(x^2/r^2\) heb terug gevonden.

Ik heb misschien uren verschillende mathpages doorgelopen en referentie gevonden naar: Mathpages 6-06/6-06. Ik wilde kost wat kost vermijden dat ikzelf iets zou afleiden (subjectief). Om uiteindelijk in mathpages de bron van \(x^2/r^2\) te zoeken bij \(xdx\) inderdaad in metriek \(g_{xx}\).

Wil eerst zeggen dat ik de enige ben die de factor twee heeft waargenomen \(3.5"\) ipv \(1.75"\). Thans op twee verschillende manieren. Echter een onafhankelijk derde persoon zou handig zijn.

Het dilemma is dat ikzelf tot volgende stap goed kan kan volgen:

Eindformule:

Op MathPages wordt dan dy in (5) verwaarloosd, zodat je krijgt:

\( ds^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 d t^2 + \left ( \frac{x^2}{r^2} \frac{r_s}{r - r_s} + 1 \right ) d x^2 \,\,\,\,\,\,\, (6) \)

Vanaf dit punt en verder is moeilijk voor mij te begrijpen. In zowel mathpages als bij jouw.
Echter kan ik bij mathpages de middelbare school methode toepassen van: "formuletje invullen".

Mijn observaties:

• Bij wiki lees ik dat men gaat delen door (\(d \tau)^2\). Weet niet of dat relevant is. Volgens mij krijg je dan iets als dit ([Wiki]):

$$c^2 = -(1 - \frac{r_s}{r})c^2 \left( \frac{d t }{d \tau} \right)^2 + \left ( \frac{x^2}{r^2} \frac{r_s}{r - r_s} + 1 \right ) \left( \frac{d x}{d \tau} \right)^2 \,\,\,\,\,\,\, (666) $$.

• En dan verder met mathpages methode \(g_{tt}\) en \(g_{xx}\) zijn precies elementen voor: \(\left( {d t }/{d \tau} \right)^2\) en \(\left( {d x}/{d \tau} \right)^2\).

$$c(r)=\frac{dx}{dt}=\sqrt{-\frac{g_{tt}}{g_{xx}}}\\
g_{tt}=\left( d \tau/dt \right)^{2}
\\g_{xx}=\left( d \tau/dx \right)^{2}\\
c(r)=\sqrt{\frac{1-\frac{r_s}{r}}{1+\frac{r_s}{r}\frac{x^2}{r^2}\left(
\frac{1}{1-r_s/r} \right)}}$$

• Mijn gevoel: men berekend lichtsnelheid \(c(r)=dx/dt\) afgeleide in \(y\) is de lichtdeflectie uitgedrukt in snelheid (wat met tijdcomponent gebeurt weet ik niet???).

$$\frac{\partial c(r)}{\partial y}= \frac{d \varphi}{dx}$$

Indien de mathpages methode correct zou zijn verwacht ik \(c(r)\) op de betreffende lijn in jouw afleiding. Zie beneden.

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\partial}{\partial R} \ln \left (\sqrt{\frac{\mathrm{d}x^2}{c^2 \mathrm{d}t^2}} \right ) \)

\(\)

\( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial R} \ln \left (\frac{(1 - \frac{r_s}{r})^2}{ \frac{r_s}{r} \frac{x^2}{r^2} + 1 - \frac{r_s}{r} } \right ) \)

*****************************************************************************************************************
IS DIT IN FEITE NIET c(r)???? WAAROM IS ER DAN EEN LOGARITME??? DIT SNAP IK NIET!!!!
$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial R} c(r)$$
*****************************************************************************************************************
Indien ik numeriek reken met jouw \(c(r)\) komt precies hetzelfde eruit als jouw eindformule. Die eerste methode gaat via \(c(r)\) met numerieke diff. over \(y\) en int. over \(x\). Maar die python code is minder overzichtelijk. De tweede via eindformule is wat jij zojuist poste.

Merk op dat de afgeleide voor \(d(\ln(x))/dx=1/x\) en \(d(\sqrt{x})/dx=1/2\sqrt{x}\) gelijk zijn voor respectievelijk: \(x=2\) en \(x=1\).

Ik doe alleen wat ik leuk vind, analyse en observaties maken. Conclusies mogen anderen het over hebben. Die maak ik alleen voor mijzelf.

Meer zinnigs kan ik niet zeggen en heb volste vertrouwen in jouw specialisme.

[Professor Puntje]

Het gebruik van de natuurlijke logaritme is een rekenkundig handigheidje om de afleiding te vereenvoudigen. Daar steekt verder niets achter. Wat betreft de controle van formule (9) via de berekening van de totale afbuiging, daarvoor kunnen we dan beter het oordeel van een onafhankelijke derde persoon afwachten.

[flappelap]

Ik zie nu weer dit topic, maar die twee pieken komen toch vanwege de g_11 component van de metriek die in 1911 werd genegeerd? Het 1911 resultaat gebruikte dus effectief een Newtonpotentiaal, waaarbij de deflectie een maximum heeft bij minimale afstand. Met g_11 erbij heb je niet meer 1 enkele Newtonpotentiaal in je geodetenvgl, dus is het ook niet zo gek dat je meerdere maxima kunt krijgen.

Misschien spuit 11, in dat geval excuus.

[Professor Puntje]

Dank voor je reactie. Hoewel het inderdaad voorstelbaar is dat er twee pieken zouden optreden blijkt dat bij narekenen en simulatie toch niet het geval te zijn. Zie daarvoor de discussie in dit topic vanaf:

Wat ik wilde doen is,

1. \(r(\phi)\) berekenen met een 'exacte formule (dus op basis van dat werk van Antoniou ofzo).

2. Je berekent de afgeleide (op basis van polaire coördinaten) via

\({\frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_\theta }}}{{{x’_\theta }}} } = {\frac{{{{\left( {f\left( \theta \right)\sin \theta } \right)}^\prime }}}{{{{\left( {f\left( \theta \right)\cos\theta } \right)}^\prime }}} } = {\frac{{f’\left( \theta \right)\sin \theta + f\left( \theta \right)\cos\theta }}{{f’\left( \theta \right)\cos\theta – f\left( \theta \right)\sin \theta }}.}\)

3. Je neemt hiervan de Atan
4. Als je dan doet pi/2 min die hoek heb je de afwijking tov een rechte baan van het licht.
5. Je leidt dat nog eens af en de twee pieken zouden moeten verschijnen.

[Gast]

Ik zie nu weer dit topic, maar die twee pieken komen toch vanwege de g_11 component van de metriek die in 1911 werd genegeerd? Het 1911 resultaat gebruikte dus effectief een Newtonpotentiaal, waaarbij de deflectie een maximum heeft bij minimale afstand. Met g_11 erbij heb je niet meer 1 enkele Newtonpotentiaal in je geodetenvgl, dus is het ook niet zo gek dat je meerdere maxima kunt krijgen.

Misschien spuit 11, in dat geval excuus.

Wil je nu zeggen dat er daadwerkelijk op enige afstand van een massief object een lichtstraal twee maal een maximale deflectie ondergaat?

Want ik weet 100% zeker dat dat niet het geval is.

[Professor Puntje]

Nou nou, 100% is wel heel veel. Maar de simulatie die OOOVincentOOO en ik uitgaande van een exacte oplossing voor het lichttraject hebben uitgevoerd leidt ook tot maar één enkele piek. Dus ik ben wel heel benieuwd wat er volgens flappelap aan onze berekening en simulatie niet klopt.

[Gast]

Naja 99,9% dan

[wnvl1]

In alle nieuwere boeken vind je echter de manier van rekenen terug zoals p144 in Wald.

http://www.fulviofrisone.com/attachment ... tivity.pdf

Lijkt mij een veel correctere aanpak. Dat is ook de methode van Antoniou. En dan verdwijnen die twee pieken (voor wat ze zoiezo waard zijn).

[Professor Puntje]

Het ziet er inderdaad naar uit dat er ook bekeken in het xy-frame maar één piek is. En dan moeten die twee pieken op MathPages wel aan de daar toegepaste benaderingen liggen. Ik heb bovendien twee benaderingen gevonden (dy=0 en het gebruik van Huygens' principe) die samen die twee pieken veroorzaken en MathPages gebruikt die benaderingen ook. Dus daarmee lijkt mij het piekenprobleem opgelost. - Tenzij iemand in deze verklaring nog een fout vindt...

[HansH]

Het ziet er inderdaad naar uit dat er ook bekeken in het xy-frame maar één piek is.

Als je helemaal teruggaat in de historie van dit 2 piekenverhaal dan was de aanleiding ooit een idee van mij dat de afbuiging voor de ART over het hele trajekt 2 x zo groot is als voor newton. Toen kwam prof p. met dat 2 pieken verhaal om te laten zien dat dat niet zo is. Nu komen we daar weer van terug dus komt bij mij de vraag weer naar boven of met wat we nu weten we kunnen laten zien of de afbuiging voor de ART over het hele trajekt 2 x zo groot is als voor newton of niet.

[Professor Puntje]

@HansH

Of dat zo is zou ik zo niet weten. Wel is er nog een kwestie die opgelost moet worden voordat we met de piekenkwestie klaar zijn, en dat is de controle van mijn formule (9) aan de hand van de totale afbuiging. Volgens OOOVincentOOO zit mijn formule er wat dat betreft een factor twee naast. Het zou fijn zijn als een onafhankelijk persoon dat nog natrekt.

[Professor Puntje]

Nog maar weer even zelf het Python progje van OOOVincentOOO bekeken. Ik vraag mij af of de schwarzschildradius daarin wel juist berekend is. Zie: https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_radius