Allerlei tensor-vragen

[flappelap]

Je neemt een 3+1D ruimte die vlak is.

De vraag was juist om uit te leggen wat vlak en niet vlak is en liefst in 2d of 3d om het niet onnodig ingewikkeld te maken.

Een 'vlakke ruimte' is een ruimte waarin de gebruikelijke meetkundige formules die je op school geleerd hebt correct zijn. Oftewel, een ruimte waarin, bijvoorbeeld, de omtrek van een cirkel wordt gegeven door \(2\cdot \pi \cdot r\) en de oppervlakte door \(\pi \cdot r^2\).

In een ruimte die niet vlak is, gelden deze formules niet.

(dit is natuurlijk heel kort door de bocht allemaal, maar dit is de simpelste manier waarop ik het kan uitleggen).

Of: hang 3 satellieten in de ruimte, laat ze middels lasers een driehoek vormen, en check de som van de hoeken. Die zal rond de zon b.v. ietsje meer zijn dan 180 graden.

[flappelap]

Ik begrijp wat het betekent om het coördinatenstelsel op een manifold te verschuiven, maar wat betekent het om een punt van de manifold zelf te verplaatsen? En meer bepaald voor de ruimtetijd manifold, ten opzichte waarvan wordt een punt (= gebeurtenis) van die manifold dan verplaatst?

Dit is de befaamde "actieve v.s. passieve transformatie"-discussie.

Bij een passieve transformatie verander je de coordinaten, maar laat je de punten op de manifold ongemoeid. Bij actieve transformaties is het net andersom: je blijft in hetzelfde coordinatensysteem, maar verschuift je punt op de manifold. In dit geval zou dat b.v. betekenen dat je in hetzelfde coordinatenstelsel blijft, en een gebeurtenis op (t,x,y,z)=(0,0,0,0) opschuift naar (1,1,1,1). Oftewel: je beschouwt b.v. een experiment op een later tijdstip op een andere plek in hetzelfde coordinatensysteem.

Dit kun je doen t.o.v. b.v. de aarde. De subtiliteit is dat wanneer je dit met ALLE punten doet op willekeurige wijze, de situatie natuurkundig niet verandert. Dat komt omdat in de ART gebeurtenissen niet slechts punten op je manifold zijn, maar dat je de metriek moet gebruiken om ze te interpreteren.

Zie b.v. ook mijn proefschrift

https://pure.rug.nl/ws/portalfiles/port ... thesis.pdf

par. 1.2 en 2.5.

[Professor Puntje]

Bij een passieve transformatie verander je de coordinaten, maar laat je de punten op de manifold ongemoeid. Bij actieve transformaties is het net andersom: je blijft in hetzelfde coordinatensysteem, maar verschuift je punt op de manifold. In dit geval zou dat b.v. betekenen dat je in hetzelfde coordinatenstelsel blijft, en een gebeurtenis op (t,x,y,z)=(0,0,0,0) opschuift naar (1,1,1,1). Oftewel: je beschouwt b.v. een experiment op een later tijdstip op een andere plek in hetzelfde coordinatensysteem.

Dit kun je doen t.o.v. b.v. de aarde. De subtiliteit is dat wanneer je dit met ALLE punten doet op willekeurige wijze, de situatie natuurkundig niet verandert. Dat komt omdat in de ART gebeurtenissen niet slechts punten op je manifold zijn, maar dat je de metriek moet gebruiken om ze te interpreteren.

Zie b.v. ook mijn proefschrift

https://pure.rug.nl/ws/portalfiles/port ... thesis.pdf

par. 1.2 en 2.5.

Een dergelijke interpretatie heb ik inderdaad overwogen maar vond ik té absurd om serieus te nemen, je kunt immers niet rücksichtslos een stuk uit het ruimtetijd-continuüm van gebeurtenissen scheuren om dat ergens anders neer te zetten. Daarmee zou je de natuurwetmatige samenhang tussen naburige gebeurtenissen verstoren. Dat wil zeggen - tenzij je gebeurtenissen sterk geïdealiseerd als geïsoleerde happenings in een verder nagenoeg lege ruimtetijd beschouwt. Maar dat botst dan weer met een andere idealisering waarbij op nagenoeg ieder punt in de ruimtetijd iets wordt geacht plaats te vinden, wat de ruimtetijd pas tot een continuüm maakt.

Maar is zal nu eerst de vermelde stukken van je proefschrift lezen. Mogelijk biedt dat verlichting.

[wnvl1]

Ik meen wel dat die verplaatsing op een continue manier moet gebeuren. Dus niet echt scheuren, maar eerder uiteentrekken.

[Professor Puntje]

Ik meen wel dat die verplaatsing op een continue manier moet gebeuren. Dus niet echt scheuren, maar eerder uiteentrekken.

Maar hoe trek je een als puntgebeurtenis geïdealiseerd experiment uiteen? Een experiment wordt op zeker moment op een zekere plaats gedaan en men kan (wanneer de plaatselijke omstandigheden dat toelaten) kiezen wanneer en waar. Maar die keuze moet je dan maken voordat het experiment gedaan wordt. Je kunt niet een experiment dat al gedaan is van de plaats en tijd waarop het gedaan is wegnemen en dan op een andere plaats en tijd neerpoten. Het kiezen voor een bepaalde tijd en plaats van uitvoering is nog iets anders dan het veranderen van de tijd en plaats van uitvoering. Dat laatste zou alleen zin hebben als het experiment al is uitgevoerd, maar dan kan het nu juist niet meer verplaatst worden.

Ben nu de Stanford-link over het Hole Argument aan het lezen....

[flappelap]

Ik meen wel dat die verplaatsing op een continue manier moet gebeuren. Dus niet echt scheuren, maar eerder uiteentrekken.

Maar hoe trek je een als puntgebeurtenis geïdealiseerd experiment uiteen? Een experiment wordt op zeker moment op een zekere plaats gedaan en men kan (wanneer de plaatselijke omstandigheden dat toelaten) kiezen wanneer en waar. Maar die keuze moet je dan maken voordat het experiment gedaan wordt. Je kunt niet een experiment dat al gedaan is van de plaats en tijd waarop het gedaan is wegnemen en dan op een andere plaats en tijd neerpoten. Het kiezen voor een bepaalde tijd en plaats van uitvoering is nog iets anders dan het veranderen van de tijd en plaats van uitvoering. Dat laatste zou alleen zin hebben als het experiment al is uitgevoerd, maar dan kan het nu juist niet meer verplaatst worden.

Ben nu de Stanford-link over het Hole Argument aan het lezen....

Ik snap je probleem niet zo.

Stel, je wilt een experiment doen. Om de uitkomsten te beschrijven leg je een coordinatensysteem aan en beschrijf je bijvoorbeeld de positie van een slinger met (x,y,z). Vervolgens ga je bekijken wat er gebeurt als je deze slinger in de xy-richting opschuift. In je berekeningen stop je dan bijvoorbeeld (x+a,y+b,z), en kijk je wat de voorspelde uitkomsten dan zijn.

Net zo kun je kijken hoe je berekende uitkomsten veranderen als je i.p.v. de tijdvariabele t de tijdvariabele t+c neemt, oftewel wanneer je de tijd opschuift.

[flappelap]

Bij een passieve transformatie verander je de coordinaten, maar laat je de punten op de manifold ongemoeid. Bij actieve transformaties is het net andersom: je blijft in hetzelfde coordinatensysteem, maar verschuift je punt op de manifold. In dit geval zou dat b.v. betekenen dat je in hetzelfde coordinatenstelsel blijft, en een gebeurtenis op (t,x,y,z)=(0,0,0,0) opschuift naar (1,1,1,1). Oftewel: je beschouwt b.v. een experiment op een later tijdstip op een andere plek in hetzelfde coordinatensysteem.

Dit kun je doen t.o.v. b.v. de aarde. De subtiliteit is dat wanneer je dit met ALLE punten doet op willekeurige wijze, de situatie natuurkundig niet verandert. Dat komt omdat in de ART gebeurtenissen niet slechts punten op je manifold zijn, maar dat je de metriek moet gebruiken om ze te interpreteren.

Zie b.v. ook mijn proefschrift

https://pure.rug.nl/ws/portalfiles/port ... thesis.pdf

par. 1.2 en 2.5.

Een dergelijke interpretatie heb ik inderdaad overwogen maar vond ik té absurd om serieus te nemen, je kunt immers niet rücksichtslos een stuk uit het ruimtetijd-continuüm van gebeurtenissen scheuren om dat ergens anders neer te zetten. Daarmee zou je de natuurwetmatige samenhang tussen naburige gebeurtenissen verstoren. Dat wil zeggen - tenzij je gebeurtenissen sterk geïdealiseerd als geïsoleerde happenings in een verder nagenoeg lege ruimtetijd beschouwt. Maar dat botst dan weer met een andere idealisering waarbij op nagenoeg ieder punt in de ruimtetijd iets wordt geacht plaats te vinden, wat de ruimtetijd pas tot een continuüm maakt.

Maar is zal nu eerst de vermelde stukken van je proefschrift lezen. Mogelijk biedt dat verlichting.

Je scheurt niet. Als je wil, kun je bijvoorbeeld alle punten op een bol zo transformeren dat de bol als geheel draait. Of dat een vlak als geheel verschuift.

[Professor Puntje]

Volgens Taylor & Wheeler Exploring Black Holes vormt het ruimtetijd-continuüm van gebeurtenissen het basis van alles wat zich binnen de ART afspeelt. Zo heb ik dat tot nog toe ook begrepen. Als je dan ook nog eens met delen gaat van het ruimtetijd-continuüm van gebeurtenissen gaat schuiven, dan veronderstel je daarmee een nóg fundamenteler referentiekader ten opzichte waarvan die delen dan weer van plaatst kunnen veranderen. Wat is dat nog fundamenteler referentiekader dan?

[Professor Puntje]

Ik snap je probleem niet zo.

Stel, je wilt een experiment doen. Om de uitkomsten te beschrijven leg je een coordinatensysteem aan en beschrijf je bijvoorbeeld de positie van een slinger met (x,y,z). Vervolgens ga je bekijken wat er gebeurt als je deze slinger in de xy-richting opschuift. In je berekeningen stop je dan bijvoorbeeld (x+a,y+b,z), en kijk je wat de voorspelde uitkomsten dan zijn.

Net zo kun je kijken hoe je berekende uitkomsten veranderen als je i.p.v. de tijdvariabele t de tijdvariabele t+c neemt, oftewel wanneer je de tijd opschuift.

Je kunt wel een zelfde type experiment op verschillende tijden en plaatsen uitvoeren, daar heb ik geen problemen mee.

[flappelap]

Ik snap je probleem niet zo.

Stel, je wilt een experiment doen. Om de uitkomsten te beschrijven leg je een coordinatensysteem aan en beschrijf je bijvoorbeeld de positie van een slinger met (x,y,z). Vervolgens ga je bekijken wat er gebeurt als je deze slinger in de xy-richting opschuift. In je berekeningen stop je dan bijvoorbeeld (x+a,y+b,z), en kijk je wat de voorspelde uitkomsten dan zijn.

Net zo kun je kijken hoe je berekende uitkomsten veranderen als je i.p.v. de tijdvariabele t de tijdvariabele t+c neemt, oftewel wanneer je de tijd opschuift.

Je kunt wel een zelfde type experiment op verschillende tijden en plaatsen uitvoeren, daar heb ik geen problemen mee.

Maken je vergelijkingen dan onderscheid daartussen? We hebben het hier toch over wiskundige transformaties?

[flappelap]

Volgens Taylor & Wheeler Exploring Black Holes vormt het ruimtetijd-continuüm van gebeurtenissen het basis van alles wat zich binnen de ART afspeelt. Zo heb ik dat tot nog toe ook begrepen. Als je dan ook nog eens met delen gaat van het ruimtetijd-continuüm van gebeurtenissen gaat schuiven, dan veronderstel je daarmee een nóg fundamenteler referentiekader ten opzichte waarvan die delen dan weer van plaatst kunnen veranderen. Wat is dat nog fundamenteler referentiekader dan?

Je kunt alleen maar opschuiven "ten opzichte van elkaar". Als ik alles in het heelal 1 meter naar links opschuif, verandert er niks.

In de algemene relativiteitstheorie ligt dat nog subtieler. Want daar is de metriek dynamisch. Als je al je velden en deeltjes opschuift met een willekeurige coordinatentransformatie (!), dan schuif je ook de metriek mee. Effectief doe je dan precies niks. Daarom vormen de algemene coordinatentransformaties ook de zogenaamde "ijktransformaties" in de algemene rel.theorie.

In de wiskunde kun je punten op een manifold van elkaar onderscheiden met behulp van een topologie. In de ART ligt dat anders: daar kun je gebeurtenissen niet fysisch interpreteren zonder metriek. Zie ook weer mijn proefschrift of boek

[flappelap]

Ik zou dat "punten verschuiven" in de context van velden lezen.

Stel bijvoorbeeld dat je een temperatuursfunctie T(x) hebt. Deze functie hangt af van de coordinaat x. Je kunt coordinatentransformaties nu actief opvatten: je houdt het coordinatensysteem {x} hetzelfde, maar verandert het punt. Verschillende punten hebben dan verschillende coordinaten. Dus in hetzelfde coordinatensysteem {x} zijn x en b.v. x'=x+c met c constant twee verschillende punten. Dat de temperatuur dan een scalair is, betekent dat T'(x')=T(x). Je kunt dat als volgt opvatten: de temperatuur heeft een bepaalde verdeling over de plaats x. Nu schuif je van x naar x'=x+c. Als je dan de temperatuursverdeling met dezelfde mate meeschuift zodat je T' in plaats van T krijgt, dan verandert er niks: T'(x')=T(x). Je kunt dat letterlijk tekenen door een grafiek van T(x) te tekenen, de x-as naar rechts op te schuiven, en vervolgens de grafiek van T ook met dezelfde hoeveelheid naar rechts op te schuiven.

[flappelap]

Dit zijn de notes waar ik het eerder over had, maar ze zijn wel erg persoonlijk dus mogelijk verwarrend.

[Professor Puntje]

Dit zijn de notes waar ik het eerder over had, maar ze zijn wel erg persoonlijk dus mogelijk verwarrend.

Dank. Ben begonnen met lezen....

[wnvl1]

Zal het document nog een paar keer moeten lezen om het helemaal te begrijpen tot in alle details.

In de inleiding staat:

"We applied (innitesimal) general coordinate transformations all the
time, but somehow I felt I (and they?) didn't truly understand what was going
on."

Ik vroeg mij af, die eik transformaties wat is daar nu het praktische nut van. Is dat om de Einsteinvergelijkingen op te lossen voor nieuwe gevallen op basis van bestaande oplossingen?