Allerlei tensor-vragen

[Professor Puntje]

r,s-tensor is dat een multilineaire afbeelding van VrxV*s. Een vector is (1,0) een metriek (0,2).

Maar dat is toch in strijd met elkaar? Een vector heeft als argument een covector, dus zou dan een 0,1-tensor moeten zijn.

[wnvl1]

Een vector is dus een (1,0) tensor. Dit heeft als argument een co-vector. Een covector kan je beschouwen als een (0,1)tensor.

Een metriek is een (0, 2) tensor. Die heeft als argument twee vectoren. Die je dan op hun beurt weer kan beschouwen als (1,0) tensoren.

[wnvl1]

r,s-tensor is dat een multilineaire afbeelding van VrxV*s. Een vector is (1,0) een metriek (0,2).

Dit kwam ik op Google Books tegen:

screenshot.png

In je boek heb je een (0, k) tensor en die verwacht als argumenten k vectoren. Die vectoren kan je beschouwen als (1,0) tensoren.

[Professor Puntje]

Volgens dat boek is een (0,k)-tensor dus een multilineaire afbeelding van V*⁰xV^k naar R.

[wnvl1]

ja

[Professor Puntje]

Maar in An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists van Nadir Jeevanjee is het weer precies andersom.

[Gast]

Een diffeomorfisme op een manifold geeft een natuurlijke afbeelding tussen de bijbehorende (duale) raakruimtes. Bij een Lie afgeleide neem je een tensor T(p) in een punt p. Vervolgens bekijk je ook T(q), waarbij p en q verbonden zijn middels een diffeomorfisme. Vervolgens gebruik je de inverse van deze diffeomorfisme om T(q) weer terug te trekken naar de raakruimte in p. En dit vergelijk je met T(p).

Zo vergelijk je 2 tensoren in 1 punt, en heb je geen connectie nodig. Het is de meest natuurlijke manier om te kijken hoe T functioneel verandert als je van p naar q gaat. Een normale functie f(x) verandert niet functioneel ('tensorieel'); je kunt f(x) alleen in verschillende punten uitrekenen. Bij een afgeleide df/dx vergelijk je daarom 2 f-waarden in naburige punten. Bij tensorvelden gaat dat niet eenduidig zonder connectie. De Lie afgeleide is zo de simpelste afgeleide die je kunt introduceren op een manifold.

Dat de Lie afgeleide in de aangegeven zin de simpelste aanpak is begrijp ik, maar dat het ook tot iets zinnigs leidt is daarmee nog niet gezegd. Dat kwartje is bij mij nog niet gevallen. Je kunt al doende natuurlijk wel ervaren dat de Lie afgeleide een nuttig begrip is, maar dat is nog iets anders dan intuïtief begrijpen wat je aan het doen bent en waarom dat werkt.

Is er wellicht een boek dat (ten behoeve van het onderwijs) specifiek ingaat op de motivatie van de in de moderne differentiaalmeetkunde gebruikte definities?

Ik weet niet, maar wat ik hier lees is best een grote stap t.o.v. Exploring Black Holes. Misschien is “General Relativity” van Woodhouse eerst nog een goed boek (kunt altijd even kijken):

W2006

(1.92 MiB) 102 keer gedownload

[wnvl1]

Maar in An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists van Nadir Jeevanjee is het weer precies andersom.

Ik heb toch ook al veel boeken gelezen (wel altijd typische ART boeken) en ik ben echt altijd deze conventie tegengekomen zoals ik ze hierboven heb beschreven.

[Professor Puntje]

Ik weet niet, maar wat ik hier lees is best een grote stap t.o.v. Exploring Black Holes. Misschien is “General Relativity” van Woodhouse eerst nog een goed boek (kunt altijd even kijken):

W2006.pdf

Dat boek heb ik al eens gehad en weer weg gedaan. Het ziet er (na ook zelf nog weer eens op internet gezocht te hebben) toch echt naar uit dat er aan mijn huidige boekencollectie over relativiteit en de Notes van flappelap niets wezenlijks meer valt toe te voegen. Het zal daarmee moeten lukken, of het gaat niet...

[Math-E-Mad-X]

Maar in An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists van Nadir Jeevanjee is het weer precies andersom.

Dat zou heel goed kunnen. Het is echt niet de eerste keer dat verschillende auteurs verschillende definities hanteren. Daar zal je gewoon mee moeten leven.

In het het algemeen geldt dat hoe ouder een bepaald vakgebied is, hoe meer de notaties en definities gestabiliseerd zijn. Als je regelmatig papers leest die recent gepubliceerd zijn (in welk vakgebied dan ook), dan zal je zien dat het allemaal nog vele malen chaotischer is.

[Gast]

Ik weet niet, maar wat ik hier lees is best een grote stap t.o.v. Exploring Black Holes. Misschien is “General Relativity” van Woodhouse eerst nog een goed boek (kunt altijd even kijken):

W2006.pdf

Dat boek heb ik al eens gehad en weer weg gedaan. Het ziet er (na ook zelf nog weer eens op internet gezocht te hebben) toch echt naar uit dat er aan mijn huidige boekencollectie over relativiteit en de Notes van flappelap niets wezenlijks meer valt toe te voegen. Het zal daarmee moeten lukken, of het gaat niet...

Het moeilijke is een juiste "ground up approuch" te vinden (die bij je past) bij een zelfstudie. Die wordt je op uni's natuurlijk aangereikt en krijg je veel hulp en .. je doet het samen.

Ik heb daar ook vaak last van "welk boek moet ik daarvoor hebben, welk boek daarvoor?" .. misschien is een bezoek aan een bibliotheek van een uni in jouw buurt handig. En mogelijk ontmoet je daar ook andere geïnteresseerden. (Via een forum gaat t natuurlijk wat moeizamer.)

Naja, een suggestie.

Jij bent wel erg gemotiveerd en een doorzetter.

[Professor Puntje]

Ik ben al bijna waar ik wil komen. Er zijn nog maar een paar hobbels te nemen. Eventueel accepteer ik de covariante afgeleide en de Lie afgeleide gewoon als dingen die nu eenmaal zo gedefinieerd zijn, dat kan ook. Overtuigende motivaties voor definities zijn fijn, maar niet strikt noodzakelijk.

Ik heb het net nog even nageteld en ik kom op 46 reeds aangeschafte boeken over relativiteitstheorie. En daar moeten nog een paar moeilijk verkrijgbare titels bij komen, maar dan is het toch echt mooi genoeg geweest. Aan een gebrekkige toegang tot zowel populaire als vakliteratuur zal het niet liggen.

[wnvl1]

Ik ben al bijna waar ik wil komen. Er zijn nog maar een paar hobbels te nemen. Eventueel accepteer ik de covariante afgeleide en de Lie afgeleide gewoon als dingen die nu eenmaal zo gedefinieerd zijn, dat kan ook. Overtuigende motivaties voor definities zijn fijn, maar niet strikt noodzakelijk.

Dat begrijp ik niet. Als je naar de film van Eigenchris kijkt met bet betrekking tot de Lieafgeleide van een vectorveld, denk ik toch echt dat je daar een fysische betekenis aan kan toekennen. Ik snap wel dat het moeilijker is om er een fysische betekenis aan toe te kennen als je dat uitbreidt naar andere types van tensoren, maar zelfs dat moet echt wel doenbaar zijn. Ook de covariante afgeleide is echt haalbaar om fysisch te begrijpen. Is echt niet zo'n abstract begrip. Blijven proberen...

[Professor Puntje]

Ik ben inderdaad van plan in elk geval die video-reeks van EigenChris nog één keer te bekijken.

[wnvl1]

Ik ben al bijna waar ik wil komen. Er zijn nog maar een paar hobbels te nemen. Eventueel accepteer ik de covariante afgeleide en de Lie afgeleide gewoon als dingen die nu eenmaal zo gedefinieerd zijn, dat kan ook. Overtuigende motivaties voor definities zijn fijn, maar niet strikt noodzakelijk.

Ik heb het net nog even nageteld en ik kom op 46 reeds aangeschafte boeken over relativiteitstheorie. En daar moeten nog een paar moeilijk verkrijgbare titels bij komen, maar dan is het toch echt mooi genoeg geweest. Aan een gebrekkige toegang tot zowel populaire als vakliteratuur zal het niet liggen.

46 lijkt mij wel veel te veel, maar met 1 of 2 boeken zou ik er ook nooit komen. Het is echt wel iets waarvoor je m.i. een vijftal boeken naast elkaar moet leggen.

Ik vind theoretische fysica zoiezo wel de moeilijkste studierichting die er is. Als je mij een doorsnee doctoraat geeft in de ingenieurswetenschappen (mag een andere richting zijn dan de mijne), econometrie, psychologie (mogen statisch complexe modellen zijn), geneeskunde (ik zeg niet alles), maar mits een relatief kleine inspanning ga ik dat perfect verstaan van A tot Z. Geef mij een doctoraat in de theoretische fysica en dat gaat niet meer op.