Berekening aan het verwerken: 100%
Gebruikersavatar
ukster
Artikelen: 0
Berichten: 5.039
Lid geworden op: za 28 nov 2015, 10:42

antipode

Met welke beginsnelheid v0 moeten we een steen in een tunnel door de aarde gooien (onder Ideale omstandigheden: niet roterende aarde/uniforme dichtheid etc.), zodat de steen de antipode bereikt in de helft van de tijd die ervoor staat als de steen gewoon in het gat valt?

Is het misschien 28457 km/h ? :o
Gebruikersavatar
wnvl1
Artikelen: 0
Berichten: 3.379
Lid geworden op: di 20 jul 2021, 21:43

Re: antipode

\ddot r = \frac{G4/3\pi r^3}{r^2}
Gebruikersavatar
wnvl1
Artikelen: 0
Berichten: 3.379
Lid geworden op: di 20 jul 2021, 21:43

Re: antipode

Tot het voorwerp de aarde verlaat geldt de volgende DV

¨r4Gπρr3=0

met beginvoorwaarden r(0)=Raarde en ˙r(0)=vbegin.

Oplossing is

r(t)=vbegin4Gπρ3sin(4Gπρ3t)+Raardecos(4Gπρ3t)

Daarna stel je

r(π24Gπρ3)=Raarde

en dan heb je de vergelijking om de lanceersnelheid te berekenen. Met beginsnelheid nul is de tijd immers π4Gπρ3. Je krijgt dan een goniometrische vergelijking in sinus en cosinus. Is best wat rekenwerk. Ik weet niet of er een snellere methode is.
Gebruikersavatar
Xilvo
Moderator
Artikelen: 0
Berichten: 11.486
Lid geworden op: vr 30 mar 2018, 16:51

Re: antipode

De kracht bij een homogene aarde is recht evenredig met de afstand tot het middelpunt. Een voorwerp dat je vanaf het oppervlak laat vallen voert een harmonische trilling uit met ω=gR=0,001241 s-1.

Als x de afstand tot het middelpunt is en op t=0 passeert de steen dat middelpunt dan x=Rsinωt
De steen bereikt het oppervlak als ωt=π/2

Wil je dat het oppervlak in de helft van die tijd bereikt wordt, dan ωt=π/4
De nieuwe amplitude A vinden:

R=Asinπ/4 dus A=R2

Snelheid v=ωAcosωt=ωR2cosωt
Snelheid bij bereiken oppervlak v=ωR2cosπ/4=7906 m/s.
Dat komt overeen met 28463 km/h.

(gebruikte waardes: g=9.81 m/s2, R=6371 km)
Gebruikersavatar
ukster
Artikelen: 0
Berichten: 5.039
Lid geworden op: za 28 nov 2015, 10:42

Re: antipode

Ja..
dus vo=Rωo
vo
vo 1913 keer bekeken

Terug naar “Klassieke mechanica”