antipode

[ukster]

Met welke beginsnelheid v₀ moeten we een steen in een tunnel door de aarde gooien (onder Ideale omstandigheden: niet roterende aarde/uniforme dichtheid etc.), zodat de steen de antipode bereikt in de helft van de tijd die ervoor staat als de steen gewoon in het gat valt?

Is het misschien 28457 km/h ?

[wnvl1]

\ddot r = \frac{G4/3\pi r^3}{r^2}

[wnvl1]

Tot het voorwerp de aarde verlaat geldt de volgende DV

$$\ddot r - \frac {4 G \pi\rho r}{3} =0$$

met beginvoorwaarden \(r(0)=R_{aarde}\) en \(\dot{r}(0) = -v_{begin}\).

Oplossing is

$$r(t) = -\frac {v_{begin}}{\sqrt{ \frac {4 G \pi\rho }{3} }} \sin ( \sqrt{ \frac {4 G \pi\rho }{3} } t ) + R_{aarde} \cos (\sqrt{ \frac {4 G \pi\rho }{3} } t )$$

Daarna stel je

$$ r\left(\frac {\pi}{ 2 \sqrt{ \frac {4 G \pi\rho }{3}}} \right) = -R_{aarde}$$

en dan heb je de vergelijking om de lanceersnelheid te berekenen. Met beginsnelheid nul is de tijd immers \(\frac {\pi}{ \sqrt{ \frac {4 G \pi\rho }{3}}} \). Je krijgt dan een goniometrische vergelijking in sinus en cosinus. Is best wat rekenwerk. Ik weet niet of er een snellere methode is.

[Xilvo]

De kracht bij een homogene aarde is recht evenredig met de afstand tot het middelpunt. Een voorwerp dat je vanaf het oppervlak laat vallen voert een harmonische trilling uit met \(\omega=\sqrt{\frac{g}{R}}=0,001241\) s^-1.

Als x de afstand tot het middelpunt is en op t=0 passeert de steen dat middelpunt dan \(x=R\sin{\omega t}\)
De steen bereikt het oppervlak als \(\omega t=\pi /2\)

Wil je dat het oppervlak in de helft van die tijd bereikt wordt, dan \(\omega t=\pi /4\)
De nieuwe amplitude A vinden:

\(R=A\sin{\pi /4}\) dus \(A=R\sqrt{2}\)

Snelheid \(v=\omega A \cos{\omega t} =\omega R \sqrt{2} \cos{\omega t} \)
Snelheid bij bereiken oppervlak \(v=\omega R \sqrt{2} \cos{\pi /4}=7906 \) m/s.
Dat komt overeen met 28463 km/h.

(gebruikte waardes: g=9.81 m/s², R=6371 km)

[ukster]

Ja..
dus v_o=Rω_o

vo 1604 keer bekeken