De verwijderingssnelheid tussen fotonen volgens de SRT

[Professor Puntje]

Ga uit van twee fotonen A en B in absoluut vacuüm die in het cartesiaanse referentieframe van een inertiaalwaarnemer W op tijdstip t=0 door de oorsprong O vliegen. Neem verder aan dat die twee fotonen A en B zich in het XY-vlak bewegen en dat hun banen volgens W de respectieve hoeken \( \varphi_A \) en \( \varphi_B \) met de positieve x-as maken.

Dan hebben we als plaatsvector \( \mathbf{r_A}(t) \) voor het foton A dat:

\(\)

\( \mathbf{r_A}(t) = ( \cos(\varphi_A) \, \mathbf{e_x} + \sin(\varphi_A) \, \mathbf{e_y} ) \cdot \mathrm{c} t \)

\(\)

En als plaatsvector \( \mathbf{r_B}(t) \) voor het foton B dat:

\(\)

\( \mathbf{r_B}(t) = ( \cos(\varphi_B) \, \mathbf{e_x} + \sin(\varphi_B) \, \mathbf{e_y} ) \cdot \mathrm{c} t \)

\(\)

Zodat we voor de verwijderingssnelheid \( \mathbf{v_w} \) van foton B ten opzichte van foton A krijgen dat:

\(\)

\( \mathbf{v_w} = \frac{\mathrm{d} (\mathbf{r_B}(t) \, - \, \mathbf{r_A}(t))}{\mathrm{d} t} \)

\(\)

Rest nog dat voor willekeurige hoeken \( \varphi_A \) en \( \varphi_B \) uit te rekenen...

\(\)

Opmerking: de verwijderingssnelheid is dus steeds gedefinieerd zoals bezien door een zekere inertiaalwaarnemer W.

[wnvl1]

$$\mathbf{v_w} = ( \cos(\varphi_B) - \cos(\varphi_A)\, ) c \mathbf{e_x} + ( \sin(\varphi_B) - \sin(\varphi_A)\, ) c \mathbf{e_y}$$

Het is wel altijd handiger om één foton te laten samenvallen met de x-as, dat maakt formule eenvoudiger en verandert niets aan de algemeenheid.

[Professor Puntje]

Ziet er goed uit.

Voor \( \varphi_A = 0 \) en \( \varphi_B = \varphi \) wordt het dan:

\( \mathbf{v_w} = ( \cos(\varphi) - 1 \, ) c \mathbf{e_x} + \sin(\varphi) c \mathbf{e_y} \)

[Professor Puntje]

De grootte \( v_w = | \mathbf{v_w} | \) van de verwijderingssnelheid is dan ook eenvoudig met Pythagoras uit te rekenen.

[Professor Puntje]

\( v_w = | \mathbf{v_w} | \)

\(\)

\( v_w = | ( \cos(\varphi) - 1 \, ) c \mathbf{e_x} + \sin(\varphi) c \mathbf{e_y} | \)

\(\)

\( v_w = \sqrt{ ( \cos(\varphi) - 1 \, )^2 c^2 + \sin^2(\varphi) c^2 } \)

\(\)

\( v_w = \sqrt{ ( \cos(\varphi) - 1 \, )^2 + \sin^2(\varphi)} \, \cdot \, c \)

\(\)

\( v_w = \sqrt{ \cos^2(\varphi) - 2 \cos(\varphi) + 1 \, + \, \sin^2(\varphi)} \, \cdot \, c \)

\(\)

\( v_w = \sqrt{ 2 - 2 \cos(\varphi) } \, \cdot \, c \)

\(\)

\( v_w = \sqrt{2} \, \sqrt{ 1 - \cos(\varphi) } \, \cdot \, c \)

[HansH]

wat betekent ex en ey ?wat dat staat nergens omschreven. ik neem aan dat dat de eenheids vectoren zijn?

[Xilvo]

Het is de verwijderingssnelheid voor twee deeltjes die met constante en gelijke snelheid met onderlinge hoek φ bij een waarnemer vertrekken.

Het hoeven geen fotonen te zijn en de SRT heb je niet nodig.

[Professor Puntje]

Als de afgeleide formule correct is zijn we toch klaar?

[Gast]

Maar idd, dit is dus bezien vanuit één enkel frame.
Dan heeft het toch niets meer met (S)RT te maken?

[Professor Puntje]

Sommige zaken blijven ook binnen de SRT hetzelfde als in de klassieke (niet-relativistische) kinematica. Dit is daar een voorbeeld van. Maar dat maakt het voor de SRT nog niet ongeldig.

In mijn ogen is het heel simpel: geef een fatsoenlijke definitie van verwijderingssnelheid; vul de gegevens voor te beschouwen situatie in; reken de verwijderingssnelheid voor de te beschouwen situatie uit. En klaar is Kees.

[Gast]

Ja ok, zoals ik eerder ergens zei "je bent natuurlijk vrij om 3D vectoren te gebruiken in de SRT, zolang de vectoren maar in hetzelfde inertiaalstelsel worden uitgedrukt" of iets in die trent.

Maar waar ik dacht dat het om ging is via de posities van de fotonen/lichtpulsen de "verwijderingssnelheid ten opzichte van mekaar" te berekenen. En je zodoende hetzelfde principe krijgt als voor relativistische deeltjes, waarbij je gemakkelijk gebruik kunt maken van hun inertiaalstelsels.

In mijn ogen is het heel simpel.

Daar ben ik het dus wel mee eens ja .. voor één enkel inertiaalstelsel aka Newtonian mechanics

[Professor Puntje]

Het alternatief is om het ene foton vanuit het frame van het andere foton te bekijken wat binnen de SRT onzin is. Dus klaar toch...?

[Gast]

Nou nee. Dat is niet het enige alternatief.
Zoals ik eerder (ander topic) zei:

"Je kunt het traject of de snelheid van een foton prima transformeren tussen twee inertiaalstelsel. Het feit dat een foton geen eigen inertiaalstelsel heeft, betekent niet dat waarnemers het niet kunnen meten of hun metingen kunnen vertalen tussen hun respectieve inertiaalstelsels."

Ik heb alleen moeite met .. het überhaupt met woorden uit te leggen. En wiskundig worstel ik vooralsnog helemaal.

Maar inmiddels heb ik ook zoiets van laat ook maar. Wanneer gebruikt iemand zoiets nou. Dussuhm .. niet omdat het moet, maar omdat het kan?

Ik zie nog wel even.

[flappelap]

wat betekent ex en ey ?wat dat staat nergens omschreven. ik neem aan dat dat de eenheids vectoren zijn?

Ja; dit is standaard notatie

[Professor Puntje]

@TommyWhite

De vraag was wat de verwijderingssnelheid als bezien door een waarnemer W tussen twee fotonen is, en dat is hier nu voor alle hoeken \( \varphi \) uitgerekend. Dan kun je daarna inderdaad de vervolgvraag stellen wat voor verwijderingssnelheid een andere waarnemer W' zou meten. En daarna zou je je zelfs nog kunnen afvragen wat een versnellende waarnemer W" zou meten. Of hoe je de verwijderingssnelheid in andere coördinatenstelsels zou moeten uitdrukken. Er zijn altijd vervolgvragen te bedenken. Maar die mogen wat mij betreft anderen dan beantwoorden.