Poincaré's HPM (hyperbolisch vlak)

[ENoeth]

Hoi
 
Eerst even een korte inleiding i.v.m. het thema:
Voor het hyperbolisch vlak gebruikt men de volgende conventies:

• De punten van het hyp.vlak zijn alle punten uit het Euclidisch vlak met strikt positieve Y-coördinaat.
• Er zijn twee soorten hyperbolische rechten:

1. Een verticale open halfrechte van het vlak; deze rechte wordt genoteerd als R(a) waarbij x = a de vgl. is van de Euclidische rechte die deze helfrechte bevat.
2. Een halve Euclidische cirkel met middelpunt op de X-as. We noteren C(c,r) met (c,0) het middelpunt van de cirkel en r de straal.                        

We definiëren de cosinus van de hoek tussen C(c,r) en R(a) als cos(x) = (c-a) / r.
 
Nu zit ik vast bij het volgend vraagstuk:
Zij C(c, r) een rechte die de rechte R(0) snijdt in een hoek van 45° . Aan welke vergelijking/voorwaarden voldoen c en r? 
Het antwoord zou overeen moeten komen met r = (1 +- sqrt{sqrt{2}+1})^2  en c = +- sqrt{2}/2 * r . Ik heb het antwoord voor c al gevonden. Namelijk door te stellen dat cos^2 (45°) = cos^2 (135°) = c^2/r^2 = 1/2, waaruit dan eenduidig volgt c = +- sqrt{2}/2 * r. Voor de berekening van r zit ik vast. Kan iemand me helpen.
 
Alvast bedankt.

[ENoeth]

Een kleine toevoeging bij het vraagstuk:
Welke van deze rechten gaat door het punt (0, 1)? Noem een dergelijke rechte L. Vind een rechte L' die een hoek van 45◦ maakt met R(0) en met L. Bereken het snijpunt van L en L '.

[ENoeth]

w

[Meindert SJH]

Waar kan ik de oplossing vinden van de opgaves? Heb dit nodig voor een schoolproject.

[Meindert SJH]

Als ik moet antwoorden op je vraag heb je wellicht een stelsel nodig want je hebt twee onbekenden;

[Professor Puntje]

Een interessant topic, maar ik mis nog wat info om ermee uit de voeten te kunnen. Om te beginnen: hoe is dat hyperbolische vlak precies gedefinieerd?

[Meindert SJH]

zie website: https://www.ugent.be/we/nl/onderwijs/mo ... mpproj.pdf