Gebruik van positievectoren in SRT

[vijv]

Professor Puntje schreef:

"Dat je voor de ART speciale constructies met manifolds nodig hebt om nog met vectoren te kunnen werken is mij bekend. Daar heb ik pas nog de nodige aandacht aan besteed. Maar voor de SRT is dat volgens mij onnodig. Als het gebruik van 3D positievectoren binnen de SRT wiskundig niet in de haak is lees ik daar graag een voorbeeld van."

Ook in de SRT maak je gebruik van dezelfde concepten als in de ART, alleen merk je dit niet omdat SRT zich in een vlakke ruimte afspeelt en het lijkt alsof vectoren in die ruimte liggen. Ook het feit dat in het middelbaar het begrip vector uitgelegd wordt aan de hand van positievectoren helpt niet.

Rekenkundig zal je binnen de RST natuurlijk niet in de problemen komen aangezien de coördinaten die een positie aangeven binnen een assenstelsel gelijk zijn aan de componenten van de positievector.

Echter hoe verklaar je dat jou positievector anders transformeert als de snelheidsvector in een bepaald punt?

[Professor Puntje]

Echter hoe verklaar je dat jou positievector anders transformeert als de snelheidsvector in een bepaald punt?

Voor de transformaties tussen verschillende referentieframes hebben we de lorentztransformaties en die hebben zowel betrekking op de ruimte als op de tijd. Dus ik zou niet weten waarom een positievector hetzelfde zo moeten transformeren als een snelheidsvector. Hoe het daarmee staat zal een berekening via de lorentztransformaties moeten leren.

[wnvl1]

Met een positievector in de SRT bedoel je dan een vector waarvan de tijdscomponent in een bepaald referentieframe nul is veronderstel ik? Verbeter mij als het een andere betekenis heeft. Dit transformeert dan toch met dezelfde formules als andere vectoren (zoals een snelheidsvector) transformeren. Na transformatie kan er uiteraard wel een tijdscomponent zijn.

[Professor Puntje]

De positievector is een 3-vector en heeft geen tijdscomponent, maar is wel een functie van de tijd. Dat alles gemeten in een en hetzelfde referentieframe. Ik weet wel dat er in een meer geavanceerde aanpak viervectoren en tensoren gebruikt worden, maar dat lijkt mij voor zoiets eenvoudigs als de verwijderingssnelheid in één frame niet nodig.

[vijv]

De positievector is een 3-vector en heeft geen tijdscomponent, maar is wel een functie van de tijd. Dat alles gemeten in een en hetzelfde referentieframe. Ik weet wel dat er in een meer geavanceerde aanpak viervectoren en tensoren gebruikt worden, maar dat lijkt mij voor zoiets eenvoudigs als de verwijderingssnelheid in één frame niet nodig.

Het is inderdaad context afhankelijk of je de positievector als 3- ofwel als 4-vector definieert.
Al denk ik dat de term 3-vector geen goede term is, blijf ik hem voor de eenvoudigheid hier gebruiken.
Binnen SRT (en bij uitbreiding ART) is er met beide definities echter een "probleem"

1) Positievector als 3-vector

Waarom zou je deze extra structuur gebruiken als je reeds een coördinatenstelsel hebt gedefinieerd.
Trouwens door t uit te sluiten beschouw je deze als een parameter en niet als coördinaat. Erg newtoniaans en niet relativistisch.

1) Positievector als 4-vector

Hier is mijn kritiek dat deze niet hetzelfde transformeert als "echte " vier-vectoren zoal snelheid en moment vectoren.
Dat dit in de literatuur echter toch heel veel gebruikt wordt komt doordat deze voor rotaties en boosts transformaties wel transformeren al een snelheidsvector. Bij een translatie echter is dit niet meer het geval.

Eens we naar de ART overstappen is het idee van een positievector onzinnig. Aangezien SRT een specifieke ruimte is binnen het ART vraag ik me af waar je dan de overstap maakt naar de positievector?

[Professor Puntje]

Ik ga zolang dat niet nodig is ook niet uit van de ART. Je kunt de SRT best uitwerken zonder viervectoren of tensoren. In veel leerboeken wordt dat ook zo gedaan.

Maar laat eens zien hoe jij het zou doen. Hoe zou je bijvoorbeeld de verwijderingssnelheid tussen twee fotonen die in zeker inertiaalstelsel I op t=0 door de oorsprong O gaan met behulp van tensoren definiëren en berekenen?

[wnvl1]

Aangezien SRT een specifieke ruimte is binnen het ART vraag ik me af waar je dan de overstap maakt naar de positievector?

Als de metriek vlak is zoals in SR, dan ziet de wereld er overal hetzelfde uit en is de ruimte een lineaire vectorruimte en dan kan je werken met positievectoren denk ik. Als de metriek niet vlak is, dan is dat 'lineaire' aspect weg en dan kan je niet meer werken met positievectoren. Zo kijk ik ernaar.