Allerlei tensor-vragen

[Professor Puntje]

Voor de wiskunde geldt hetzelfde. Als je op de universiteit komt worden er in een razend tempo torenhoge kathedralen van op elkaar gebaseerde begrippen en definities opgebouwd. Even niet opgelet en je hebt geen idee meer waar het over gaat. Andere minder abstracte vakken werken met een beperkt aantal basisbegrippen waar dan verder mee wordt gewerkt en waar er daarna nauwelijks iets essentieel nieuws meer bij komt. Maar in de wis- en natuurkunde ben je nooit klaar want er zijn altijd nog weer verdere generalisaties en varianten te onderzoeken. Daarom zet ik er na deze ART-zelfstudie ook een punt achter. Dan ga ik verder met wat ik al weet, en wil ik er geen nieuwe vakgebieden meer bijleren. Het moet voor mij wel een hobby blijven.

[wnvl1]

Wiskunde valt onder dezelfde categorie. Het bewijs van de stelling van Fermat zou zo complex zijn dat het maar door een beperkt aantal mensen begrepen zou kunnen worden.

[Professor Puntje]

Ik ben toen naar een bijeenkomst ter gelegenheid van dat bewijs op de universiteit geweest maar begreep er vrijwel niets van. En daar werd het bewijs nog sterk vereenvoudigd uitgelegd. Kun je nagaan. Dat is echt intellectuele topsport, en voor gewone stervelingen volstrekt niet meer te volgen.

[flappelap]

Ik ben al bijna waar ik wil komen. Er zijn nog maar een paar hobbels te nemen. Eventueel accepteer ik de covariante afgeleide en de Lie afgeleide gewoon als dingen die nu eenmaal zo gedefinieerd zijn, dat kan ook. Overtuigende motivaties voor definities zijn fijn, maar niet strikt noodzakelijk.

Ik heb het net nog even nageteld en ik kom op 46 reeds aangeschafte boeken over relativiteitstheorie. En daar moeten nog een paar moeilijk verkrijgbare titels bij komen, maar dan is het toch echt mooi genoeg geweest. Aan een gebrekkige toegang tot zowel populaire als vakliteratuur zal het niet liggen.

46 lijkt mij wel veel te veel, maar met 1 of 2 boeken zou ik er ook nooit komen. Het is echt wel iets waarvoor je m.i. een vijftal boeken naast elkaar moet leggen.

Ik vind theoretische fysica zoiezo wel de moeilijkste studierichting die er is. Als je mij een doorsnee doctoraat geeft in de ingenieurswetenschappen (mag een andere richting zijn dan de mijne), econometrie, psychologie (mogen statisch complexe modellen zijn), geneeskunde (ik zeg niet alles), maar mits een relatief kleine inspanning ga ik dat perfect verstaan van A tot Z. Geef mij een doctoraat in de theoretische fysica en dat gaat niet meer op.

Tijdens mijn promotie volgde ik in de eerste 3 weken een vak snaartheorie van Uranga in Brussel. In 3 weken tijd werd een dictaat van 500 pagina's er doorheen gejast

Ik heb me nog nooit zo dom gevoeld. En dat was 1 van de 3 vakken. Een ander vak was gevorderde QFT, met telkens 3 of 4 uur (uitloop tot 7 uur 's avonds) college achter elkaar van Bilal. Die vond pauzes maar vervelend, dan "gingen er mensen naar het toilet enzo"

Theoretische natuurkunde is tegenwoordig een oceaan om in te zwemmen. Daar je weg in vinden en ook nog een proefschrift schrijven is voor mij persoonlijk mijn grootste overwinning ooit geweest.

[Professor Puntje]

Je vraagt je af of de wal van de menselijke beperkingen het schip van de theoretische fysica op zeker moment niet zal keren. Dan zullen de nieuwere ontwikkelingen in dat vak alleen nog behappen zijn voor bezetenen die bereid zij daar alles in hun leven voor op te offeren.

[flappelap]

En bepaalde resultaten zijn lastig te checken. Ik heb zelf al es berekeningen gedaan die me weken kostten, en bepaalde supergravitatieberekeningen kunnen makkelijk een half jaar van je leven kosten.

Twee vriendinnen van me moesten van hun promotoren een aantal lusberekeningen in N=4 super Yang-Mills doen. Dat heeft 2 jaar geduurd. En iedereen verklaarde ze voor gek als ze hun project hoorden En wie zegt dat het foutloos is als slechts 2 mensen op aarde zoiets hebben berekend?

[Professor Puntje]

Ja - ik zou zeggen dat dan de grens van wat redelijkerwijs nog te doen is dan al is bereikt.

[Gast]

Flappelap:

Theoretische natuurkunde is tegenwoordig een oceaan om in te zwemmen.

Ja, dat is echt ongelooflijk. Geen mens die dan ook ooit uitgeleerd is.

Jij vat het mooi samen in je boek, de bekendste onderwerpen van kosmologie en astrofysica, (leest lekker weg) maar over zo'n beetje ieder paragraaf (of sowieso ieder hoofdstuk) bestaan er weer hele "textbooks" voor.

En dan moet ik eerlijk zeggen, wanneer ik die bestudeer, dan maak ik eens een aantal berekening, maar vervolgens gebruik ik het nooit weer .. en als het dan weer eens te sprake komt, moet het weer van ver komen. En zodoende blijf ik het allemaal toch wat oppervlakkig of globaal begrijpen. Iig, tov mensen met duizenden tot tienduizenden uren ervaring. Wat jammer is, want ik besef me heus dat men jaren in nutteloosheid verkwisten kan om het onderwerp te begrijpen zonder de mentale constructies van de theorie te ontwikkelen. Als men geen praktische kennis heeft van de Riemann-meetkunde bijvoorbeeld, is een echt begrip van de algemene relativiteitstheorie onmogelijk.

Maar tegelijkertijd denk ik (inmiddels), tijdens het bestuderen van diepgaande boeken regelmatig van "waar ben ik in hemelsnaam mee bezig?".

Je moet er bijna wel werk in hebben om echt ver te komen so to say (uitzonderingen daar gelaten).

[wnvl1]

Je moet er bijna wel werk in hebben om echt ver te komen so to say (uitzonderingen daar gelaten).

Of je moet een rustige job hebben op een octrooibureau in Bern.

[Gast]

Haha. Ja, daar was er ook één van.

[vijv]

Allen,

Ik heb het gevoel dat er in deze discussie wat misvattingen zijn over de wiskundige basisconcepten en hun gevolgen. Ik ga trachten de essentie weer te geven en zal om die reden de rigoureuze wiskundige definities achterwege laten.



Laten we starten met de manifold of variëteit die in de ART gebruikt wordt als model van de ruimtetijd. Dit is een verzameling van punten ( gebeurtenissen) waarop een topologie is gedefinieerd. Deze topologie lijkt lokaal op de normale topologie van de euclidische ruimte en is glad (smooth). De motivatie voor eigenschappen van de topologie? Voor de eerste eigenschap is natuurlijk om berekeningen te kunnen uitvoeren (en daarvoor gaan we altijd terug naar de euclidische ruimte ) Voor de tweede eigenschap om differentiatie zonder problemen te kunnen toepassen.
Hier boven op kan nog een metriek gedefinieerd worden zodat "afstanden" tussen de punten van de verzameling kunnen bepaald worden.Deze laatste eis zorgt ervoor dat we zonder problemen kunnen differentiëren.

Enkele gevolgen:

• Een gebeurtenis is dus 1 element van een verzameling, voor de ruimtetijd dus gewoon een plaats ( 3 coördinaten) en een tijdstip. De moord op Kennedy is in deze context dus geen gebeurtenis, ook geen experiment in een labo of iemand die in een zwart gat valt.
  
  De ruimtetijd zegt niets over wat er natuurkundig in die ruimte bevindt (massa, energie...), maar geeft enkel de vorm van de ruimtetijd weer.
  
  Aangezien ruimtetijd een verzameling is, is er geen enkele reden dat deze in een hogere dimensie zou zijn ingebed. Lees ruimtetijd hoeft geen deelverzameling te zijn van een grotere verzameling.44
  
  Als we werken in een gladde variëteit kunnen we niets zinnigs zeggen over echte singulariteiten (er zijn ook onechte die veroorzaakt worden de wijze hoe we de euclidische topologie overbrengen op de variëteit (maps of kaarten)

Om eigenschappen zoals massa, afstand, snelheid... in de ruimtetijd beschrijven, kennen we aan elke gebeurtenis (element van de verzameling) een vectorruimte toe. Al deze vectorruimten vormen een vectorveld. Per punt kunne er natuurlijk verschillende vectorruimten gekoppeld worden. Zo krijgen we bv een vectorveld voor de energie en impuls eentje voor de snelheid enz.
Deze vectorruimten en velden liggen dus niet in de ruimtetijd maar zijn onafhankelijke wiskundige objecten.

Eén van diepere principes van de natuur, volgens onze natuurkundigen , is dat de natuurwetten onafhankelijk zijn van het gekozen referentiestelsel. Dit wil zeggen dat fundamentele grootheden onveranderlijk zijn ongeacht wie ze meet. De ruimtetijd- afstand is zo'n grootheid, onze ruimteafstand bv niet.
Daarom werken we in de ART niet met gewone vectorruimten maar met tensoruimten, die juist de eigenschap hebben dat de grootheden die we kunnen affleiden uit die tensoren onafhankelijk te zijn van het gekozen referentiestelsel (bv de kromming berekend uit de krommingstensor)

Wat nu met de raakruimte?

Omdat het handig is dat de basis van de tensorruimte in een punt afhankelijk is van de coordinaten in de varieteit, koppelen we beiden door middel van de raakvlakkonstructie, die louter een visualisatie is van hoe we beide bassisen op elkaar kunnen afstemmen . Maw de raakvlakruimte raakt niet echt aan de manifold, de tensorruimte is immers een onafhankelijke wiskundige entiteit die louter toegekend is aan een punt van de variëteit maar daar niet in of aan ligt. Een raakruimte hoeft dus ook geen hogere inbedding.

Nog even kort over actieve en passieve transformatie: passieve transformatie is een transformatie die zicch afspeeld binnen de varieteit (een hermapping van de topologie) de actieve is het toekennen van andere punten ( van de variëteit) aan de tensorruimten.

Ik ga afsluiten want het wordt me te laat.
Er zullen ongetwijfeld fouten staan in bovengaande tekst want mijn diff geometrie is wat roestig. Maar ik hoop dat dit aanzet tot een beter begrip voor sommige wiskundige keuzes.

[Professor Puntje]

@ vijv

Dank voor je bijdrage. Dat is ook grotendeels hoe ik het zie. Er is nu nog maar één kwestie waar ik mee worstel en dat is de actieve transformatie. Ik ben benieuwd hoe je dat ziet. Zou je daar nog eens iets meer over kunnen vertellen.

[wnvl1]

Ben ik juist dat zowel bij een passieve als een actieve transformatie de ruimtelijke hoeken kunnen veranderen?

[HansH]

ik kwam deze video nog tegen. misschien werkt die voor sommigen verhelderend.

geen idee of die al ergens ter sprake is gekomen.

[flappelap]

Ben ik juist dat zowel bij een passieve als een actieve transformatie de ruimtelijke hoeken kunnen veranderen?

Hoe befoel je? Bij een passieve rotatie draai je je coördinatenstelsel, bij een actieve rotatie je vector.