minimum

[ukster]

Met Minkowski’s ongelijkheid

Minkowski's ongelijkheid 2255 keer bekeken

wordt aangetoond dat voor x+y=1 (x,y ∈R⁺ ) de minimum waarde van de functie √5 is.
Ik zie echter niet hoe dit in z’n werk gaat voor de functie

functie 2261 keer bekeken

voor a+b+c=1 (a,b,c ∈R⁺ )

[RedCat]

Definieer de 3 vectoren v, w en u als:

\(\small v=\begin{bmatrix} a \\ b \\ 1/a \\ 1/b \end{bmatrix}, \;\; w=\begin{bmatrix} b \\ c \\ 1/b \\ 1/c \end{bmatrix} \;\; \text{en} \;\; u=\begin{bmatrix} c \\ a \\ 1/c \\ 1/a \end{bmatrix}\)

dan is

\(\small \parallel v \parallel + \parallel w \parallel + \parallel u \parallel\;\; \ge \;\; \parallel v+w+u \parallel \;= \sqrt{2(a+b+c)^2 + 2\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)^2
}\)

Bepaal voor de tweede term onder het wortelteken het minimum, bijvoorbeeld via de functie

\(\small f(x,y) = \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{1-x-y}\)

onder de voorwaarden x > 0, y > 0 en 1-x-y > 0

Wat is tenslotte het minimum van de totale wortel?

[ukster]

Mooie gelegenheid om naast de Minkowski ongelijkheid ook de RG-MG ongelijkheid voor 3 positieve reële getallen a, b, c toe te passen.

1 2131 keer bekeken

2 2119 keer bekeken

3 2131 keer bekeken