Klopt de wet van Arbeid? (van J.P. Joule)

[tuander]

Als de kracht F constant is, dan is de versnelling a constant, en geldt dus dv=a*dt en dx=1/2*a*dt^2

Dan hebben we dW=F*dx=m*a*dx= m*dv/dt*1/2*dv*dt = 1/2*m*(dv)^2.

Nu wil jij dt in 2 gelijke delen knippen. Gebruik dit in dv=a*dt, en reken voor elk tijdsinterval dW uit.

vrij eenvoudig geldt: E is rechtevenredig met v². Voor het gemak uitgezet in het grafiekje (in plaats van dx heb ik dy gekozen, maar dat is slechts een definitiekwestie):

Duidelijk te zien dat in elk opeenvolgend tijdsinterval dy toeneemt; het voorwerp versnelt. dy is rechtevenredig met dE. Dus in elk opeenvolgend tijdinterval zou ook de Kinetische Energie méér toenemen. deze energietoename is dus niet gelijk voor elk tijdsinterval. Anders geformuleerd: dW=F*dy, F is constant in elk tijdsinterval, dy echter niet

Concluderend: zou je een constante kracht op een voorwerp kunnen uitoefenen, dan levert deze constante kracht inderdaad een veranderende arbeid in elk opeenvolgend gelijk tijdinterval. (of doe ik nou iets fout?)

ik wil hierbij opmerken dat een constante kracht een voorwerp ook kan doen vertragen ipv versnellen.
Verder vermoed ik intussen uit het verhaal van Xilvo, dat het in de praktijk onmogelijk is om zo'n magische constante kracht op een voorwerp uit te oefenen, zonder hierbij problemen te krijgen met veranderende massa. In de praktijk zal je te maken hebben met veranderlijke krachten op voorwerpen. de situatie hier is tamelijk theoretisch en hypothetisch.

[tuander]

Betekent dit dan dat in de tweede helft van deltaT meer(of minder) arbeid geleverd wordt door de constante kracht dan in de eerste helft?

Nee.
Stel, je begint met een raket met massa \(m_0\) (inclusief brandstof) die op t=0 stilstaat.
Per tijdseenheid \(dt\) wordt brandstof met massa \(dm\) uitgestoten met impuls \(dp\).
De raket krijgt een versnelling \(\frac{dv_r}{dt}=dp/(m_0-t.dm)\).
De toename van de kinetische energie van de uitgestoten brandstof is \(\frac{d E_b}{dt}=\frac{1}{2}*dm(v_r-dp/dm)^2\) (de al eerder uitgestoten brandstof houdt z'n kinetische energie).

Als je dit integreert dan zul je zien je dat de toename van de kinetische energie per tijdseenheid constant is.
Ik heb het niet uitgeschreven maar wel met willekeurige getallen numeriek gesimuleerd.

Ik ga nog een keer reageren op deze post. Ik ben intussen zo ver dat ik een paar dingen beter begrijp uit je post. Per tijdsinterval wordt een vaste hoeveelheid chemische energie omgezet in kinetische energie. Deze kinetische energie wordt overgebracht op de raket plus de resterende brandstof. De raketbrandstof die in eerdere tijdsintervallen al was uitgeworpen doet dus niet meer mee bij het ontvangen van deze beschikbare energie.Er blijft dus telkens meer energie over voor het versnellen van de raket, daarbovenop wordt de raket ook nog eens steeds lichter, dus daardoor versnelt de raket ook nog eens extra. Een deel van de brandstof wordt naar achteren versneld, met een zekere impuls (dp=dm*dvb). De raket plus de overige resterende brandstof wordt naar voren versneld met een even grote, maar tegensgesteld gerichte impuls {dp=(m0-t*dm)*dvr}. Nogmaals, deze dp is niet in elk tijdsinterval hetzelfde. De verhouding van snelheden vr : vb gaat in verhouding van massa. De rest moet later, dit was het even voor nu

[flappelap]

Als de kracht F constant is, dan is de versnelling a constant, en geldt dus dv=a*dt en dx=1/2*a*dt^2

Dan hebben we dW=F*dx=m*a*dx= m*dv/dt*1/2*dv*dt = 1/2*m*(dv)^2.

Nu wil jij dt in 2 gelijke delen knippen. Gebruik dit in dv=a*dt, en reken voor elk tijdsinterval dW uit.

Dit geldt alleen voor constante m, niet goed gelezen.

[HansH]

In de praktijk zal je te maken hebben met veranderlijke krachten op voorwerpen. de situatie hier is tamelijk theoretisch en hypothetisch.

wat dacht je van de zwaartekracht op aarde? die is toch voor een gegeven voorwerp binnen een niet al te groot gebied van bv minder dan een km toch praktisch gezien constant.

[HansH]

Concluderend: zou je een constante kracht op een voorwerp kunnen uitoefenen, dan levert deze constante kracht inderdaad een veranderende arbeid in elk opeenvolgend gelijk tijdinterval. (of doe ik nou iets fout?)

indien je daarmee de snelheid van een voorwerp verandert dan ja. als de snelheid constant blijft dan nee.

[Xilvo]

Een deel van de brandstof wordt naar achteren versneld, met een zekere impuls (dp=dm*dvb). De raket plus de overige resterende brandstof wordt naar voren versneld met een even grote, maar tegensgesteld gerichte impuls {dp=(m0-t*dm)*dvr}. Nogmaals, deze dp is niet in elk tijdsinterval hetzelfde.

Waarom denk je dat die impuls per tijdseenheid niet constant is?

[Xilvo]

Hier een voorbeeldje.
Beginmassa raket 100 kg, waarvan 80 kg brandstof.
Per seconde wordt 0,5 kg brandstof verbruikt, uitgestoten met een snelheid van 300 m/s t.o.v. de raket.
Na 160 s is de brandstof dus op. De raket heeft op dat moment een snelheid van 483,3 m/s.
De (constante) impulsverandering per seconde is 150 N.

Blauw: Totale kinetische energie,
Groen: Kinetische energie raket,
Rood: Kinetische energie uitgestoten brandstof.

N.B. Energieën t.o.v. het zwaartepunt van het systeem.

[Xilvo]

\(r\) staat voor raket, \(b\) voor brandstof.
Een naam als \(dm\) is achteraf wat minder handig, \(F/dm\) is geen afgeleide. Alleen met \(dt\) in de noemer wordt een afgeleide bedoeld.
\(dm\) is de uitgestoten massa brandstof per seconde [kg/s].

\(\frac{d v_r}{dt}=\frac{F}{m_r}=\frac{F}{m_0-t dm}=a_r\)

\(v_r=\int_0^t \frac{F}{m_0-t dm}dt=\frac{F}{dm}\ln(\frac{m_0}{m_0-t dm})\)

\(\frac{d E_{k,r}}{dt}=\frac{d\frac{1}{2}m_r v_r^2}{dt}=\frac{1}{2}m_r \frac{d v_r^2}{dt}+\frac{1}{2}v_r^2 \frac{d m_r}{dt}=m_r v_r a_r-\frac{1}{2}v_r^2 dm\)

\(\frac{d E_{k,r}}{dt}=(m_0-t dm)\frac{F}{dm}\ln(\frac{m_0}{m_0-t dm})\frac{F}{m_0-t dm}-\frac{1}{2}(\frac{F}{dm}\ln(\frac{m_0}{m_0-t dm}))^2 dm\)

\(\frac{d E_{k,r}}{dt}=\frac{F^2}{dm}\ln(\frac{m_0}{m_0-t dm})-\frac{1}{2}(\frac{F}{dm}\ln(\frac{m_0}{m_0-t dm}))^2 dm\)

Dit is de toename van de kinetische energie van de raket per tijdseenheid.

Dan die voor de brandstof:
\(\frac{d E_{k,b}}{dt}=\frac{1}{2}dm(v_r-\frac{F}{dm})^2=\frac{1}{2}dm(\frac{F}{dm}(\ln(\frac{m_0}{m_0-t dm})-1))^2\)

\(\frac{d E_{k,b}}{dt}=\frac{1}{2}dm(\frac{F}{dm}\ln(\frac{m_0}{m_0-t dm}))^2 -\frac{F^2}{dm}\ln(\frac{m_0}{m_0-t dm})+\frac{1}{2}\frac{F^2}{dm}\)

De totale toename van de kinetische energie per tijdseenheid is
\(\frac{d E_{k,r}}{dt}+\frac{d E_{k,b}}{dt}=\frac{1}{2}\frac{F^2}{dm}\)
en is dus constant.

N.B. Eerder gebruikte ik \(dp\) voor de impulsverandering per seconde. Dat is natuurlijk de kracht \(F.\)

[tuander]

Een deel van de brandstof wordt naar achteren versneld, met een zekere impuls (dp=dm*dvb). De raket plus de overige resterende brandstof wordt naar voren versneld met een even grote, maar tegensgesteld gerichte impuls {dp=(m0-t*dm)*dvr}. Nogmaals, deze dp is niet in elk tijdsinterval hetzelfde.

Waarom denk je dat die impuls per tijdseenheid niet constant is?

Mijn gedachtengang is de volgende: De hoeveelheid chemische energie die omgezet wordt is constant per tijdseenheid. Stel dat die volledig wordt omgezet in kinetische energie ΔE=(1/2)*m*(Δv)² waaarbij m de massa is van raket plus overgebleven brandstof. Deze massa is niet constant. Dus is Δv niet constant. Herschrijf ΔE=(1/2)*m*(Δv)² als: ΔE=Δp*(1/2)Δv en je ziet dat, als Δv niet constant is, dat Δp dan ook niet gelijk is voor elk tijdsinterval.

Eigenlijk toon je meteen aan dat het voorbeeld wat ik koos niet klopt. Het voorbeeld van constante kracht die een constante versnelling geeft kan niet een raketje zijn, simpelweg omdat zo'n raketje massa uitstoot/kwijtraakt gedurende de tijd. Fout voorbeeld dus. Misschien laat ik het daarbij

[Xilvo]

Waarom denk je dat die impuls per tijdseenheid niet constant is?

Mijn gedachtengang is de volgende: De hoeveelheid chemische energie die omgezet wordt is constant per tijdseenheid. Stel dat die volledig wordt omgezet in kinetische energie ΔE=(1/2)*m*(Δv)² waaarbij m de massa is van raket plus overgebleven brandstof. Deze massa is niet constant.

Wel als je ook de massa van de uitgestoten brandstof meetelt.

Herschrijf ΔE=(1/2)*m*(Δv)² als: ΔE=Δp*(1/2)v en je ziet dat, als Δv niet constant is, dat Δp dan ook niet gelijk is voor elk tijdsinterval.

Dat klopt niet.
\(\Delta E=\frac{1}{2}m ((v+\Delta v)^2-v^2)=m v \Delta v\) (hogere orde termen verwaarloosd, en m constant verondersteld).
Uitgaande van \(E=\frac{1}{2}p v\) krijg je hetzelfde:
\(\Delta E=\frac{1}{2}v \Delta p+\frac{1}{2}p \Delta v=mv \Delta v\)

Verder, de impuls is wel constant, ook voor de raket. Δv verandert maar z'n massa ook.

[HansH]

Mijn gedachtengang is de volgende: Stel dat die volledig wordt omgezet in kinetische energie ΔE=(1/2)*m*(Δv)² waaarbij m de massa is van raket plus overgebleven brandstof.

Die aanname klopt niet denk ik. immers er gaat veel energie verloren in de kinetische energie die in de gasstraal gaat zitten, die gasstraal is immers zeer snel bewegend gas waar dus heel veel kinetische energie is ingestopt. (afgezien van het feit dat te factor (Δv)² niet klopt zoals Xilvo al had aangegeven.

[Xilvo]

Die aanname klopt niet denk ik. immers er gaat veel energie verloren in de kinetische energie die in de gasstraal gaat zitten, die gasstraal is immers zeer snel bewegend gas waar dus heel veel kinetische energie is ingestopt.

Dat klopt. De impulsverandering van raket en brandstof is ieder moment even groot (maar tegengesteld van teken).
Brandstof heeft kleinere massa (per tijdseenheid) dus groter snelheid. Maar energie gaat lineair met massa maar kwadratisch met de snelheid.

Ook te zien in het grafiekje een paar berichte terug, de rode lijn stijgt veel sneller dan de groene.
Er komt een punt waar de rode lijn even horizontaal loopt. De uitstootsnelheid van de brandstof is dan even nul, t.o.v. het zwaartepunt van het systeem. De snelheid van de raket is daar gelijk aan de uitstootsnelheid van de brandstof.

[tuander]

Waarom denk je dat die impuls per tijdseenheid niet constant is?

Mijn gedachtengang is de volgende: De hoeveelheid chemische energie die omgezet wordt is constant per tijdseenheid. Stel dat die volledig wordt omgezet in kinetische energie ΔE=(1/2)*m*(Δv)² waaarbij m de massa is van raket plus overgebleven brandstof. Deze massa is niet constant.

Wel als je ook de massa van de uitgestoten brandstof meetelt.

Herschrijf ΔE=(1/2)*m*(Δv)² als: ΔE=Δp*(1/2)v en je ziet dat, als Δv niet constant is, dat Δp dan ook niet gelijk is voor elk tijdsinterval.

Dat klopt niet.
\(\Delta E=\frac{1}{2}m ((v+\Delta v)^2-v^2)=m v \Delta v\) (hogere orde termen verwaarloosd, en m constant verondersteld).
Uitgaande van \(E=\frac{1}{2}p v\) krijg je hetzelfde:
\(\Delta E=\frac{1}{2}v \Delta p+\frac{1}{2}p \Delta v=mv \Delta v\)

Verder, de impuls is wel constant, ook voor de raket. Δv verandert maar z'n massa ook.

Het punt is nou juist dat je het niet mee mag tellen, de massa-uitstoot is een essentieel onderdeel van de werking van een raket

Dank overigens voor alle moeite. Ik zal op zoek moeten naar een ander voorbeeld, maar dat hoort bij de vooruitgang. Dank dus!

[Xilvo]

Het punt is nou juist dat je het niet mee mag tellen, de massa-uitstoot is een essentieel onderdeel van de werking van een raket

Waarom niet? Het punt was toch of behoud van energie bleef gelden? Dan moet je alles meenemen.

Dat het zou kloppen is geen verassing, maar het was wel een leuke puzzel.

[tuander]

Nee, de vraag van het topic is of de natuurkundewet van arbeid wel geldig is