Extremumvraagstukken

[Leeuwinetje]

Ik heb maandag examen voor wiskunde en ik begrijp een vraagstuk helemaal niet. Kan iemand me daarmee helpen aub?

Hier is die:

Op elk van de zijden van een ruit met lengte van de diagonalen 6 en 8 nemen we een punt zodanig dat de vier punten de hoekpunten zijn van een rechthoek waarvan de zijden evenwijdig zijn met de diagonalen van de ruit. Bepaal de afmetingen van de rechthoek zodanig dat zijn oppervlakte een maximum bereikt.

Ik heb al een tekening gemaakt met een ruit met daarin een rechthoek. Ik weet dat ik een vergelijking moet op stellen: y=l.b
Ik heb l voorgesteld als x. Maar voor de rest weet ik niet hoe ik moet verdegaan. Kan iemand me aub helpen.

[tempelier]

Ik zou de halve zijde op x stellen.

Maak eens een schets en zet daarin zoveel mogelijk wat je weet.

Zet er ook letters bij dat praat wat gemakkelijker.

[Leeuwinetje]

Bedoel je de schuine zijde van de ruit als x ? Hiermee kan ik toch niet verder gaan ?

Dit is het enigste dat ik heb.. ( zie bijlage)

[flappelap]

Syel, (x,y) ligt op de diagonaal AB. Het oppervlak van de rechthoek is dan A(x,y)=4xy. Maar de diagonaal AB heeft ook een functievoorschrift y(x), namelijk y(x)=4-(4/3)x. Vul dit in bij A(x,y), verkrijg A(x), en pas optimalisatie toe.

Ik kom op een maximum uit van A=12, waarbij inderdaad A"<0.

[Leeuwinetje]

Hoe kom je aan de functievoorschrift van AB? Het is een dalende rechte die de y-as snijdt in 4 , dus weet ik dat m negatief zal zijn en q = 4 , maar hoek kom je aan de waarde van m?

En ook , Als er een punt (x,y) is op de rechte AB , waarom is de oppervlakte van de rechthoek 4(x,y)?

[flappelap]

Dus:

Stel de functie op voor datgene wat je wilt optimaliseren;
Vul hierin de randvoorwaarden in de vorm van functievoorschrift(en);
Als je dan 1 onafhankelijke variabele x overhoudt, kun je oplossen naar x.

Een typische opgave: vind het optimale volume V van een cylindervormig blik met een gegeven oppervlak, zeg A=1 m2. Het volume V(r,h) hangt dan van twee variabelen af, de straal r van het deksel; bodem en de hoogte h van de cylinder maar de conditie A(r,h)=1 brengt dit aantal terug naar 1. En dus kun je V' en V" betekenen als functie van r of h.

Dit patroon is algemeen.

[flappelap]

Hoe kom je aan de functievoorschrift van AB? Het is een dalende rechte die de y-as snijdt in 4 , dus weet ik dat m negatief zal zijn en q = 4 , maar hoek kom je aan de waarde van m?

En ook , Als er een punt (x,y) is op de rechte AB , waarom is de oppervlakte van de rechthoek 4(x,y)?

AB: y(x)=ax+b. Vul beide snijpunten met de assen in en los op naar a en b. Als dat een probleem is zou ik dat toch even herhalen;google op "lineaire functies opstellen" oid.

Het oppervlak van een kwart rechthoek is toch gewoon xy? Dus de hele rechthoek heeft oppervlak 4xy.

[Leeuwinetje]

Oh ja nu snap ik hoe je aan die voorschrift komt en aan die 4xy. Dus nu weten we dat de de voorschrift van AB = -4/3x + 4 en dat het punt (x,y) op die rechte ligt. Hoe komen we aan de coördinaten van dat punt ?

[flappelap]

Door A'(x)=0 te stellen. Dat geeft je x, en dus ook y met dat lineaire functievoorschrift.

[flappelap]

Als je nog meer wilt oefenen: doe het nu ook eens voor een rechthoek die ingevangen zit in een cirkel met, zeg, straal 1.

Je krijgt dan x=1/2 en A=sqrt(3), wat je met pi kunt vergelijken.

Voor een cirkel met algemene straal R krijg je A=sqrt(3)×R^2. Je hoekpunt van de rechthoek zit dan op (x=R/2, y=sqrt(3)×R/2).

[flappelap]

Zie bijlage als je je uitwerking wilt controleren

[Leeuwinetje]

Ok heel erg bedankt !!

[flappelap]

Hoop dat je examen goed ging