Drielingparadox vanuit het perspectief van de ART

[wnvl1]

In dit topic wil ik de drieling paradox van Zoeff (viewtopic.php?t=213126) op een alternatieve manier bekijken, meer geïnspireerd op de ART. Ik werk met een referentie frame vastgepind aan één van de ruimtereizigers. Ik plaats dit in een apart topic omdat dit los staat van de insteek in het andere topic.

Mijn drielingbroer en ik vertrekken met een ruimteschip vanop aarde: ik naar links en mijn tweelingbroer naar rechts. Mijn drielingzus blijft op aarde. Na een reis van een paar lichtjaren zetten mijn tweelingbroer en ik de raketmotoren van ons ruimteschip op om terug naar huis te keren. Wanneer we terug thuis zijn, zijn mijn drielingbroer en ik even oud. Onze drielingzus is ouder.

Tijdens deel 1 van de reis voor de ommekeer bewegen mijn zus en mijn broer weg van mij. Ik bekijk alles vanuit een referentiestelsel dat met mij meebeweegt. Vanuit mijn standpunt gaat voor mijn broer de tijd trager dan voor mezelf. Ook voor mijn zus gaat in mijn waarneming de tijd trager dan voor mezelf. Dan komen we bij het ommekeer punt. Om terug te keren naar de aarde moeten mijn broer en ik elk de raketten van ons ruimteschip in werking stellen.
Ik denk nu verder vanuit het standpunt van mezelf. Ik zet mijn raketmotor aan, maar voor mij lijkt het alsof mijn ruimteschip stil staat Om te geloven dat mijn ruimteschip stil staat, moet ik echter een fictief gravitatie veld introduceren. Dit is perfect te vergelijken met centrifugal krachten en Coriolis krachten die ingevoerd worden in de klassieke mechanica om de tweede wet van Newton in ere te houden. Ik voel immers de versnelling die mij op mijn zetel drukt. Vanuit dit standpunt kan je stellen dat ik stil sta doordat mijn raketmotoren het fictief gravitatieveld tegenwerken.Zelf heb ik als reiziger in mijn ruimteschip het gevoel dat dit gravitatieveld ook inwerkt op de aarde en op de rest van het ujniversum voor mij. Dat is de reden waarom de aarde naar mij toe versnelt.
Gravitatie heeft invloed op het verloop van de tijd. In een deel van de ruimte waar het gravitatieveld overall dezelfde sterkte heeft, geldt dat de mate waarin de ene klok sneller loopt dan de andere afhankelijk is van hoever de klokken van elkaar verwijderd zijn in de richting van het gravitatieveld. Er is een pseudo-gravitationele tijddilatatie in de zin dat als je een ggrotere pseudo-gravitationele potentiele energie hebt, de tijd sneller gaat. Op het ogenblik dat ik de raketten opzet, ben ik ver verwijderd van mijn broer. Daarom dat ik het gevoel heb dat voor mijn broer de tijd veel sneller loopt dan voor mij. Ook mijn zus is ver verwijderd van mij, zij het half zo ver. Daarom dat ik het gevoel heb dat voor mijn zus de tijd veel sneller loopt dan voor mij, zij het minder fel vergeleken met mijn broer.
Het is alleen maar gedurende de korte periode dat de raketten opstaan dat dit gravitatie veld er is. Voor de rest van de tijd, wanneer de raketten afstaan zal de tijd op aarde en de tijd bij mijn broer en zus terug trager verlopen. De versnelling van de tijd tijdens de acceleratie fase compenseert het tragere verloop van de tijd zoals ik het door het relativistisch effect zij bij mijn broer. Terug op aarde zijn we allebei even oud. Beiden zijn we echter jonger dan onze zus.

Aangezien het imaginair gravitatieveld uniform is, is de ruimte niet gekromd en is de Riemann tensor nul. Er is dus geen gevorderde algemene relativiteit nodig om het probleem vanuit dit perspectief te bekijken.

[Xilvo]

Een eenvoudig getallenvoorbeeldje met relatief lage snelheden om eens te kijken of je in de buurt komt.

Totale reisduur 10 jaar, 5 jaar heen, 5 jaar terug voor de reiziger.
5 jaar is 1,58E8 s.

Snelheid v=100.000 m/s = 3,34E-4 c
Afstand verste punt d=1,577E13 m

γ-1=5,56E-8

Voor de reiziger is de afstand tot het verste punt (γ-1)d=8,77E5 m kleiner. Dat geldt voor heen- en terugweg.
Volgens de tweelingparadox is hij dan 17,5 s jonger dan zijn broer, bij terugkomst op aarde.

Op heen- en terugweg ziet hij, door tijddilatatie, de klok op aarde trager lopen.
Dat geeft een verschil van (γ-1)*2*1,58E8 s = 17,5 s. Hij ziet zijn achtergebleven broer 17,5 s minder verouderen dan zichzelf.

Nu komt de versnelling. Laat die omkeer 3600 s duren. De versnelling a = 2v/3600=55,6 m/s².

Hoe snel ziet de reiziger de tijd op aarde verlopen tijdens die draai?

Stel, foton op aarde, f=1E14 Hz.
E_f=h.f=6,63E-20 J
"massa" m=E_f/c²=7,37E-37 kg
Het foton krijgt onderweg naar de reiziger, in het "gravitatieveld" van de reiziger met constante zwaartekrachtsversnelling a, een extra energie per meter dE/dx=m.a.
Dan dm/dx=(1/c²)m.a waaruit volgt m_d=m₀ exp(ad/c²)=7,44E-37 kg

Terugrekenen naar foton frequentie geeft een verschil in frequentie van 9,79E11 Hz, een relatieve frequentieverandering van 9,79E-3

Met die fractie ziet de reiziger de klok op aarde gedurende het uur van versnellen sneller lopen. Dat geeft een verschil van 35,3 s.
Trek daar van af de 17,5 s die hij de klok op aarde gedurende de rest van de reis langzamer zag lopen en je komt nagenoeg uit op de 17,5 die hij jonger moet zijn volgends de tweelingparadox.

Allemaal wat natte-vingerwerk. Maar de overeenkomst is mooi. Mooi, maar helaas niet perfect.

[wnvl1]

De formule die je kan gebruiken voor de tijdsdilatatie is

$$\frac{dt_A}{dt_B} = \sqrt{ 1 + \frac{2\Delta\phi_{AB}}{c^2}} $$

John Rennie legt het hier duidelijk uit.

https://physics.stackexchange.com/quest ... 524#276524

met \(\Delta\phi_{AB}\) de gravitationele potentiele energie per massa-eenheid.
In het voorbeeld van Xilvo is

$$\Delta\phi_{AB}=55,6 ms^{-2} \cdot 1,577 \times 10^{13} m = 8,768\times 10^{14} m^2s^{-2} $$


(1+(2*8.768 * 10^14 / (3*10^8)^2))^0.5=1.00969

De versnelling duurt 3600s.

Op aarde loopt de tijd dus (1-1.00969)*3600s=34.884s sneller tijdens de versnelling.
Zelfde resultaat als Xilvo.

[wnvl1]

Als je van die 34s dan twee keer die 17s vanaf trekt, dan kom je op nul uit en dan zouden ze ongeveer even oud zijn bij aankomst. Er is dus iets mis.

[Xilvo]

Als je van die 34s dan twee keer die 17s vanaf trekt, dan kom je op nul uit en dan zouden ze ongeveer even oud zijn bij aankomst. Er is dus iets mis.

Nee, er is niets mis. Tijdens het versnellen ziet hij de broer op aarde 35 s extra ouder worden, tijdens heen- en terugreis gaat daar in totaal weer 17,5 s vanaf doordat hij dan de klok op aarde juist iets trager ziet lopen.

Netto 17,5 s.

[wnvl1]

Ik had verkeerd gekeken. Ik zat in mijn hoofd met 17.5s voor een enkele rit, dan klopt het.