Relatie slingertijd en massaverdeling, bij schommelschip

[HansH]

Opmerking moderator

Deze discussie over de relatie tussen de slingertijd en de massaverdeling van het schommelschip, \(T = 2\pi \sqrt\frac{I}{mgR}\), is afgesplitst van dit topic.

Vanaf het begin gaan we er blijkbaar stilzwijgend vanuit dat we alle massa in het zwaartepunt mogen nemen en de slingertijd uitrekenen via die massa op de gegeven afstand tot het rotatiepunt. Kun je op de een of andere manier bewijzen dat dat inderdaad zo is?

[wnvl1]

Nee, je moet in principe werken met het traagheidsmoment.
$$I\frac{d^2\theta}{dt^2}=-mgl\sin(\theta)$$
met l de afstand van de as tot het massacentrum.

Al gaat dat weinig verschil maken voor de conceptuele berekening van Xilvo. We hebben de gegevens toch niet. We weten trouwens ook niet of dat ding wel in vrije val is.

[HansH]

afstand van de as tot het massacentrum.

itrekenen via die massa op de gegeven afstand tot het rotatiepunt.

dat is dan toch hetzelfde ? het ''massa centrum''
een afstand van een massa tot een rotatiepunt is toch hetzelfde als traagheidsmoment?

[HansH]

Ik mis denk ik toch een wat fundamentelere aanpak mbt slinger in combinatie met een massa verdeeld over een gebied.

[wnvl1]

Wat misschien helpt is dat in het geval van een puntmassa, in de door mij aangehaalde formule

$$I\frac{d^2\theta}{dt^2}=-mgl\sin(\theta)$$

I gelijk wordt aan \(ml^2\).

We krijgen dan

$$ml^2\frac{d^2\theta}{dt^2}=-mgl\sin(\theta)$$

of

$$ml\frac{d^2\theta}{dt^2}=-mg\sin(\theta)$$

Dat is wat Xilvo gedaan heeft, vermoed ik.

In het algemeen is de massa natuurlijk verdeeld en moet je ofwel Steiner toepasssen ofwel de integraal

$$I=\int r^2dm$$

uitrekenen vanuit de as. We hebben de cijfers toch niet dus we kunnen dan even goed werken met een puntmassa.

[wnvl1]

Ter aanvulling, de uitgestrektheid van boot zelf gaat weinig invloed op de I hebben. De volledige boot bevindt zich wel op een afstand van ongeveer l van de as omwille van de cirkelvorm. Het zijn vooral de draagarmen die voor een correctie gaan zorgen. Geen idee wat de verhouding is in massa tussen de armen enerzijds en de boot + mensen anderzijds.

[Xilvo]

//

Dat is wat Xilvo gedaan heeft, vermoed ik.

Dat klopt, ik ben uitgegaan van een simpele puntmassa aan het eind van een slinger met lengte 20 m.

[HansH]

in feite zijn het n slingers onder een hoek tov elkaar.
Dan zie je al wat er gebeurt.
de vertikale slinger geeft een kracht evenredig met de uitwijking (sin(uitwijking)=uitwijking) en samen met de massa levert dat een resonantiefrequentie.
voor slingers die meer onder een hoek zitten heb je dezelfde massa, maar minder kracht ((sin(uitwijking)*cos(hoek). voor de horizontale slingers heb je zelfs helemaal geen kracht meer: (hoek=90graden dus cos(hoek)=0), maar wel een massa.
dus als je het uitrekent dan zou je de bijdrage (sin(uitwijking)*cos(hoek) moeten integren over 'hoek' om het totale effectieve koppel als functie van de uitwijking te kunnen bepalen. Dat koppel is dus kleiner dan zonder de cos(hoek) factor, dus krijg je een lagere resonantiefrequentie dan met alleen 1 vertikale slinger met de totale massa in het zwaartepunt.

[Xilvo]

Subscripts: "s" staat voor het schip, "h" voor de twee hangers samen. r=20 m.

\(I=m_sr^2+\frac{1}{3} m_h r^2=r^2(m_s+\frac{1}{3}m_h)\)

Ga uit van het schip dat een cirkelsegment van 45° beslaat. Het zwaartepunt ligt dan op 0,9745.r van het draaipunt.
Het zwaartepunt van de hangers ligt op 0,5.r van het draaipunt.
Het zwaartepunt van de hele constructie ligt op afstand \(l_{eff}\) van het draaipunt:
\(l_{eff}=\frac{r(0,9745 m_s+0,5m_h)}{m_s+m_h}\)

\(I\frac{d^2\theta}{dt^2}=-(m_s+m_h)g l_{eff}\sin \theta=-g r(0,9745 m_s+0,5m_h)\sin \theta\)

De slingertijd voor kleine hoeken wordt dan
\(T=2\pi\sqrt{\frac{r(m_s+m_h/3)}{g(0,9745 m_s+m_h/2)}}\)

Hier de slingertijden. Eerste waarde: m_h/m_s, tweede slingertijd in seconde.

Code: Selecteer alles

0	9.088023487
0.05	9.048117996
0.1	9.009996052
0.15	8.973539742
0.2	8.938641395
0.25	8.905202484
0.3	8.873132672
0.35	8.842348974
0.4	8.812775018
0.45	8.784340397
0.5	8.756980096
0.55	8.730633981
0.6	8.705246348
0.65	8.68076552
0.7	8.657143489
0.75	8.634335594
0.8	8.612300233
0.85	8.590998605
0.9	8.570394474
0.95	8.550453965
1	8.53114537

[HansH]

Ga uit van het schip dat een cirkelsegment van 45° beslaat. Het zwaartepunt ligt dan op 0,9745 van het draaipunt.
Het zwaartepunt van de hele constructie ligt op afstand \(l_{eff}\) van het draaipunt:
\(l_{eff}=\frac{r(0,9745 m_s+0,5m_h)}{m_s+m_h}\)

\(I\frac{d^2\theta}{dt^2}=-(m_s+m_h)g l_{eff}\sin \theta=-g r(0,9745 m_s+0,5m_h)\sin \theta\)

denk je dat dat overeen komt met mijn vorige bericht: viewtopic.php?p=1167548#p1167548
mbt het zwaartepunt zie ik wel overeenkomst nl nl het stukje sinus waarmee je feitelijk het zwaartepunt berekent. maar omdat alle massa wel op een zelfde cirkelstraal blijft is het traagheidsmoment denk ik kleiner dan de werkelijkheid als je met het zwaartepunt rekent.

[Xilvo]

denk je dat dat overeen komt met mijn vorige bericht: viewtopic.php?p=1167548#p1167548
mbt het zwaartepunt zie ik wel overeenkomst nl nl het stukje sinus waarmee je feitelijk het zwaartepunt berekent.

Het is hetzelfde idee, volgens mij.

maar omdat alle massa wel op een zelfde cirkelstraal blijft is het traagheidsmoment denk ik kleiner dan de werkelijkheid als je met het zwaartepunt rekent.

Wat bedoel je met "kleiner dan de werkelijkheid"?
Het traagheidsmoment van het schip blijft m.r², want alle massa ligt op afstand r (20 m) van het draaipunt.

[wnvl1]

In de post van 13:39 doe je eigenlijk een poging om de bewegingsvergelijking van een fysische slinger met traagheidsmoment opnieuw af te leiden. Die ideeën zitten echter al verwerk in de diff vgl die ik gaf.

[HansH]

Die ideeën zitten echter al verwerk in de diff vgl die ik gaf.

maar niet afleidde waardoor het voor mij niet logisch te volgen is zonder zelf een stukje reverse engineering te gaan doen. Daar zit denk ik het punt.

[HansH]

Wat bedoel je met "kleiner dan de werkelijkheid"?
Het traagheidsmoment van het schip blijft m.r², want alle massa ligt op afstand r (20 m) van het draaipunt.

jouw formule uit bericht wo 09 mar 2022, 13:45 komt voor mij een beetje uit de lucht vallen. Voor het berekenen van een slinger heb je een massa op een afstand tot het draaipunt en een kracht nodig dus een koppel. en de kracht is in elk punt op de schommel anders. Je gebruikt een zwaartepunt maar dat ligt dichter bij het draaipunt. Op dat punt wordt het voor mij lastig te volgen omdat er dan stappen ontbreken in de toelichting hoe je tot je formule komt.

[Xilvo]

jouw formule uit bericht wo 09 mar 2022, 13:45 komt voor mij een beetje uit de lucht vallen.

Welke formule?

Voor het berekenen van een slinger heb je een massa op een afstand tot het draaipunt en een kracht nodig dus een koppel. en de kracht is in elk punt op de schommel anders. Je gebruikt een zwaartepunt maar dat ligt dichter bij het draaipunt. Op dat punt wordt het voor mij lastig te volgen omdat er dan stappen ontbreken in de toelichting hoe je tot je formule komt.

\(I\frac{d^2\theta}{dt^2}=-(m_s+m_h)g l_{eff}\sin \theta=-g r(0,9745 m_s+0,5m_h)\sin \theta\)
Rechts van het eerste =-teken staat het koppel, dat is de zwaartekracht aangrijpend op het zwaartepunt dat op afstand \(l_{eff}\) van het draaipunt ligt. Dat zwaartepunt ligt zeker niet dicht bij het draaipunt
Links staat wat in beweging gebracht wordt, het systeem met traagheidsmoment \(I\) dat een hoekversnelling \(\frac{d^2\theta}{dt^2}\) krijgt.