De niet-lineariteit van de EFE, is vooral een probleem voor het oplossen van de vergelijkingen.
En dat behoud van energie problematisch is heeft met symmetrie te maken, zover ik het begrijp dan.
Dus kun je, dit als twee losstaande "problemen" zien. Die vast wel weer iets met mekaar te maken hebben, maar hoe weet ik niet. Ook omdat ik soms ..
helemaal knettergek wordt van de wiskunde!! 
Jk.
Maar ik bedoel:
"Gravitationele effecten geproduceerd door een bepaalde massa worden in de algemene relativiteitstheorie beschreven door 16 gekoppelde hyperbolisch-elliptische niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen, de Einstein-veldvergelijkingen genoemd. Als resultaat van de symmetrie van Gμν en Tμν neemt het werkelijke aantal vergelijkingen af tot 10, hoewel er nog vier differentiële identiteiten zijn (de Bianchi-identiteiten ) waaraan wordt voldaan door Gμν, één voor elke coördinaat."
Als je daar op zoekt kom je (of ik iig) dingen tegen als:
https://profoundphysics.com/einstein-fi ... -expanded/
Of:
https://www.quora.com/What-are-all-the- ... ype=answer
Klopt dat trouwens?
Dan is zoiets als dit voor mij (voorlopig iig) ook wel voldoende:
https://bigthink.com/starts-with-a-bang ... -equation/
Maar goed, de niet-lineariteit van de Einstein-veldvergelijkingen komt voort uit het feit dat massa-energie de geometrie van de ruimtetijd waarin ze zich bevinden beïnvloeden. Het bekende: "Spacetime tells matter how to move; matter tells spacetime how to curve”.
Uhm. Het makkelijkste over deze niet-lineairiteit, wordt hier uitgelegd:
https://www.einstein-online.info/en/spo ... f_gravity/
Alleen misschien is dat wat
te simplistisch.
Een betere beschijving is m.i.:
"Een van de fundamentele eigenschappen van zwaartekracht, en een die het onderscheidt van elektromagnetisme (en het ook moeilijker maakt om te modelleren, vooral in het sterke zwaartekrachtregime) is dat zwaartekracht niet-lineair is: it acts upon itself.
Dat wil zeggen, het zwaartekrachtveld zelf is een bron van meer zwaartekracht. Of, in de taal van een (nu nog niet bestaande) kwantumveldentheorie van zwaartekracht: gravitonen interageren met gravitonen.
Een manier om te denken dat zwaartekracht met zichzelf in wisselwerking staat... nou, een prachtig voorbeeld wordt gepresenteerd door de beroemde GW150914 uitbarsting van zwaartekrachtsgolven. De bron was vermoedelijk een paar zwarte gaten met een gewicht van 36 en 29 zonnemassa's; nadat ze waren samengesmolten, woog het resulterende Kerr zwarte gat van slechts ongeveer 62 zonsmassa's. Waar komt dat massale tekort vandaan? Je kunt immers geen massa-energie uit een zwart gat zuigen, ook niet met zwaartekracht. Nou .. toen de voorlopers van de zwarte gaten elkaar naderden, werd de gravitationele potentiële energie tussen hen steeds negatiever.
[Even tussendoor: toch een duidelijk gebruik van gravitationele potentiële energie in de ART, want ik kreeg nog van iemand* te horen: "By the way, since “gravity”, according to General Relativity (GR), is not a “force” of any kind, there can be no such thing as “gravitational potential energy”, since there is no “work” that can contribute to it, or use that stored energy!"]
.. Als reactie daarop versnelden de zwarte gaten (tot bijna de snelheid van het licht!) en bouwden ze positieve kinetische energie op, zodat de totale energie constant bleef (energiebesparing). En veel van die kinetische energie werd op zijn beurt weggestraald in de vorm van zwaartekrachtsgolven, waardoor de zwarte gaten werden vertraagd, waardoor ze uiteindelijk met elkaar in botsing kwamen.
Dus de individuele zwarte gaten wegen op het moment van de botsing nog steeds 36 en 29 zonsmassa's. Maar de som van hun resterende kinetische energie en de (negatieve) gravitationele potentiële energie tussen hen bedroeg een extra minus 3 zonne-massa's aan massa-energie. En zo komt de totale massa van het systeem op slechts 62 zonsmassa's.
Een ander geval waarin de zwaartekracht met zichzelf in wisselwerking staat, is dat van een "straal" van een zwaartekrachtgolf in de aanwezigheid van een zwaartekrachtveld. Nou... hetzelfde wat er gebeurt met een lichtstraal... die buigt door de zwaartekracht. Dus de zwaartekracht die verantwoordelijk is voor het afbuigen van sterrenlicht terwijl het langs de zon strijkt, buigt ook zwaartekrachtgolven af.
Dus ja, zwaartekracht heeft veel invloed op de zwaartekracht. Natuurlijk beïnvloedt de zwaartekracht alles heel zwak, en de zwaartekracht zelf is geen uitzondering... we hebben echt kolossale astrofysische gebeurtenissen zoals GW150914 nodig om dit merkbaar te maken."
- Viktor T. Toth en Richard A. Muller
En dat is wat ik vooral als de niet-lineariteit zie. Of iig 'belangrijk' vind ervan te begrijpen.
Ik zou het graag allemaal tot in de puntjes willen begrijpen, maar om daar nu een hele zelfstudie van te maken zonder dat je je brood ermee verdiend is eigenlijk een beetje masochistisch of je moet van droge, abstracte wiskunde kunnen genieten (@flappelap niet sadomasochistisch, ja, misschien wat sadistisch van de "experts" denk ik wel eens, maar masochistisch voor amateurs. Ik zag dat je zoiets schreef over QFT met inmiddels tig boeken daarover in huis
)
Maar goed, verder heb je ook nog "linearized gravity" wat een goede benadering van de ART of de EFE is voor in het zwakke velden limiet. Zoals het PPN formalism wat de EFE, in het zwakke velden limiet dus, goed bedanderd met 10
lineaire vergelijkingen (afhankelijk van wat je wilt weten/berekenen):
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Paramet ... _formalism
(@flappelap: Ik neem aan dat de "Newton-Cartan formulering" ook enkel voor zwakke velden geldt?)
Oja trouwens. Ik dacht dat ik ooit ergens gelezen had dat de niet-lineariteit van de EFE vooral in de Riemann tensor/kromming zit. Of daar iig vooral mee te maken heeft, maar ik kan het niet meer terug vinden. Maar klopt dit of heb ik dat gedroomd?
* Die "iemand" schreef ook na dat wat ik hierboven citeerde:
"However, the spacetime manifold can be thought of as an “elastic”, “thing” that requires something like a “force” to distort it, and, therefore, can “store” energy within its “curvature”." Dus, huh ??
En
"Unfortunately, the lack of conservation of Energy, that the article you linked to talks of, is only an issue if one neglects the energy associated with the curvature of spacetime. (It’s also an issue in how one applies Noether’s Theorem.)"
Kan ik eigenlijk beter zijn hele reactie posten. (Ook al staan er wat dingen die iig mijn "begrijpen" alleen maar in twijfel trekt.)
Maar toch voor de volledheid, Mr. Iemand:
"For the Cosmic Microwave Background (CMB) radiation, such contributes directly to the Energy-Momentum-Stress tensor density, as a source term to the Einstein Field Equation (EFE).
The redshift of the CMB is a geometric affect, much like the electromagnetic Doppler effect.
Unfortunately, the lack of conservation of Energy, that the article you linked to talks of, is only an issue if one neglects the energy associated with the curvature of spacetime. (It’s also an issue in how one applies Noether’s Theorem.)
Actually, a Black Hole—whether “feeding” or not—is not “nothing but empty curved spacetime, being massive.” However, to fully recognize this requires being able to analyze the singularity within the Energy-Momentum-Stress Tensor density!
By the way, since “gravity”, according to General Relativity (GR), is not a “force” of any kind, there can be no such thing as “gravitational potential energy”, since there is no “work” that can contribute to it, or use that stored energy!
However, the spacetime manifold can be thought of as an “elastic” “thing” that requires something like a “force” to distort it, and, therefore, can “store” energy within its “curvature”.
(The EFE can be thought of as a Stress-Strain equation: the “Stress” part is the Energy-Momentum-Stress tensor density source term, while the Einstein Tensor—that is the measure of the curvature of spacetime—is the “Strain” part.
Both from the EFE, as well as the speed of Gravitational Waves, we find that spacetime is highly rigid! It doesn’t “bend” easily!)
Another part of the difficulty of assigning a “potential energy” for this “curvature” is that we only know the intrinsic (that which is intrinsic, or internal to) curvature/shape of our spacetime manifold! We have, absolutely, no way to know anything of the extrinsic (external to) curvature/shape of our spacetime manifold, since all such involves how our spacetime manifold may be “embedded within any higher dimensional “space”.)
Ik ben een beetje bang dat dat dit bericht .. nou, het is iig niet bepaald kort en krachtig en to the point is. Maar nogal lang en mogelijk wat verwarrend juist?
Allemaal links ook en heb ik het zo goed als niet over behoud van energie in de ART gehad. Plus dat zelf ook weer vragen stel.
Naja, ik plaats het nu toch maar. Hopelijk dat er dingen bij staan die wel het eea toevoegen.
(Het is ook niet bepaald het makkelijkste onderwerp om kort te behandelen allemaal.)
