Hogere orde afgeleiden en localiteit

[wnvl1]

Als in de Hamiltoniaan oneindig veel hogere orde afgeleiden voorkomen, dan is de theorie niet meer locaal. Dit wordt in heel wat boeken aangehaald bij de afleiding van de Klein Gordon vergelijking

Bedenkingen die ik heb zijn: (1) om die hogere orde afgeleiden te berekenen ga je uiteindelijk toch maar in een infinitesimaal gebied rond het desbetreffende punt functiewaarden berekenen en (2) als ik denk aan een Taylor expansie is de correctie door de hogere orde afgeleiden toch heel klein. Gaat dat dan de theorie niet locaal maken?

[flappelap]

Ik begrijp dat intuïtief als volgt: met oneindig veel afgeleiden kun je een Taylorexpansie van het veld knutselen rond een punt x+a, waarbij a niet per se infinitesimaal is. Zo kun je velden in je actie koppelen op twee verschillende ruimtetijdpunten.

De correcties hoeven dus zeker niet klein te zijn; je kunt heel ver komen met oneindig veel termen

[wnvl1]

Ja, de convergentiestraal zal inderdaad niet infinitesimaal klein te zijn als de functie niet te gek doet.
Anderzijds door met een beperkt afgeleiden te spelen heb je natuurlijk ook al invloed op het veld een meter verder en dan zou je eigenlijk ook al kunnen spreken van een koppeling en niet localiteit.

Zelf keek ik er eerder naar in de zin om de 9999999-ste afgeleide te berekenen heb ik alleen maar punten nodig die infinitesimaal dicht bij mijn x ligggen dus het is toch locaal.

Is op zich nu niet het belangrijkste issue in mijn poging om wat QFT te begrijpen.

[flappelap]

Ja, de convergentiestraal zal inderdaad niet infinitesimaal klein te zijn als de functie niet te gek doet.
Anderzijds door met een beperkt afgeleiden te spelen heb je natuurlijk ook al invloed op het veld een meter verder en dan zou je eigenlijk ook al kunnen spreken van een koppeling en niet localiteit.

Hoe dan precies? Ik ben hier niet zo thuis in, dus heb je referenties hiervoor?

In de context van hogere orde afgeleiden in aangepaste theorieën van zwaartekracht ("modified gravity") ken ik alleen de issues omtrent renormalizeerbaarheid en negatieve normtoestanden ("ghosts").

[wnvl1]

Ik was gewoon aan het denken aan de formules voor de convergentiestraal voor een Taylor reeks zoals we die zelfs al in het middelbaar hebben geleerd of later in de complexe functieleer. Ik ga het eens opzoeken wat ik daarvan kan terugvinden.

[wnvl1]

Als je nu een functie hebt die je kan schrijven als een combinatie van sinussen en cosinussen, dan denk ik dat je die perfect kan benaderen over een grote afstand met een beperkt aantal termen.

Even geprobeerd in wolfram.

https://www.wolframalpha.com/input?i=ta ... x+order+10

Ik was ook aan het denken aan de theorie van de analytische functies in de complexe functieleer.

Zie deeltje over Analytic functions hieronder.

https://en.wikipedia.org/wiki/Power_ser ... %88%88%20V.

[wnvl1]

In de context van hogere orde afgeleiden in aangepaste theorieën van zwaartekracht ("modified gravity") ken ik alleen de issues omtrent renormalizeerbaarheid en negatieve normtoestanden ("ghosts").

Ik ben nog maar aan p100 van Zee. Dus over QFT kan ik nog niet al te veel zeggen.

[flappelap]

Ik zag dat hij weer een nieuwe, meer toegankelijke intro QFT aan het schrijven is, wrs. meer in de stijl van zijn ART- en groepentheorieboek.

[wnvl1]

Nu ik wat verder ben valt zijn boek nog wel mee. Ik ga het wel kunnen uitlezen. Ik snap nu eindelijk wiskundig hoe een ijktheorie werkt. Daar was ik al lang naar op zoek. Ik lees in parallel ook nog qft for the gifted amateur.

[flappelap]

Mja, mijn ervaring is dat als je omtrent QFT denkt "dat het wel meevalt", je een heleboel nuances ontgaan Ik heb denk ik al een stuk of 10 boeken en lecture note setjes QFT doorgewerkt, en het is bijvoorbeeld nog niet zo heel lang geleden (zeg: een paar jaar) dat ik eindelijk zoiets basaals als de "i-epsilon prescriptie" goed doorgrond. Of: denk te doorgronden

[wnvl1]

Ik bedoelde dat het 'boek' van Zee al bij al wel lijkt mee te vallen. Dat QFT meevalt ga ik nooit beweren. Voor ik eraan begon wist ik uit reviews dat 'Zee' en 'Quantum Field Theory for the Gifted Amateur' lichte inleidingen zijn tot de QFT. Die twee boeken zijn wel redelijk leesbaar voor mij als ik ze tesamen lees en dat aanvul met google en wikipedia.

'An introduction to Quantum Field Theory by Peskin and Schroeder' en 'Quantum Field Theory and the Standard Model by Schwartz' worden veel geciteerd als vervolgboeken. De tekst van David Tong is op de eerste gebaseerd. Daar was ik met begonnen, maar Tong laat te veel achterwege (staat ook zo in reviews van zijn tekst) en voor mij verdwijnt het plezier als er stappen weggelaten worden. Of ik daarmee verder ga na Zee en gifted amateur, zal voor een groot stuk bepaald worden door hoe mooi ik de theorie vind.

[flappelap]

Uiteindelijk proberen veel qft-teksten je voor te bereiden om amplitudes en dus Feynmandiagrammen door te rekenen (lusdiagrammen, anomalieën, ghosts om vrijheidsgraden m.b.t. ijksymmetrieën weg te werken, etc.). Dat is erg technisch en, tenzij je daar expliciet wat mee doet, niet altijd even interessant. Zee's boek doet dat vrij weinig, waardoor het meer nadruk kan leggen op concepten en intuïtie.

Peskin en Schroeder is trouwens in mijn ogen o.a. erg sterk met de Wilsoniaanse filosofie en behandeling van effectieve veldentheorie.