Ik snap je vraag niet helemaal, geloof ik. De operator
\(a^{\dagger}(p)\) creëert een deeltje met 3-impuls p en energie
\(E_p = \sqrt{|p|^2 + m^2}\). Je kunt ook kijken hoe het scalaire veld inwerkt op het vacuüm:
\(
\phi(\overline{x}) |0> = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_p} e^{-i \overline{p}\cdot\overline{x}} |p>
\)
als je de normalisatie
\(
\sqrt{2E_p} a^{\dagger}(p) |o>
\)
gebruikt. De toestand
\(\phi(\overline{x}) |0>\) is een "wavepacket", een superpositie van toestanden met impuls p, waarbij je dus integreert over alle impulswaarden (zoals in een Fourier-transformatie). Je kunt vervolgens ook nog de uitdrukking
\(
<0|\phi(\overline{x}) |p> = e^{i \overline{x}\cdot\overline{p}}
\)
bekijken; als het goed is doet dit je denken aan het niet-relativistische resultaat
\(
<\overline{x}|\overline{p}> \sim e^{i \overline{x}\cdot\overline{p}}
\)
Om toch antwoord te geven op je vraag "Heb je dan voor elke waarde van k dan een aparte annihilatie of creatie operatoren. Kunnen er dan oneindig veel deeltjes ontstaan, of hoe moet ik dat zien?"
De operator
\(a^{\dagger}(p)\) creëert een deeltje met 3-impuls p, en in de positierepresentatie integreer je over alle p-waarden. Je hebt dus niet oneindig veel deeltjes; de integraal drukt uit dat je over alle impulswaarden integreert bij de golffunctie van 1 deeltje.
Helpt dit?
