kansberekening Random Variables

[aadkr]

Ik ben nu zover dat ik aan hoofdstuk 5 kan beginnen van het boek ""Theory and problems of probability"" van de schrijver Seymour Lipschutz.
We gooien met 2 dobbelstenen en het maximaal aantal uitkomsten wordt de finite sample space genoemd en is een verzameling van 36 elementen.
S={(1,1) (1,2) (1,3) .......(1,6)
(2,1) (2,2) ..............(2,6)
(3,1) (3,2) ..............(3,6)
(4,1) (4,2)..............(4,6)
(5,1) (5,2) ............(5,6)
(6,1) (6,2) (6,6)}
De random variabele X zal aan elk punt (a,b)in S een getal toekennen zodat geldt X(a,b)=max (a,b)
X(S)={1,2,3,4,5,6}
1 2 3 4 5 6
2 2 3 4 5 6
3 3 3 4 5 6
4 4 4 4 5 6
5 5 5 5 5 6
6 6 6 6 6 6
E(X)=1. 1/36 +2 . 3/36 + 3 . 5/36 + 4 . 7/36 + 5 . 9/36 + 6. 11/36=161/36=4,47
E(X) is de vwewachtingswaarde ( E=expected value)

[wnvl1]

We gooien met 2 dobbelstenen en het maximaal aantal uitkomsten wordt de finite sample space genoemd en is een verzameling van 36 elementen.

Die zin klopt niet. S is overigens de uitkomstenruimte in het Nederlands.
Met het maximum van de geworpen ogen op de geworpen dobbelstenen wordt een toevalsvariabele X geassocieerd. X associeert dus met elke uitkomst een waarde. De verwachte waarde van deze toevalsvariabele X is ...

[aadkr]

geachte wnvl1
de berekening klopt, want deze heb ik letterlijk overgenomen uit het amerikaanse boek.
Het gaat hier om het gooien van een (stel) rode en een groene dobbelsteen.
Dan is de finite sample space. de verzameling met 36 elementen { (1,1) (1,2)......(6,5) (6,6)}
De toevalsvariabele X stelt een discrete kansverdelingsfunctie vast zodat aan elk element (a,b) van de finite sample space een getal wordt gekoppeld dat is Max(a,b)

[wnvl1]

Ik bedoelde niet dat de oplossing fout was. Die lijkt mij juist. Ik bedoelde dat de desbetreffende zin slecht geformuleerd was en niet klopt.

[aadkr]

geachte wnvl1 ik ben niet erg sterk in het nederlands en beter in het engels , omdat het boek een amerikaansboek is.
stel;het kansexperiment bestaat uit het werpen met 2 bobbelstenen die te onderscheiden zijn.
Ik zal nog ietst overtypen:
DISTRIBUTION AND EXPEXTATION OF A FINITE RANDOM VARIABLE
Let X be a random variable on a sample space S with a finite image set; see X(S)={x1,x2,x3,,,,,,,xn}
We make x(S)into s probability space by defining the probability of xi=P=(X=xi)whith we write f(xi). This funktionf on X(S) i.e.defined byf(xi)=P(x=xi)is called the distribution or probability function of X and is usuallygiven in thr form of a table
E(X)=mu

[aadkr]

Geachte vnwl1
voor de duidelijkheid hier nog een uitgewerkt rekenvoorbeeld van de schrijver.
Example 5:3
A sample of 3 items is selected at random from a box containing 12 items of which 3 are defective. Find the expected number E of defected items:
Yhe Sample Space S consist of the (12 boven 3) =220 distinct equally likely samples of of size 3. We note that there are:
(9 boven 3)=84 samples with no defective items.
3. ( 9 boven 2) =108 samples with one defective item.
( 3 boven 2) .9=27 samples with 2 defective items.
( 3 boven 3)=1 sample with 3 defective irems.
Thus the probability of getting 0,1,2,3 defective irems is respectivelt 84/220 , 108/220 , 27/220 , and 1/220. Thus the espected number E of defective items is
E=0. 84/220 + 1 . 108/220 + 2. 27/220 + 3. 1/220=165/220=0,75.

[CoenCo]

Dit zijn wel echt grote onwegen om tot een verwachting te komen zeg.
Basisregel voor onafhankelijke stochasten: “De som van de verwachtingen is de verwachting van de som”
3 van de 12 zijn de defect, dus als ik er 1 trek zal dat in 3/12 van de gevallen 1 defecte zijn, en anders 0. Verwachtingswaarde: 3/12=0.25
Als ik er drie trek is mijn verwachtingswaarde de som van de verwachtingswaarde van 3 trekkingen =3*0.25=0.75.
Klaar, geen rekenmachine nodig.

(Zie ook rekenregels onder https://nl.m.wikipedia.org/wiki/Verwachting_(wiskunde) )

[wnvl1]

De stochasten zijn wel niet onafhankelijk. De uitkomst van de tweede trekking is afhankelijk van de eerste trekking. Wat niet wegneemt dat je manier van rekenen wel juist is.

[aadkr]

Geachte Coenco en wnvl1
Het rekenvoorbeeld heb ik overgenomen uit het amerikaanse boek.
Volgens mij is de berekeningsmethode wel goed, maar misschien wat omslachtig.
Ik zal morgenavond beginnen met het geven van een rekenvoorbeeld uit het boek ( example 1) en ik wil U beiden hartelijk bedanken voor het meedenken en het positieve commentaar.
Hoogachtend
Aad

[wnvl1]

Mijn opmerking sloeg op de bedenking van CoenCo. Met de berekening van het boek is op zich niets mis en met de berekening van Coenco ook niet.

[aadkr]

Hartelijk dank voor het reageren geachte wnvl1
Hoogachtebd:
aad

[aadkr]

IK ga nogmaals beginnen met een bericht te plaatsen over hoofdstuk 5: Random Variables.
Example:5.1
2 witte dobbelstenen worden getost en daarna op tafel geworpen.
Om de 2 dobbelstenen te onderscheiden van elkaar, kleur ik de ene steen blauw en de andere blijft wit.
We spreken af dat we de uitkomst van het kansexperiment schrijven als (a,b) waarbij a het aantal ogen is van de blauwe dobbelsteen en de b het aantal ogen van de witte dobbelsteen.
Er zijn dan maximaal 36 verschillende uitkomsten mogelijk en de schrijver noemt deze verzameling de""finite Sample Space"" of in het nederlands de verzameling van alle mogelijke elementaire uitkomsten van dit betreffende kansexperiment.
Daarna voeren we een random vaviable X in , ( een toevalsvariabele)

[aadkr]

Example 5:1
A pair of fair dice is tossed. We obtain the finite equiprobable space consisting of the 36 ordered pairs of numbers between 1 and 6
S={(1,1),(1,2), ,(6,6)}
LetX asssign to each point (a,b) in S the maximum of its numbers i.e. X(a,b)=max(a,b)
Then X is a random variable with image set X(S)={1,2,3,4,5,6}
We compute the distribution of X:
f(1)=P(X=1)=P{(1,1)}=1/36
f(2)=P(X=2)=P{(2,1),(2,2),(1,2)=3/36
enzovoort
We next compute the mean of X =(de verwachtingswaarde van X) =
E(X)=1. 1/36 +2. 3/36 + 3. 5/36 + 4 . 7/36 + 5. 9/36 + 6 . 11/36=4,47

[CoenCo]

Dat is toch exact de opgave waarmee je dit topic begon?

Heb je hier nog hulp bij nodig?

[aadkr]

Geachte Coenco, op dit moment snap ik de nieuwe stof die in hoofdstuk 5 wordt uitgelegd nog, maar op een gegeven moment wordt het erg moeilijk.
Example 5:2
Het kansexperiment in voorbeeld 5:2 is hetzelfde als het kansexperiment in example: 5:2
Now let Y assign to each point (a,b) in S the sum of its numbers , i,e, Y(a,b)=a+b.
Then Y is also a random variable (toevalsvariabele) on S with image set (beeldverzameling)
Y(S)= { 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

De verwachtingswaarde E(Y)=2. 1/36 + 3 .2/36 + 4. 3/36 + 5 . 4/36 + 6. 5/36 + 7 . 6/36 + 8 . 5/36 + 9.4/36 + 10 .3/36+
+11 .2/36 + 12 . 1/36 =7
Nog wat aanvullingen:
If X and Y are random variables on the sample Space S , then X+Y ,X+k ,k.X and XY (where k is a real number) are the functions on S defined by:
(X+Y)(s)=X(s)+Y(s)
(kX)(s)=kX(s)
(X+k)(s)=X(s) +k
(XY)(s)=X(s).Y(s)
Theorem 5.1
Let X be a random variable and k a real number. Then (i) E(kX) =kE(X) and(ii) E(X+k)=E(X)+k
Theorem 5.3
Let X and Y be random variables on the same sample Space S. Then E(X+Y)= E(X)+E(Y)
By simple induction:
Corollary 5.3
Let X1 , X2 , ........X(n) be random variables on S. Then E(X1+X2+........Xn) =E(X1)+E(X2)+.......E(Xn)
In mijn volgende bericht behandeld de schrijver de begrippen
Variance and Standard Deviation.