6^2, 66^2, 666^2, enz

[rvqx]

6²=36, is bekend, zet je er een 6 bij, dan moet je bij het antwoord een 4 en een 5 bijzetten.
66²=4356 , zet je er een 6 bij, dan moet je bij het antwoord een 4 en een 5 bijzetten.
666²=443556 , zet je er een 6 bij, dan moet je bij het antwoord een 4 en een 5 bijzetten.
6666²=44435556
vraag1 Gaat dit door tot in het oneindige?
vraag2 Waarom is dit zo?

[RedCat]

\(\small \left(\overbrace{666...6}^{\text{n zessen}}\right)^2=\)

\(\small \left(10^n\cdot \frac{2}{3} - \frac{2}{3}\right)^2=\)

\(\small \left[(10^n-1)\cdot \frac{2}{3}\right]^2=\)

\(\small (10^n-1)^2\cdot \frac{4}{9}=\)

\(\small (10^{2n}- 2\cdot 10^n +1)\cdot \frac{4}{9}=\)

.

\(\small\overbrace{4444..44}^{\text{2n vieren}},4444... - \overbrace{88..8}^{\text{n achten}},8888... + 0,4444...=\)

.

\(\small\overbrace{4444..44}^{\text{2n vieren}} - \overbrace{88..8}^{\text{n achten}}=\)

.

\( \small\overbrace{44..4}^{\text{(n-1) vieren}}3\overbrace{55..5}^{\text{(n-1) vijven}}6\)

[CoenCo]

Fancy!

[Xilvo]

Met \((a \times b)\) bedoel ik dat het cijfer \(a\) \(b\) maal wordt herhaald.
Met \(a\ \& \ b\) bedoel ik dat de cijfers a en b achter elkaar komen te staan, het getal \(ab\) vormen.
\((6 \times n+1)^2 = (4 \times n)\ \&\ 3\ \&\ (5 \times n)\ \&\ 6\)
voorbeeld met n=2: \(666^2=443556\)
\((6 \times n+2)^2=(10\cdot(6 \times n+1)+6)^2=100\cdot(6 \times n+1)^2+120\cdot(6 \times n+1)+36\)
\(100\cdot(6 \times n+1)^2=(4 \times n)\ \&\ 3\ \&\ (5 \times n)\ \&\ 600\)
\(120\cdot(6 \times n+1)+36=7\ \&\ (9 \times n) \ \&\ 56 \)
Van achter af krijg je dan
\(56\)
vervolgens \(6 + 9=5\), \(1\) onthouden (carry).
Je hebt nu \(556\)
Van \(7\ \&\ (9 \times n) \ \&\ 56 \) heb je nog \(7\ \&\ (9 \times n-1)\) over.
Van \((4 \times n)\ \&\ 3\ \&\ (5 \times n)\ \&\ 600\) heb je \((4 \times n)\ \&\ 3\ \&\ (5 \times n)\) over
Die \((9 \times n-1)\) leveren (met de carry) \((5 \times n-1)\) op, met de twee vijven die je al had dus \((5 \times n+1)\)
Vervolgens leveren de \(7\) en de resterende \(5\) met de carry de \(3\)
Dit levert ook weer een carry die samen met de \(3\) uit \((4 \times n)\ \&\ 3\ \&\ (5 \times n)\ \&\ 600\) een \(4\) levert.
Die komt bij de \((4 \times n)\).
Resultaat:
\((4 \times n+1)\ \&\ 3\ \&\ (5 \times n+1)\ \&\ 6\)
Voorbeeld:
\(666^2=443556\)
\(6666^2=(6660+6)^2=44355600+79920+36=44435556\)
Helaas, wat minder elegant dan de oplossing van RedCat.

[rvqx]

Bedankt RedCat. Het kostte wel even voor ik je antwoord helemaal door had. Het gaat dus oneindig door.
Beste Xilvo, ik hoop jouw antwoord tzt ook te begrijpen.

[Xilvo]

Beste Xilvo, ik hoop jouw antwoord tzt ook te begrijpen.

Dat moet wel lukken. Het ziet er waarschijnlijk moeilijker uit dan het is.
Houd er steeds het voorbeeld in de laatste regel bij.