Inhoud van een Piramide, Tetraëder, Kegel etc.

[Nesciyolo]

Een tijdje geleden las ik in een wiskundeleerboek dat de formule voor de inhoud van een piramide niet goed af te leiden is. Toen ik op internet zocht vond ik ook geen afleiding. Alleen een benadering met gebruik van limieten.
Dat verbaasde me. De oude grieken kenden geen limieten. Toch kenden ze de formule wel. Ik geloof dan ook dat die wel is af te leiden. En ik geloof ook dat dat helemaal niet zo moeilijk of ingewikkeld is.
Om dat te laten zien zal ik hier de formule afleiden voor het speciale geval van een piramide met een vierkant grondvlak, die half zo hoog is als de breedte. Een piramide dus met een lengte l, een breedte b en een hoogte h waarvoor geldt: b = l = 2h

Om dat te doen ben ik begonnen met een kubus te tekenen met een breedte b, een lengte l en een hoogte 2h. Omdat het een kubus is, is daarbij b = l = 2h. Overeenkomstig de verhoudingen van de piramide.
In die kubus heb ik de diagonalen getekend. Die gaan allemaal door 1 punt in het midden van de kubus.
Dat ziet er zo uit:

Zoals je kan zien vormen de diagonalen de randen van piramides. Om precies te zijn 6 piramides die allemaal precies dezelfde vorm en grootte hebben. De zijden van de kubus vormen elk een grondvlak van één van de piramides. De toppen van de piramides raken elkaar in het middelpunt. Al die piramides hebben een identieke breedte b, lengte l en hoogte h (niet 2h).

We weten dat de inhoud van een kubus lengte * breedte * hoogte is. Dat is hier dus:
inhoud(kubus) = l * b * 2h
We zien ook dat die inhoud verdeeld wordt over 6 identieke piramides. De inhoud van elk van deze piramides is dus exact:

Inhoud(piramide) = (l * b * 2h) / 6 = (l * b * h) / 3

Vervolgens gaan we... Oh wacht even de formule is er al. Zo makkelijk is het dus. Wat nou limieten?

Vanuit deze afleiding kunnen we heel gemakkelijk ook bepalen wat de inhoud is van een aantal andere figuren. Andere speciale gevallen van piramides maar ook van tetraëders en kegels.
Op basis van deze afleiding is misschien zelfs wel de algemene regel voor piramides en andere soortgelijke vormen af te leiden:

Inhoud(piramide, kegel, tetraëder en dergelijke) = grondvlak * hoogte / 3

[tempelier]

Zo zo.
Dit levert alleen een bewijs voor een regelmatige vierzijdige piramide met een speciale hoogte.

Maar je zit aardig in de richting, dus blijf volhouden.

[Xilvo]

Inhoud(piramide, kegel, tetraëder en dergelijke) = grondvlak * hoogte / 3

Dit is natuurlijk een speciaal geval. Hoe pak je het aan voor een willekeurige scheve piramide?

[ukster]

Inhoud(piramide) = (l * b * 2h) / 6 = (l * b * h) / 3

Vervolgens gaan we... Oh wacht even de formule is er al. Zo makkelijk is het dus. Wat nou limieten?

Vanuit deze afleiding kunnen we heel gemakkelijk ook bepalen wat de inhoud is van een aantal andere figuren. Andere speciale gevallen van piramides maar ook van tetraëders en kegels.
Op basis van deze afleiding is misschien zelfs wel de algemene regel voor piramides en andere soortgelijke vormen af te leiden:

Inhoud(piramide, kegel, tetraëder en dergelijke) = grondvlak * hoogte / 3

Voor een willekeurig tetrahedron kun je wel mooi gebruik van maken van jouw formule.

Volume willekeurig tetrahedron 9333 keer bekeken

[Xilvo]

Voor een willekeurig tetrahedron kun je wel mooi gebruik van maken van deze formule.
Volume willekeurig tetrahedron.png

Hoe bewijs je die, zonder limieten te gebruiken? Daar gaat het hier om.

[Nesciyolo]

Dit is natuurlijk een speciaal geval. Hoe pak je het aan voor een willekeurige scheve piramide?

Dit is inderdaad een speciaal geval. In elk ander parallellepipedum kan je denk ik (correct me if I am wrong) op dezelfde manier diagonalen tekenen en 6 piramides afscheiden. Helaas zullen die niet identiek zijn en dus ook niet zonder meer deze afleiding ondersteunen. Ik heb al een ideetje om het uit te breiden naar andere piramides met een rechthoekig grondvlak en naar viervlakken. En van willekeurige viervlakken kunnen we natuurlijk door naar willekeurige piramides met een veelhoekig grondvlak.

Ik denk dat ik voor de andere gevallen met "aanvullend bewijs" zal komen op basis van driehoeken. Ik weet alleen niet zeker of dat volgens jullie wiskundig geldig genoeg zal zijn. Als jullie het accepteren zal ik in dezelfde trant ook kunnen afleiden dat de inhoudsformule ook werkt voor kegels.

Ik denk dat de inhoudsformule inhoud = (grondvlak * hoogte)/ 3 geldt voor alle objecten met een glad grondvlak die uitlopen in een punt en waarvan de doorsnee in alle richtingen lineair afneemt met de hoogte. Dus ook voor objecten met een grillig gevormd grondvlak (een hart- of theepotvorm of wat dan ook). Ik denk dat roteren ook mag zodat bijvoorbeeld voor een "kurkentrekker" piramide die niet alleen scheef is maar buigt in verschillende richtingen of een piramide die draait als een schroef dezelfde inhoudsformule geldt. Ik weet alleen niet of ik dat ook kan bewijzen.

[Xilvo]

Ik ben benieuwd. Wat er uit komt weten we allemaal maar hoe je het bewijst zonder limieten, dat is de vraag.

[Nesciyolo]

Als eerste stap wil ik een paar andere speciale gevallen afleiden die direct volgen uit de piramide die ik al afgeleid heb.

In de tekening is piramide 1 een piramide met l = b = 2h. Het grondvlak is lichtgroen aangeven en heeft oppervlak l * b.
Die piramide kunnen we in twee gelijke delen verdelen. De sneden die ik wil gebruiken heb ik zo goed als het gaat aangegeven in de tekening.

In het eerste geval snij ik de piramide in 2 gelijke helften door het grondvlak in het midden van 2 tegenoverliggende zijden en de top door te snijden. We krijgen dan halve piramides zoals piramide 2. Die zijn zelf ook piramides met een top die uit het lood ligt en 2l = b = 2h. Piramide 2 heeft de helft van de inhoud van piramide 1. Hij heeft ook de helft van het grondvlak. Dus ook voor deze piramide geldt:
inhoud = (grondvlak * hoogte) / 3 of (l * b * h ) / 3.

We kunnen piramide 1 ook in twee gelijke delen snijden door 2 tegenoverliggende hoeken van het grondvlak en de top. We krijgen dan piramide 3. Dat is niet alleen een piramide maar ook een viervlak. En ook voor dit viervlak geldt om dezelfde reden dat
inhoud = (grondvlak * hoogte) / 3

In principe kan je met elke snede door het midden van het grondvlak en de top een piramide creëren met de helft van de inhoud en de helft van het grondvlak. Dus ook voor al deze andere varianten met een onregelmatig vierhoekig grondvlak geldt:
inhoud = (grondvlak * hoogte) / 3

[Xilvo]

Mooi, maar daarmee heb je nog niet alle mogelijkheden gehad.
Wat als de top niet boven het grondvlak ligt?

[tempelier]

Niks mooi.

Het klopt voor meter.
Wat vergeten wordt is dat de hoogte van het begin af aan is gefixeerd in een vaste verhouding tot de zijde van de kubus.
Die verhouding zit er nog steeds in dus het blijft een bijzonder geval.

[Nesciyolo]

Wat vergeten wordt is dat de hoogte van het begin af aan is gefixeerd in een vaste verhouding tot de zijde van de kubus.
Die verhouding zit er nog steeds in dus het blijft een bijzonder geval.

Dat is helemaal juist. Dat heb ik niet vergeten. Ik heb nog helemaal niets algemeens bewezen. Daar kom ik nog op. Ik moet nog bewijzen dat ik die speciale piramides naar believen kan uitrekken en induwen in alle richtingen zolang de piramidevorm maar behouden blijft. Daar hoort ook bij dat de top zich om het even waar op hoogte h kan bevinden.

[Nesciyolo]

Deze stap in mijn verhaal is misschien niet goed genoeg voor een bewijs. Maar ik wil hem toch met jullie delen. Misschien brengt hij iemand anders op een idee en kan die ons helpen dit probleem op te lossen.
Wat ik verzonnen heb berust op het gegeven dat de oppervlakte van een driehoek (breedte * hoogte) / 2 is.

Als ik een verticale doorsnee door de top van mijn speciale piramide maak evenwijdig aan 2 zijden van het grondvlak in breedterichting, heeft het snijvlak de vorm van een driehoek. Als ik op dezelfde manier een doorsnede maak door de piramide maar naast de top dan zie ik dezelfde driehoek maar ontbreekt de top. Hoe verder ik van de top van de piramide af kom, hoe meer van de driehoek ontbreekt.

In de tekening geeft de groen-gele driehoek 1a het snijvlak door de top weer, driehoek 2a het snijvlak naast de top. Het blauwe deel valt buiten de piramide. Stel nu dat ik de gele driehoek in 1a naar links uitrek Ik maak de breedte 2x zo groot. Dan wordt het oppervlak ook 2x zo groot. Als ik op dezelfde manier de groene driehoek naar rechts uitrek wordt die ook 2x zo groot. Als ik hetzelfde doe bij driehoek 2a dan zal het oppervlak van de hele driehoek ook 2x zo groot worden. Het blauwe deel neemt corresponderend ook toe. Dus het oppervlak van het groen-gele deel daar neemt op dezelfde manier en met dezelfde snelheid proportioneel toe.
Als ik dus de piramide in breedterichting uitrek met een factor x, neemt waar dan ook in de piramide het oppervlak van het snijvlak ook toe met de factor x. Derhalve neemt de inhoud van de piramide met dezelfde factor x toe en als ik de breedte verminder neemt de inhoud ook met dezelfde factor af.
Ook het oppervlak van het grondvlak neemt met factor x toe of af.

Dus: Ook een piramide die in één richting is uitgerekt of ingekrompen heeft

inhoud(piramide) = (grondvlak * hoogte) / 3

We kunnen dit ook doen met een halve piramide. Bijvoorbeeld piramide 2 in mijn voorgaande post.

(...) piramide 2 (...)

Als we de halve piramide die aangegeven wordt door de gele driehoek uitrekken en de halve piramide die met de groene driehoek correspondeert induwen ontstaan driehoeken 1b en 2b.
Als we dat doen neemt de inhoud van de ene halve piramide proportioneel toe met het grondvlak, en van de andere proportioneel af. Voegen we de halve piramides weer bij elkaar dan zien we een piramide ontstaan met een top die niet in het midden ligt. Maar ook voor deze piramide geldt:

inhoud(piramide) = (grondvlak * hoogte) / 3

We kunnen hetzelfde kunstje nog eens doen maar dan in de andere richting. Dus als we de piramide in de breedte hebben aangepast kunnen we dat daarna op dezelfde manier ook naar believen in de lengte doen. We kunnen dus uitgaande van mijn speciale piramide een nieuwe piramide vormen met elk gewenst rechthoekig grondvlak. En in alle gevallen blijft de inhoudsformule dezelfde.

Ik kan dit dus veilig doen met de lengte en de breedte. Maar hoe zit het met de hoogte? Als ik de hoogte verander gaat dat in 2 verschillende richtingen. Om te laten zien dat het ook in de hoogte kan kan ik dezelfde redenering nog eens volgen. Ik kan ook gewoon starten met de speciale piramide met de gewenste hoogte en daarna lengte en breedte aanpassen. Dus ook als ik de hoogte verander blijft de inhoudsformule dezelfde.

We hoeven ons in deze redenering niet per se aan de lengte- of breedterichting van het grondvlak te houden. We kunnen het grondvlak ook in andere richtingen uitrekken of induwen. In dat geval blijft bovenstaande redenering werken. Daarmee kunnen piramides ontstaan met een onregelmatig viervlak als basis. Ook voor deze piramides blijft zoals boven getoond de inhoudsformule dezelfde.

[tempelier]

Deze stap in mijn verhaal is misschien niet goed genoeg voor een bewijs. Maar ik wil hem toch met jullie delen. Misschien brengt hij iemand anders op een idee en kan die ons helpen dit probleem op te lossen.

Ja kom nu even zeg:

JIJ beweerde een eenvoudige meetkundige oplossing te hebben zonder limieten.
Tot nu toe lijkt me het verre van eenvoudig, waar je nu uitkomt.

Bij dat oprekken gebruik je min of meer dat die formule voor de inhoud het zelfde blijft, het is dus geen bewijs.
(Als je dat aanhoudt dan kun je net zo goed de kubus gedeeltelijk oprekken.)

[Nesciyolo]

JIJ beweerde een eenvoudige meetkundige oplossing te hebben zonder limieten.
Tot nu toe lijkt me het verre van eenvoudig, waar je nu uitkomt.

1. Ik zei dat ik eenvoudig kon aantonen dat die inhoudsformule geldt voor een aantal speciale gevallen. En geef toe: stap 1 in mijn verhaal was eenvoudig en gemakkelijk in te zien.
2. eenvoud is in the eye of the beholder. Ik vind deze stap nog steeds eenvoudig. Maar dat komt misschien wel omdat ik hem nu nog helemaal in mijn hoofd heb.
3. In letterlijke zin is hij eenvoudig (enkelvoudig) omdat ik alleen maar driehoeken van breedte verander.

Bij dat oprekken gebruik je min of meer dat die formule voor de inhoud het zelfde blijft, het is dus geen bewijs.
(Als je dat aanhoudt dan kun je net zo goed de kubus gedeeltelijk oprekken.)

Ik denk niet dat dat zo is. Als ik de inhoudsformule niet kende zou ik dit verhaal precies zo kunnen vertellen. Ik zou er dan mee aantonen dat alle piramides dezelfde relatie tussen grondvlak, hoogte en inhoud moeten hebben. Het is ook niet een bijzondere eigenschap van piramides. Alle driedimensionale lichamen hebben dat volgens mij. Kubussen, bollen noem maar op. Zit besloten in de definitie van inhoud denk ik. Misschien is er een veel algemener bewijs voor maar als niet-wiskundige heb ik dat gewoon niet paraat. Dat moet één van jullie maar uitleggen als je dat wilt.

Mijn redenering hier maakt geen gebruik van piramides en ook niet van de inhoudsformule. Hij is alleen gebaseerd op de eigenschap van piramides dat elke dwarsdoorsnede een driehoek of een deel van een driehoek is. Je kan een piramide zien als een driehoekig gewelf waar wat stukken van afgesneden zijn. Dat idee gebruik ik hier.

[Nesciyolo]

Mooi, maar daarmee heb je nog niet alle mogelijkheden gehad.
Wat als de top niet boven het grondvlak ligt?

Dit behoeft geen apart bewijs denk ik. Ik zou dat op dezelfde manier kunnen vertellen als bovenstaand door wat met driehoeken te schuiven. Maar ik vind het leuker en duidelijker om het op een andere manier te doen. Zolang de discussie over de vorige stap nog niet is afgerond wil ik nu uitgaan van het idee dat de inhoudsformule klopt voor piramides met een top boven het grondvlak. We kunnen dan piramides samenvoegen of doorsnijden als de resulterende figuur ook een piramide is.

We gaan uit van de bovenste tekening. Die verbeeldt een piramide met een groen-geel grondvlak en een top die zich boven het grondvlak bevindt. Daarin is een piramide getekend met een groen grondvlak. De top bevindt zich ook voor deze piramide boven het grondvlak.

Snij ik nu de piramide met het groene grondvlak weg, dan hou ik alleen de piramide over met een geel grondvlak.

Als de inhoudsformule voor de groen-gele en de groene piramide geldt, dan volgt daaruit dat die ook voor de gele moet gelden. Dus ook voor een piramide waarvan de top zich niet boven het grondvlak bevindt geldt:

inhoud(piramide) = (grondvlak * hoogte) / 3