Het zal de wereld niet veranderen maar ik heb iets aardigs gevonden dat ik met jullie wil delen.
Ik heb een vorm gevonden waarmee ik elk van de piramides die een bepaalde rechthoekige balk vormen met elk een zijde van de balk als grondvlak en de top in het midden van de balk in één keer kan opvullen.
Die vorm ziet er zo uit:
Jammer genoeg blijven in elk van de piramides de hoeken van het grondvlak ongevuld. Verder dan dat kunnen we met de blokjesmethode helaas niet komen.
Ik zal laten zien wat ik met deze vorm doe.
In figuur 1 is balk HBJKLMNP getekend. Daarin zijn de diagonalen getekend. Die diagonalen zijn de ribben van 6 piramides die in de balk besloten liggen. De inhoud van die 6 piramides samen is gelijk aan de inhoud van de balk.
Als ik zou kunnen bewijzen dat die piramides allemaal even groot zijn dan zou ik daarmee de geldigheid van de inhoudsformule van piramides voor alle piramides met een rechthoekig grondvlak en de top midden boven het grondvlak bewijzen.
In figuur 2 heb ik alle 6 piramides die zo in de balk zitten getekend:
Er zijn 3 paren van identieke piramides. Twee identieke piramides heb ik groen getekend, twee identieke piramides rood en 2 identieke piramides heb ik zwart getekend.
Figuur 3 toont van elk van die paren één piramide
Figuur 4 toont de vorm die ik gevonden heb.
Balk ABCDEFGT is 1/8 deel van balk HBJKLMNP zoals ingetekend in figuur 1. Het punt Z is het middelpunt van balk ABCDEFGT.
De vorm die in figuur 4 is getekend maakt geen deel uit van figuur 1. Voor de rest van het betoog beschouwen we ABCDEFGT los van HBJKLMNP.
De vorm ACDTZ in balk ABCDEFGT is een grootste gemeenschappelijk deel van onderdelen van de piramides die ik in balk HBJKLMNP getekend had. Hij heeft een aantal onderdelen die rechtstreeks naar de 3 piramidetypes toe te brengen zijn.
Onderdeel ADTZ vormt de helft van een kleinere versie van de type groen piramide. Onderdeel ACDZ is de helft van een kleinere versie van de type rood piramide. Onderdeel CDTZ is de helft van een kleinere versie van een type zwart piramide. Samen vormen die 3 halve kleinere versies de hele figuur ACDTZ. De halve kleinere versies van de piramides kan je ook zien als hoekpunten van die piramides.
De figuur is niet alleen opgebouwd uit hoekpunten maar ook uit toppen van de piramides.
De figuur is opgebouwd uit 1/4 delen van de toppen van de diverse piramidetypes.
In de onderste tekening in figuur 4 heb ik met kleuren de toppen van de verschillende piramide typen in de figuur willen aangeven.
De top van een type groen piramide ligt in punt C. De top van een type rood piramide ligt in punt T en de top van een type zwart piramide ligt in punt A.
Om de vormen te maken waarmee we de piramides kunnen vullen moeten we figuur ACDTZ 4x zo groot maken. Voor elk van de types piramide moet dat op een andere manier.
We beginnen met een type rood piramide (figuur 5)
We kunnen figuur ACDTZ spiegelen in vlak ADTE en dan samenvoegen met zijn spiegelbeeld. Daarna kunnen we de nieuw ontstane figuur spiegelen in vlak DCGT en ook die samenvoegen met het spiegelbeeld. Daardoor ontstaat de vorm zoals weergegeven in de bovenste tekening van figuur 5.
De middelste tekening is dezelfde figuur maar de contouren van de balk en zijn spiegelbeelden zijn verwijderd. Ook heb ik extra letters en in een lichtere kleur wat delen getekend die een vergelijking met de onderste tekening makkelijker maken.
De onderste tekening in figuur 5 laat de type rood piramide zien die we al gezien hebben in figuur 3.
We zien dus dat mijn vorm op eenvoudige manier de type rood piramide volledig opvult met uitzondering van 4 delen aan de hoeken van het grondvlak. Die delen samen vormen 2 kleinere type rood piramides.
We kunnen iets overeenkomstigs doen voor de type groen piramide. Zoals in figuur 6
Om de type groen piramide te vullen met figuur ACDTZ spiegelen we ACDTZ eerst in vlak ABCD en voegen hem samen met het spiegelbeeld. Ook deze figuur spiegelen we in vlak DCGT en opnieuw voegen we de figuur samen met zijn spiegelbeeld
De nu ontstane figuur wordt zonder de lijnen van de balk getoond in de middelste tekening van figuur 6
Ook hier heb ik wat letters toegevoegd en in een lichtere tint wat stukjes bijgetekend om vergelijking met de onderste tekening gemakkelijk te maken.De onderste tekening van figuur 6 toont de type groen piramide uit figuur 3
Net als de type rood piramide is dus de type groen piramide op eenvoudige wijze gevuld met 4 x mijn vorm ACDTZ en net als bij de type rood piramide blijven daarbij de 4 hoekpunten van het grondvlak ongevuld. Deze 4 hoekpunten vormen samen 2 kleinere type groen piramides.
Dan kunnen we hetzelfde trucje ook nog uitvoeren voor de type zwart piramides. Zie daarvoor figuur 7.
Om verwarring te voorkomen heb ik punt T in voorgaande figuren hier punt H genoemd.
Om een voor de type zwart piramide passende figuur te maken kunnen we beginnen met figuur ACDHZ te spiegelen in vlak ADHE en de figuur te verenigen met het spiegelbeeld. De nieuwe figuur spiegel ik nu in vlak ABCD.
Daardoor ontstaat de figuur die getekend is in de bovenste tekening van figuur 7.
Net als bij de andere typen piramides haal ik hier overtollige elementen weg uit de tekening en hou de 2e tekening in figuur 7 over. Ook hier heb ik een paar letters toegevoegd en in een lichtere kleur wat dingen bijgetekend om vergelijking met de onderste tekening makkelijker te maken. We zien nu dat ook de type zwart piramide met 4x vorm ACDHZ eenvoudig te vullen is en we zien dat ook hier de hoekpunten niet gevuld worden. Net als bij de andere typen piramides vormen die hoekpunten weer 2 kleinere piramides, maar nu van type zwart.
We zien nu direct dat de gevulde delen van de piramides niet alleen even groot maar ook in hoge mate gelijkvormig zijn. Door met deze vorm ook de kleinere piramides die bij elke stap ontstaan te vullen en dat te herhalen tot in het oneindige kunnen we zonder ook maar 1 berekening te maken laten zien dat alle piramides in een rechthoekig blok met grote nauwkeurigheid even groot zijn en dus de inhoudsformule benaderd kan worden.
Het grootste voordeel dat de vorm uit figuur 4 geeft is dat er zonder enig rekenwerk eenvoudig kan worden getoond dat alle piramides op dezelfde manier gevuld worden. Daarom vind ik dit een turbo blokjesmethode en is ie volgens mij efficiënter dan vullen met andere blokvormen.
