Inhoud van een Piramide, Tetraëder, Kegel etc.

[HansH]

hier nog een begeleidende figuur

[HansH]

deze zelfde redenatie kun je natuurlijk ook houden voor een Tetraëder, Kegel etc. waarvan de structuur gelijkvormig blijft in de hoogte en afneemt tot een punt. de factor 1/3 komt dan van het kwadratische verband met de hoogte waarvan de integraal dan die 1/3 oplevert.

[Xilvo]

Integreren is gebruik maken van limieten.
Het doel was een bewijs zonder gebruik van limieten te vinden.

Een tijdje geleden las ik in een wiskundeleerboek dat de formule voor de inhoud van een piramide niet goed af te leiden is. Toen ik op internet zocht vond ik ook geen afleiding. Alleen een benadering met gebruik van limieten.
Dat verbaasde me. De oude grieken kenden geen limieten. Toch kenden ze de formule wel.

[HansH]

Dat moet je even nader toelichten. Wat heeft een integraal met een limiet te maken? En een integraal is ook geen benadering maar een exacte berekening.

[HansH]

ok een integraal is de limiet van een sommatie, maar ik denk niet dat dat met ' een benadering mbt van een limiet' in dit perspectief bedoeld wordt. Er werd gesteld dat de formule voor de inhoud niet goed af te leiden is. Maar deze simpele afleiding toont toch echt aan dat het wel kan.

[tempelier]

Een tijdje geleden las ik in een wiskundeleerboek dat de formule voor de inhoud van een piramide niet goed af te leiden is. Toen ik op internet zocht vond ik ook geen afleiding.
Inhoud(piramide, kegel, tetraëder en dergelijke) = grondvlak * hoogte / 3

volgens mij is het toch wel simpel af te leiden.
voor elke piramide geld volgens mij dat de vorm van het snijvlak op hoogte h gelijk blijft aan de vorm van het grondvlak en dus de vorm niet verandert als je de hoogte ingaat, alleen wordt zowel de lengte als de breedte van het vlak in de hoogte lineair kleiner met de hoogte totdat je hoogte h bereikt en dan is het oppervlak 0.
dat uitgedrukt in een formule levert de bovenste formule met de z richting loodrecht op het grondvlak.
het volume is dan de integraal van het oppervlak van de doorsnede als functie van de hoogte. dat is de 2e formule.
dat verder uitwerken levert uiteindelijk het volume A0 x h/3 met a0 het oppervlak van het grondvlak en h de hoogte.
inhoud_piramide.gif

Dat was niet de bedoelde oplossingsmethode.

Daarnaast kun je dan beter een willekeurig oppervlak nemen, dan pak je ook de gesloten kegels mee.

[Nesciyolo]

Ik heb verschillende grafische bewijzen gevonden voor de inhoudsformule. Helaas liepen ze allemaal stuk op het gegeven dat je niet mag aannemen dat het volume lineair afhankelijk is van de afmetingen. Je kan dus niet aannemen dat een grotere of kleinere gelijkvormige piramide net zoals een rechte balk tot de 3e macht groeit in volume. Als dat wel zo was zou alleen van daaruit de inhoudsformule al bewezen kunnen worden.

Let op: Dit mag dus niet:

Stel: als je de grootte van een piramide verdubbelt neemt de inhoud met een factor 8 toe. We gaan er dan dus vanuit dat:

Inhoud(piramide) = c (grondvlak * hoogte)
waarbij we c willen bepalen

We nemen een willekeurige piramide met grondvlak l * b en hoogte h en de top boven het grondvlak.
Die verdubbelen we in grootte naar grondvlak 2l * 2b en hoogte 2h

Als we de kleine piramide vergroten naar de grote dan krijgen we het beeld zoals in de tekening (figuur 12)

Kleine piramide ABCDT wordt in 3 richtingen dubbel zo groot gemaakt tot grote piramide SUVWT.
We zien dan dat de grote piramide op te delen is in een aantal segmenten.
Die segmenten zijn

1. piramide ABCDT
2. 4 piramides die elk 1/4 van de grootte van ABCDT hebben, namelijk: SPEQA, NUMFB, GLVKC en RHJWD
3. een balk EFGHABCD met afmeting l * b * h
4. 2 prisma's PNFEAB en HGKJDC met grootte ((b / 2) * l * h) / 2 = (l * b * h) / 4
5. 2 prisma's FMLGBC en QEHRAD met grootte (b * (l / 2) * h) / 2 = (l * b * h) / 4

Alles bij elkaar opgeteld is dus de inhoud van de grote piramide:
Inhoud (SUVWT) = 2(inhoud(ABCDT)) + 2(l * b * h)

Ofwel:

c(2l * 2b * 2h) = 2 * c(l * b * h) + 2(l * b * h)

dus:

(8 - 2) * c (l * b * h) = 2 (l * b * h)

dus

6c = 2 dus c = 1/3

dus:

Inhoud(piramide) = (grondvlak * h) / 3

[tempelier]

Dat moet je even nader toelichten. Wat heeft een integraal met een limiet te maken? En een integraal is ook geen benadering maar een exacte berekening.

Het misverstand zit er in dat degene die het stelde een verkeerd limiet begrip hanteerde.

Dit (verkeerde) limiet begrip werd vroeger nogal eens geleerd:

Een limiet is een waarde die willekeurig dicht benaderd kan worden maar die waarde nooit bereikt.

Deze verkkerde definitie werd vroeger vaak gebruikt voor scholieren die slecht met de limiet van een meetkundige reeks te maken kregen. (Mulo -B, ....... )

Hierdoor is vermoedelijk het misverstand ontstaan dat een limiet slechts een benadering is.

[Nesciyolo]

Een limiet is een waarde die willekeurig dicht benaderd kan worden maar die waarde nooit bereikt.

Hoe wordt dat tegenwoordig dan beschreven?

[tempelier]

Een limiet is een waarde die willekeurig dicht benaderd kan worden maar die waarde nooit bereikt.

Hoe wordt dat tegenwoordig dan beschreven?

Dat is het bekende epsilon delta verhaal.

Het is wat lastig in te tikken ik heb daarom op het net gezocht maar kon het niet zo snel vinden.
Zal er straks nog eens naar kijken.

PS>

Dat die oude definitie niet klopt volgt uit de limiet van \(\dfrac{\sin x}{x}\) naar oneindig.

[Nesciyolo]

Dat is het bekende epsilon delta verhaal.

delta staat voor toename.
De limiet van delta -> 0 is een waarde die oneindig klein is maar niet 0 kan zijn.
Dat is dus eigenlijk die oude definitie. Het wordt er alleen niet bij gezegd.

[Nesciyolo]

Dat die oude definitie niet klopt volgt uit de limiet van \(\dfrac{\sin x}{x}\) naar oneindig.

De uitkomst is uiteraard 0 maar als je het uitrekent nooit precies 0. Hoe hoog je de waarde van x ook kiest. Hoe is dat in tegenspraak met de definitie?

[tempelier]

Dat die oude definitie niet klopt volgt uit de limiet van \(\dfrac{\sin x}{x}\) naar oneindig.

De uitkomst is uiteraard 0 maar als je het uitrekent nooit precies 0. Hoe hoog je de waarde van x ook kiest. Hoe is dat in tegenspraak met de definitie?

De limiet is 0.
Maar die waarde wordt wel oneindig veel malen aangenomen.

[tempelier]

Dat is het bekende epsilon delta verhaal.

delta staat voor toename.
De limiet van delta -> 0 is een waarde die oneindig klein is maar niet 0 kan zijn.
Dat is dus eigenlijk die oude definitie. Het wordt er alleen niet bij gezegd.

Dat is een notatie geen ander definitie.

[Nesciyolo]

Hoe heb ik de definitie geleerd?
Door een (on)gelukkig toeval kan ik dat nog even nakijken. Vanwege een bromfietsongelukje heb ik het wiskundeboek dat we in de bovenbouw gebruikten nog in de kast staan. We gebruikten datzelfde boek op HAVO en VWO.

Sigma Analyse 4/5h uit 1978 (ja zo oud ben ik al).
Op pagina 101 worden limieten geïntroduceerd. Er staat geschreven:

De differentiaalrekening berust op twee belangrijke begrippen, nl. het functiebegrip en het limietbegrip.

Verdere definities worden daar niet gegeven.
Wel staat er in een voorbeeld:

als x groot genoeg gekozen wordt, zal f(x) zo weinig van 2 verschillen als we wensen.

We zeggen nu:

De limiet van f(x) voor x nadert tot plus oneindig, is 2

Dus 2 is het antwoord maar de uitkomst van de som kan nooit precies 2 zijn. Het is een benadering. Dat lijkt mij consequent met de definitie di tempelier al gaf.