Inhoud van een Piramide, Tetraëder, Kegel etc.

[tempelier]

Hoe heb ik de definitie geleerd?
Door een (on)gelukkig toeval kan ik dat nog even nakijken. Vanwege een bromfietsongelukje heb ik het wiskundeboek dat we in de bovenbouw gebruikten nog in de kast staan. We gebruikten datzelfde boek op HAVO en VWO.

Sigma Analyse 4/5h uit 1978 (ja zo oud ben ik al).
Op pagina 101 worden limieten geïntroduceerd. Er staat geschreven:

De differentiaalrekening berust op twee belangrijke begrippen, nl. het functiebegrip en het limietbegrip.

Verdere definities worden daar niet gegeven.
Wel staat er in een voorbeeld:

als x groot genoeg gekozen wordt, zal f(x) zo weinig van 2 verschillen als we wensen.

We zeggen nu:

De limiet van f(x) voor x nadert tot plus oneindig, is 2

Dus 2 is het antwoord maar de uitkomst van de som kan nooit precies 2 zijn. Het is een benadering. Dat lijkt mij consequent met de definitie di tempelier al gaf.

Ik ben nog van voor de HAVO-VWO dus nog ouder.

Je haalt de betekenis van twee verschillende begrippen door elkaar:

Benadering en Nadering.

[Nesciyolo]

Dat is een notatie geen ander definitie.

Correct. Niet de definitie maar wel consequent met de definitie.

Ik ben van na de Mulo B tijd en ik heb die definitie inderdaad niet zo geleerd. In ieder geval niet in de bovenbouw. Hij komt me wel bekend voor. Het kan dat ik in de onderbouw ook iets over limieten gehoord heb en hem daar wel gezien heb.

Niet die definitie dus maar ook geen andere. Wel voorbeelden en omschrijvingen die de definitie suggereren. Toen al.

Blijft mijn vraag:
Wat is tegenwoordig de gangbare definitie?

[Nesciyolo]

Je haalt de betekenis van twee verschillende begrippen door elkaar:

Benadering en Nadering.

Wat is het verschil en hoe moet het gezegd worden?

[HansH]

Dat was niet de bedoelde oplossingsmethode.

Daarnaast kun je dan beter een willekeurig oppervlak nemen, dan pak je ook de gesloten kegels mee.
[/quote]
Ik snap even niet waar in dit topic geeist is dat je een specifieke oplossingsmethode moet gebruiken. er was nog niemand uberhaupt tot een bewijs gekomen dacht ik, maar daarbij hoor ik nu ook nog dat ik het beter anders kan doen, terwijl nog niemand zover was gekomen dat die een bewijs kon leveren. ik had ook al vermeld dat je mijn methode meer algemeen kon gebruiken voor alke vorm die in de hoogte niet verandert, maar alleen schaalt in afmeting

[Xilvo]

Hier zijn, voor verschillende gevallen, goede definities van limieten te vinden.
De eerste is

[Nesciyolo]

Hier zijn, voor verschillende gevallen, goede definities van limieten te vinden.
De eerste is
limiet.png

Naar de woorden van Tempelier lijkt mij dat ook meer een notatie dan een definitie.

Bij een limietberekening is het antwoord de limiet. Niet de uitkomst van de berekening die alleen maar heel dicht bij die limiet komt.
De limiet van f(x) = y. Maar die waarde is dus de waarde waar je in een berekening met een specifieke waarde van x misschien heel dichtbij kan komen maar die je nooit bereikt.
Voor limiet f(x) = y is geen waarde van x te vinden waarvoor de uitkomst van de berekening exact y is.
Of je dat nu naderen noemt of benaderen. Het punt is dat je er dichtbij kan komen maar de limiet nooit bereikt.

[tempelier]

Dat was niet de bedoelde oplossingsmethode.

Daarnaast kun je dan beter een willekeurig oppervlak nemen, dan pak je ook de gesloten kegels mee.

Ik snap even niet waar in dit topic geeist is dat je een specifieke oplossingsmethode moet gebruiken. er was nog niemand uberhaupt tot een bewijs gekomen dacht ik, maar daarbij hoor ik nu ook nog dat ik het beter anders kan doen, terwijl nog niemand zover was gekomen dat die een bewijs kon leveren. ik had ook al vermeld dat je mijn methode meer algemeen kon gebruiken voor alke vorm die in de hoogte niet verandert, maar alleen schaalt in afmeting
[/quote]
Het ging er om het zonder limieten te doen.

Ik heb al aangegeven dat er zo eentje staat in het boek van Wijdenes.
Dus het is mogelijk.
In het boek van Colerus: 'Van punt naar vierde dimensie' staat dacht ik een ander meetkundig bewijs.
Maar dat boek kan ik in de chaos niet zo snel vinden.

PS.
Je laatste opmerking zag ik te laat, sorry.

[Xilvo]

Naar de woorden van Tempelier lijkt mij dat ook meer een notatie dan een definitie.

Ik zou het een notatie van een definitie noemen

De limiet is de waarde die je willekeurig dicht kunt benaderen. Soms kun je die ook bereiken.
Bijvoorbeeld
\(\lim\limits_{x\rightarrow 2} x^2=4\)

[Nesciyolo]

Ik snap even niet waar in dit topic geeist is dat je een specifieke oplossingsmethode moet gebruiken. er was nog niemand uberhaupt tot een bewijs gekomen dacht ik, maar daarbij hoor ik nu ook nog dat ik het beter anders kan doen, terwijl nog niemand zover was gekomen dat die een bewijs kon leveren. ik had ook al vermeld dat je mijn methode meer algemeen kon gebruiken voor alke vorm die in de hoogte niet verandert, maar alleen schaalt in afmeting

Oplossingsmethoden met impliciete en expliciete limieten zijn er genoeg.Zie bijvoorbeeld
viewtopic.php?p=1176517#p1176517
mijn post van 9 mei 2023 20:09. Daarin laat ik met "mijn" blokje zien dat piramides in een balk allemaal even groot zijn door de ontstane vorm steeds weer in de nieuw ontstane kleinere piramides te plakken. Dat is ook een limietbenadering.
Het is mijn topic en ik vind dat jouw oplossingsmethode hier genoemd kan worden. Als hij klopt levert ie alleen geen beter of slechter resultaat dan de andere methodes.

[tempelier]

Naar de woorden van Tempelier lijkt mij dat ook meer een notatie dan een definitie.

Ik zou het een notatie van een definitie noemen

De limiet is de waarde die je willekeurig dicht kunt benaderen. Soms kun je die ook bereiken.
Bijvoorbeeld
\(\lim\limits_{x\rightarrow 2} x^2=4\)

Dat is hier niet zo.
Immers de waarde x=2 mag nu net niet worden gebruikt.
(Ook is niet zeker dat f(2)=4 is of bestaat)

Ik had deze al gegeven:
\(\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{\sin x} {x} =0\)

Hier is de waarde van de functie 0 als \(x=2\pi n \; ,\; n=1 , 3 , 4 , .......\)

[Nesciyolo]

De limiet is de waarde die je willekeurig dicht kunt benaderen. Soms kun je die ook bereiken.
Bijvoorbeeld
\(\lim\limits_{x\rightarrow 2} x^2=4\)

Ah ja dat zou een weerlegging van de definitie die Tempelier noemde kunnen zijn.
Aan de andere kant: als je de limiet berekent doe je dat formeel met waardes van x dichtbij (in dit geval) 2 maar niet 2 zelf.
Er staat in die definitie niet dat je die waarde niet kan bereiken, maar dat je hem nooit bereikt.
Formeel gezien zou je in genoemde som de waarde 2 niet moeten gebruiken en bereik je dus limietwaarde 4 nooit.
De uitkomst van deze functie is hetzelfde als de uitkomst van

\(x^2=4\) met waarde \(x=2\)

Alleen in het ene geval is 4 een limiet en in het andere geval een absolute uitkomst.

Een limiet is een waarde die willekeurig dicht benaderd kan worden maar die waarde nooit bereikt.

Er zijn gevallen mogelijk waarbij die waarde wel bereikt wordt.
Bij voorbeeld:

\(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{x} {x}=1\)

Dus misschien is die definitie inderdaad niet helemaal juist.

[Nesciyolo]

Ik had deze al gegeven:
\(\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \dfrac{\sin x} {x} =0\)

Hier is de waarde van de functie 0 als \(x=2\pi n \; ,\; n=1 , 3 , 4 , .......\)

Ah ja de limiet wordt wel bereikt. Ik denk dat we het eens zijn,

[tempelier]

Nog even gezocht.

Er is een stelling van Bonaventura Cavalieri die stelt dat piramides met het zelfde grondvlak in (opprvlakten) en gelijke hoogte de zelfde inhoud moeten hebben

Het bewijs van hem kon ik niet vinden.
Weet dus niet of hij hiervoor een soort primitief limiet begrip hanteerde.

https://en.wikipedia.org/wiki/Bonaventura_Cavalieri

[tempelier]

De limiet is de waarde die je willekeurig dicht kunt benaderen. Soms kun je die ook bereiken.
Bijvoorbeeld
\(\lim\limits_{x\rightarrow 2} x^2=4\)

Ah ja dat zou een weerlegging van de definitie die Tempelier noemde kunnen zijn.
Aan de andere kant: als je de limiet berekent doe je dat formeel met waardes van x dichtbij (in dit geval) 2 maar niet 2 zelf.
Er staat in die definitie niet dat je die waarde niet kan bereiken, maar dat je hem nooit bereikt.
Formeel gezien zou je in genoemde som de waarde 2 niet moeten gebruiken en bereik je dus limietwaarde 4 nooit.
De uitkomst van deze functie is hetzelfde als de uitkomst van

\(x^2=4\) met waarde \(x=2\)

Alleen in het ene geval is 4 een limiet en in het andere geval een absolute uitkomst.

Een limiet is een waarde die willekeurig dicht benaderd kan worden maar die waarde nooit bereikt.

Er zijn gevallen mogelijk waarbij die waarde wel bereikt wordt.
Bij voorbeeld:

\(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{x} {x}=1\)

Dus misschien is die definitie inderdaad niet helemaal juist.

Ik heb juist vermeld dat die definitie onjuist is.

[Nesciyolo]

Nog even gezocht.

Er is een stelling van Bonaventura Cavalieri die stelt dat piramides met het zelfde grondvlak in (opprvlakten) en gelijke hoogte de zelfde inhoud moeten hebben

Het bewijs van hem kon ik niet vinden.
Weet dus niet of hij hiervoor een soort primitief limiet begrip hanteerde.

https://en.wikipedia.org/wiki/Bonaventura_Cavalieri

https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_indivisibles
misschien helpt dit iets.