Inhoud van een Piramide, Tetraëder, Kegel etc.

[Xilvo]

https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_indivisibles
misschien helpt dit iets.

...wat weer tot deze informatie leidt, met:

Proposition 10: The volume of a cone is a third of the volume of the corresponding cylinder which has the same base and height

Blijkbaar toch een vorm/voorloper van limieten.

[Nesciyolo]

...wat weer tot deze informatie leidt, met:

Proposition 10: The volume of a cone is a third of the volume of the corresponding cylinder which has the same base and height

Blijkbaar toch een vorm/voorloper van limieten.

Ja. De blokjesmethode zou dus misschien wel mogen van Archimedes. In combinatie misschien met het insluiten van de nieuw ontstane kleinere piramides in bijvoorbeeld een balk of prisma om een maximale grootte te bewijzen.

[HansH]

Er is een stelling van Bonaventura Cavalieri die stelt dat piramides met het zelfde grondvlak in (opprvlakten) en gelijke hoogte de zelfde inhoud moeten hebben

Het bewijs van hem kon ik niet vinden.

als bewijs kun je mijn aanpak gebruiken van Bericht wo 10 mei 2023, 14:53.
Het bewijs volgt direct uit de integraal want daar zit alleen de hoogte in en het oppervlak van het grondvlak.

[tempelier]

Er is een stelling van Bonaventura Cavalieri die stelt dat piramides met het zelfde grondvlak in (opprvlakten) en gelijke hoogte de zelfde inhoud moeten hebben

Het bewijs van hem kon ik niet vinden.

als bewijs kun je mijn aanpak gebruiken van Bericht wo 10 mei 2023, 14:53.
Het bewijs volgt direct uit de integraal want daar zit alleen de hoogte in en het oppervlak van het grondvlak.

Dat heb ik gezien.

Ik bedoelde echter het bewijs dat Cavalieri heeft bedacht.
Kan natuurlijk best zijn dat het op het jouwe leek.

[HansH]

mijn post van 9 mei 2023 20:09. Daarin laat ik met "mijn" blokje zien dat piramides in een balk allemaal even groot zijn door de ontstane vorm steeds weer in de nieuw ontstane kleinere piramides te plakken. Dat is ook een limietbenadering.
Het is mijn topic en ik vind dat jouw oplossingsmethode hier genoemd kan worden. Als hij klopt levert ie alleen geen beter of slechter resultaat dan de andere methodes.

Prima. jij bent immers degene die aan kan geven wat je van het topic verwacht. Voor mij is het doel van een bewijs niet alleen om het te bewijzen, maar ook om als het kan inzicht te geven in de achtergrond.

Zo volgt uit 'mijn' bewijs (maar ik zal toch zeker niet de eerste zijn die dat gebruikt) het inzicht dat het gaat om een sommatie van gelijkvormige doorsnedes met quadratisch afnemend oppervlak als functie van de hoogte. Daaruit volgt dan de x^2 term in de integraal die bij het oplossen van de integraal die 1/3 x^3 oplevert en daar komt dan weer die 1/3 A x h uit. zie het plaatje van Bericht wo 10 mei 2023, 15:05. En daar volgt dan ook gelijk het inzicht uit dat alleen de hoogte van belang is en niet de richting waarin de top van de piramide wijst. immers dat geeft geen ander oppervlak van elke doorsnede op een bepaalde hoogte.

[HansH]

Kan natuurlijk best zijn dat het op het jouwe leek.

uiteindelijk zijn als dat soort bewijzen 'lood om oud ijzer' want op de een of andere manier moet het allemaal min of meer om hetzelfde achterliggende idee draaien. Iets op 2 manieren bewijzen die niets met elkaar te maken hebben kan denk ik niet. Dat geldt denk ik voor alle bewijzen in het algemeen. (maar van die stelling kun je denk ik een apart topic maken)

[HansH]

het inzicht dat het gaat om een sommatie van gelijkvormige doorsnedes met quadratisch afnemend oppervlak als functie van de hoogte. Daaruit volgt dan de x^2 term in de integraal die bij het oplossen van de integraal die 1/3 x^3 oplevert en daar komt dan weer die 1/3 A x h uit.

dat zelfde idee kun je ook gebruiken om het oppervlak van een driehoek uit te rekenen met lengte l en hoogte h.
je krijgt dan als oppervlak de integraal van 0 tot h l(y)dy met l(y)=y/h . l dus integraal(l.y/h dy) levert l/h . 1/2y^2 levert l/2h

opp_driehoek 746 keer bekeken

en ook hier volgt dan direct uit dat het oppervlak alleen bepaald is door de lengte van 1 zijde en de hoogte, maar niet de vorm waarin de punt wijst. dit is dus precies dezelfde redenatie als bij de piramide. je ziet hier dus het effect van 2 dimensies levert lengte x hoogte/2 en in 3 dimensies levert het oppervlak x hoogte/3 je zou dit dus kunnen doortrekken naar een piramide in n dimensies.

[tempelier]

het inzicht dat het gaat om een sommatie van gelijkvormige doorsnedes met quadratisch afnemend oppervlak als functie van de hoogte. Daaruit volgt dan de x^2 term in de integraal die bij het oplossen van de integraal die 1/3 x^3 oplevert en daar komt dan weer die 1/3 A x h uit.

dat zelfde idee kun je ook gebruiken om het oppervlak van een driehoek uit te rekenen met lengte l en hoogte h.
je krijgt dan als oppervlak de integraal van 0 tot h l(y)dy met l(y)=y/h . l dus integraal(l.y/h dy) levert l/h . 1/2y^2 levert l/2h
opp_driehoek.gif
en ook hier volgt dan direct uit dat het oppervlak alleen bepaald is door de lengte van 1 zijde en de hoogte, maar niet de vorm waarin de punt wijst. dit is dus precies dezelfde redenatie als bij de piramide. je ziet hier dus het effect van 2 dimensies levert lengte x hoogte/2 en in 3 dimensies levert het oppervlak x hoogte/3 je zou dit dus kunnen doortrekken naar een piramide in n dimensies.

Dat heten simplexen.
Ik heb dat wel eens gedaan voor de hoogtelijnen daar zit systeem in.

Voor wat uitgebreidere informatie.

https://en.wikipedia.org/wiki/Simplex