Zeker!
Het idee is de algemene term te splitsen in een verschil van 2 breuken door wat men noemt 'splitsen in partieelbreuken'. Zo krijgen we een zogenaamde 'telescopische som', d.w.z. een som waarvan alle termen wegvallen of te vereenvoudigen zijn.
Meer bepaald:
k+3k(k+1)=Ak−Bk+1
Waarin we A en B kunnen bepalen door de noemers weg te werken:
k+3=A(k+1)−Bk
en dan coëfficiënten gelijkstellen, ofwel respectievelijk k=0 en k=-1 in te vullen. Zo krijgen we A=3 en B=2. Dus:
k+3k(k+1)=3k−2k+1
Zo vinden we
s1+s2+s3+s4+⋯
=−(31−22)+(32−23)−(33−24)+⋯
=−3+52−53+54−⋯
=2−5(1−12+13−14+⋯)
Nu is de reeks tussen haakjes een bekende reeks met als reekssom ln 2, wat je kan zien door x=1 in te vullen in de MacLaurinreeks voor ln(x+1). (zie bv
https://nl.wikipedia.org/wiki/Taylorreeks )
Zo komen we tot de gevraagde reekssom.
groetjes
Bart