rekenen met complexe getallen

[aadkr]

[HansH]

Wat is de vraag?

[tempelier]

het is maar de vraag of je die j voor sin x mag doordrukken.
Die eigenschap is formeel alleen bewezen als j reëel is.

PS.
J is een benaming uit de elektro en meet-en-regel wereld in de wiskunde gebruikt men de i.

[HansH]

Is dit niet een algemeen gebruikt bewijs wat regelmatig voorkomt in het elektrotechniek onderwijs bij het onderwerp complexe rekenwijze?

[Xilvo]

het is maar de vraag of je die j voor sin x mag doordrukken.
Die eigenschap is formeel alleen bewezen als j reëel is.

Dat lijkt me heel sterk. Het wordt al eeuwen in allerlei takken van wiskunde en natuurkunde gebruikt.
Eén van de bewijzen van de formule van Euler gebruikt precies deze reeksontwikkeling.

[tempelier]

het is maar de vraag of je die j voor sin x mag doordrukken.
Die eigenschap is formeel alleen bewezen als j reëel is.

Dat lijkt me heel sterk. Het wordt al eeuwen in allerlei takken van wiskunde en natuurkunde gebruikt.
Eén van de bewijzen van de formule van Euler gebruikt precies deze reeksontwikkeling.

Ik zeg dat het geen bewijs is.
Het is slechts zoals Euler de complexe macht heeft gedefinieerd.
Wat men laat zien is dat deze definitie consistent is, niet meer dan dat.

Men kan ook niet bewijzen dat a⁰=1 slechts dat deze definitie consistentie oplevert.

[flappelap]

het is maar de vraag of je die j voor sin x mag doordrukken.
Die eigenschap is formeel alleen bewezen als j reëel is.

Dat lijkt me heel sterk. Het wordt al eeuwen in allerlei takken van wiskunde en natuurkunde gebruikt.
Eén van de bewijzen van de formule van Euler gebruikt precies deze reeksontwikkeling.

Zoals ik het begrijp doe je een analytische voortzetting van de e-macht naar het complexe vlak middels de reeksontwikkeling. Formeel is dat een definitie, maar ik zou niet wat voor andere zinvolle en consistente uitbreidingen je kunt verzinnen aangezien zo'n voortzetting uniek is.

[wnvl1]

Ik dacht ook aan een analytische voortzetting, maar ik betwijfel nu of je in dit geval van een analytisch voortzetting mag spreken. Moet dan de initiële functie niet gedefinieerd zijn in een open deelverzameling van het complexe vlak, wat hier niet het geval is als je vertrekt van een definitie voor de reële getallen?

https://nl.wikipedia.org/wiki/Analytisc ... %20breiden.

[tempelier]

Formeel is dat een definitie, maar ik zou niet wat voor andere zinvolle en consistente uitbreidingen je kunt verzinnen aangezien zo'n voortzetting uniek is.

Het blijft een definitie.

Nu is een definitie veel niet meer dan een afspraak.
Men kan het er dus over hebben of die afspraak een zinvolle is en consistentie is iets wat gewaardeerd wordt.
Zoals Euler de complexe macht invoert blijkt een zinvolle, omdat veel oude stellingen uit het reële gebied dan geldig blijven.

Wel is voorzichtigheid geboden want deze bijvoorbeeld: \((a^p)^q = a^{pq} \) geldt dan niet meer in zijn algemeenheid.

[Xilvo]

Wel is voorzichtigheid geboden want deze bijvoorbeeld: \((a^p)^q = a^{pq} \) geldt dan niet meer in zijn algemeenheid.

Graag een voorbeeld wanneer dat niet geldt.

[tempelier]

Wel is voorzichtigheid geboden want deze bijvoorbeeld: \((a^p)^q = a^{pq} \) geldt dan niet meer in zijn algemeenheid.

Graag een voorbeeld wanneer dat niet geldt.

\((i^4)^i = 1^i = 1\)
\( i^{4i} = e^{-2\pi} \)

Via
\((a+bi)^{c+di} = e^{ (c+di) \ln (a+bi) }\)

[flappelap]

Zonder branch cut kan 1^i natuurlijk ook andere waarden verkrijgen.

[flappelap]

Ik dacht ook aan een analytische voortzetting, maar ik betwijfel nu of je in dit geval van een analytisch voortzetting mag spreken. Moet dan de initiële functie niet gedefinieerd zijn in een open deelverzameling van het complexe vlak, wat hier niet het geval is als je vertrekt van een definitie voor de reële getallen?

https://nl.wikipedia.org/wiki/Analytisc ... %20breiden.

Ik zou de details moeten nakijken. Maar ik dacht ook asn dergelijke voortzetting in de ART als je b.v. van Schwarzschild- naar Kruskal Szekeres (of Eddington Finkelstein) coördinaten gaat. Hoe dat formeel zit met open deelverzamelingen ben ik eerlijk gezegd wat kwijt.

[flappelap]

Ook zo'n regel die verloren gaat:

A^n * B^n = (A*B)^n,

Bv voor sqrt(-1)*sqrt(-1)=i*i= -1, wat ongelijk is aan sqrt(-1*-1).

[tempelier]

Zonder branch cut kan 1^i natuurlijk ook andere waarden verkrijgen.

Meestal als er niets staat vermeld wordt de hoofdwaarde bedoeld.