[wiskunde] vreemde opgave

[aadkr]

[wnvl1]

Links en rechts kwadrateren, en dan krijg je een vierdegraadsvergelijking.
Je moet dan ook een kwadrateringsvoorwaarde opstellen.
Die vierdegraadsvergelijking kan je dan oplossen. Daar bestaan technieken voor.

[aadkr]

sorry wnvl1, maar dit is te moeilijk voor mij.

[HansH]

dit komt eruit volgens mathcad15:

Mathcad - Untitled_1

(28.63 KiB) 62 keer gedownload

[HansH]

dat zijn dus 4 oplossingen waarvan 2 complex dus hou je 2 oplossingen over 1.453 en -1.164
1.453
-0.144+1.324i
-1.164
-0.144-1.324i

[HansH]

maar gezien de grootte van de exacte oplossing lijkt het me geen simpele herleiding tot een 2e graads vergelijking.

[HansH]

Die vierdegraadsvergelijking kan je dan oplossen. Daar bestaan technieken voor.

dit is volgens mathcad de algemene oplossing van een 4e graads vergelijking (de abcde formule dus ipv abc formule). is al snel een formule van 20 A4 tjes breed. ben wel benieuwd hoe die techniek er dan uitziet.

[HansH]

het bestand staat onder de text, maar valt nauwelijks op. als je het wilt zien dan moet je het downloaden en in een viewer bekijken.

[RedCat]

... ben wel benieuwd hoe die techniek er dan uitziet ...

Zie https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_f ... _for_roots

Onze vergelijking is al in depressed form (b=0), waardoor we direct hebben: p=0, q=-1 en r=-3.

Dit levert:

\(\small \Delta_0 = -36\)

\(\small \Delta_1 = 27\)

\(\small Q = 3 \sqrt[3]{\frac{1}{2}(1+\sqrt{257})}\)

En hiermee kan je S en de 4 oplossingen ook exact uitdrukken.

Met al deze hulpvariabelen werkt het overzichtelijker dan het geheel volledig uitdrukken in de oorspronkelijke variabelen a t/m e.

PS: als benaderingen kom ik uit op:
Q = 6.12622822574
S = 0.144295869272
x1 = -0.144295869272 - 1.32414977490*i
x2 = -0.144295869272 + 1.32414977490*i
x3 = -1.16403514029
x4 = 1.45262687883

[ukster]

[RedCat]

Ofwel op één regel voor het oorspronkelijke probleem (x ∈ R, x ≥ -3):

\(\small x_{1,2} = S \pm \sqrt{ \frac{1}{4S} - S^2 }\;\) met \(\small\; S = \sqrt{ \frac{T}{4} - \frac{1}{T} }\;\) en \(\small \;T = \sqrt[3]{\frac{1+\sqrt{257}}{2}} \)

[aadkr]

x1=1,452626878
x2=-1,164035140
De antwoorden komen uit het boek CALCULUS concepts & connections
Robert T. Smith & Roland B. Minton.
Mc Graw Hill Higher Education.

[RedCat]

@ aadkr:
Was het wellicht de bedoeling om deze opgave numeriek op te lossen, bijvoorbeeld via de methode van Newton–Raphson?
Dat zou beter in een calculus boek passen dan bovenstaande exacte oplossing.