afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie

[wnvl1]

OK, dan mag ik de mapping

$$r_{Minkowski} := \sqrt{\int_0^{r_{Schwarzschild}} \frac {1} {1 - 2M/r} dr^2}$$
$$t_{Minkowski} := \sqrt{\int_0^{t_{Schwarzschild}} (1 - 2M/r) dt^2}$$

gebruiken voor radiale afstand en tijd.

Als ik die mapping consistent toepas op mijn coördinaten en snelheden in de Schwarschildmetriek, kom ik op elk punt in mijn coördinatenstelsel met Minkowski metriek waarden uit die mij toelaten om de theorie van Newton wat aan te passen zodat hert allemaal klopt met de oplossing in Schwarzschild metriek. Lijnlengtes tussen A en B in Schwarzschildmetriek en Minkowski metriek blijven na zorgvuldige mapping van alle tussenliggende punten op de wereldlijn behouden.

Blijven hoeken ook behouden na bovenstaande mapping?

[flappelap]

Ik snap nog steeds niet zo goed wat je wilt doen en wat die kwadraten bovendien in de maten onder de integraal aangeven. Maar als je coördinatentransformaties zoekt die je lokaal van de Schwarzschild-metriek naar de Minkowskimetriek brengen: dat zijn de eerdergenoemde tetrads/vielbeine/vierbeine, die op een lokale Lorentztransformatie na uniek gedefinieerd zijn. Er geldt immers per definitie dat

\(e_{\mu}{}^a e_{\nu}{}^b \eta_{ab} = g_{\mu\nu}\)

En om je vraag te beantwoorden: ja, je hoeken blijven volgens mij invariant na bovenstaande transformaties.

[HansH]

In het algemeen is er wel geen behoud van energie in de ART.

dat heb ik vaker gehoord inderdaad. maar de totale energie in het heelal moet toch wel behouden blijven?
dus waar blijft die energie dan? of gaat die energie in de ruimtetijd zitten?

[wnvl1]

Behoud van energie vloeit voort uit de tijdtranslatiesymmetrie (stelling van Noether). Deze symmetrie wordt geschonden door een uitdijende heelal, dus er is geen reden waarom energie behouden zou moeten blijven. Waar de extra energie naartoe gaat of vandaan komt, is dan ook niet relevant. Alleen in gevallen van asymptotisch vlakke ruimte tijd kan je in sommige gevallen spreken van een behoud van energie. De Schwarzschild oplossing hoort daarbij.

[wnvl1]

Ik snap nog steeds niet zo goed wat je wilt doen en wat die kwadraten bovendien in de maten onder de integraal aangeven.

Zo zal beter zijn.

$$r_{Minkowski} := \int_0^{r_{Schwarzschild}} \sqrt{ \frac {1} {1 - 2M/r}} dr$$
$$t_{Minkowski} := \int_0^{t_{Schwarzschild}} \sqrt{(1 - 2M/r) } dt$$

Ik snap wel het concept van de tetrads. Je schakelt over naar een orthonormale basis. Het is zoiets als een Gram-Schmidt orthogonalisatie in klassieke algebra.Je kan dat voor elk event in de ruimtetijd uitvoeren. Op elk punt kan je daarmee van basis veranderen. Achterliggende fysische gedachte is, lokaal kan je altijd een vlakke ruimte invoeren. Het achterliggend wiskundig proces heb ik ook ooit doorlopen.

Maar op een bepaald moment moet ik voor een specifiek event ook een link kunnen leggen tussen mijn coördinaten \((t_{Schwarzschild}, r_{Schwarzschild}, \theta_{Schwarzschild}, \phi_{Schwarzschild})\) en mijn coördinaten in mijn vlakke globale ruimte \((t_{Minkowski}, r_{Minkowski}, \theta_{Minkowski}, \phi_{Minkowski})\). Het is die laatste vlakke ruimte die je nodig hebt om de ART te beschrijven via een aangepaste Newtoniaanse fysica. Uiteraard moeten er dan pseudo krachten ingevoerd worden.

Kan ik dan de formule hierboven gebruiken om de link te leggen tussen beide coördinaten?

Op zich is Newton aanpassen niet speciaal mijn ambitie, maar ik wil iets beter begrijpen hoe ik ART kan linken aan ons Newtoniaans dagdagelijks wereldbeeld.

[flappelap]

Ik snap nog steeds niet waarom je dit wilt doen. In de Newtonse limiet wordt de ruimte immers effectief vlak (omdat vanwege de lage snelheid alle kromming van de ruimte hogere orde wordt), waarmee je effectief t en r globaal als fysieke afstanden kunt interpreteren. Ik snap dus niet zo goed wat je exact bedoelt met "aangepaste Newtoniaanse fysica" anders dan de gebruikelijke Newtonse limiet van de ART. Of probeer je een post-Newtonse expansie te beschrijven, zoals hier:

https://en.wikipedia.org/wiki/Post-Newtonian_expansion

?

Maar goed, je uitdrukkingen hierboven zijn inderdaad de fysieke tijdsduren en radiële lengtes die een waarnemer zou meten met een klok en meetlat in een Schwarzschild-achtergrond. Die eerste uitdrukking is echter een nogal nare integraal met logaritmen erin (die tweede is uiteraard eenvoudig).

[flappelap]

Ben je hier naar op zoek?

[wnvl1]

Of probeer je een post-Newtonse expansie te beschrijven, zoals hier:

https://en.wikipedia.org/wiki/Post-Newtonian_expansion

?

Dat is wat ik bedoel, ik ben echter niet altijd even vertrouwd met het jargon. Het was ook al weer even geleden dat ik nog eens ART gedaan heb. Ik was nu wat meer aan het concentreren op QFT.

[wnvl1]

Wat ik bedoelde correspondeert eigenlijk een beetje met wat Schutz doet op p292 waar hij spreekt over isotrope coördinaten.

Voor grote waarden r vereenvoudigt hij de transformatie wel naar \(\bar{r}=r-M\) in vergelijking (11.46). Zijn \(\bar{r}\) correspondeert dan min of meer (niet helemaal want hij gaat niet naar de Minkowski metriek maar het scheelt niet veel) met mijn \(r_{Minkowski}\) en zijn \(r\) met de \(r_{Schwarschild}\). Zo herschrijft hij de Schwarzschild metriek naar de vorm (11.43) van de gelineariseerde Newtoniaanse verre velden metriek.

[HansH]

kunnen we voordat we het gaan simuleren al uit de formules nu zien wat de perihelium precessie van mercurius veroorzaakt?

[wnvl1]

Het hangt ervan af wat je wil doen. De eenvoudigste oplossing voor de baan van mercurius is vertrekken van de Schwarzschild metriek en dan de baan berekenen met behoud van impuls en energie zoals dat bvb gebeurt is Schutz (staat overal online op het internet). Deze berekeining maakt de perihelium verschuiving wel plausibel.

Je hebt ook de berekening van Einstein die het principe van Huyghens erbij gaat betrekken. Dat vergt heel wat tijd om die te doorgronden, en op het einde van de berekening ga je ook de draad kwijt zijn. Ik heb dat niet helemaal doorlopen.

Wat je kan doen om enige praktische voeling te verkrijgen is vertrekken van de EinsteinPy code en daar wat mee experimenteren.

https://docs.einsteinpy.org/en/stable/e ... etime.html

De code staat hierboven helemaal klaar. Je kan daarna een keer proberen met een Schwarzschild metriek waarbij de kromming van tijd is weggelaten en een waarbij de kromming van ruimte is weggelaten. Fysich is dat natuurlijk fout, maar dat kan mogelijk enige voeling geven met wat het effect is van ruimtekromming en tijdkromming.