Veeltermfunctie

[PhilipVoets]

Als voor alle natuurlijke getallen n geldt dat:

f(2^n - 1) = 4n^2n - 1

Gegeven is dat we zoeken naar een veeltermfunctie, welke?
Het lijkt me iets in de richting van f(x) = x^4 + …, aangezien geldt: (2^n)^4 = 4^2n, maar iemand die de rest van de functie paraat heeft?
Ik dacht nog aan het uitsplitsen naar ((2^n)^2 - 1) ((2^n)^2 + 1), maar dat levert me ook weinig op..

[PhilipVoets]

De vraag achter de vraag is wat f(2) is. Ik kom dan uit op 80, namelijk: 2^n - 1 = 2 geeft n = log(3)/log(2), waarbij geldt: 4^2log(3)/log(2) - 1 = 80, maar waarschijnlijk is het ook mogelijk om te bedenken hoe de veeltermfunctie f(x) eruit ziet en dan x = 2 daar in te vullen …

[wnvl1]

hint:

$$4n^{2n} - 1=(2n^n - 1)(2n^n + 1)=(2n^n - 1)(2n^n - 1 +2)$$

[PhilipVoets]

Ik zie dat ik het in de gauwigheid nog verkeerd genoteerd heb ook, excuses: moet zijn dat geldt voor iedere natuurlijke n dat: f(2^n - 1) = 4^2n - 1, dus niet 4n^2n. Maar goed, dan geldt nog steeds natuurlijk (aangezien: 4^2n = (2^2)^2n = (2^2n)^2): 4^2n - 1 = (2^2n - 1)(2^2n + 1) = (2^2n - 1)(2^2n - 1 + 2). Aangezien je dan nog steeds met dat kwadraat zit, kun je alleen niet eenvoudig substitueren x = 2^n - 1…

[PhilipVoets]

hint:

$$4n^{2n} - 1=(2n^n - 1)(2n^n + 1)=(2n^n - 1)(2n^n - 1 +2)$$

Of mis ik iets?

[wnvl1]

Ja, ik denk dat het met mijn hint zo goed als opgelost is. Stel x gelijk aan \(2n^n-1\) in het rechterlid van de formule.

[PhilipVoets]

De functie in kwestie is: f(2^n - 1) = 4^2n - 1

Dan geldt toch: 4^2n - 1 = (2^2n - 1)(2^2n - 1 + 2)? Dan zit je toch met een kwadraat en kun je niet zomaar x = 2^n - 1 substitueren voor 2^2n - 1?

Bovendien, als de functie dan zou worden: f(x) = x(x + 2) geldt: f(2) = 8 en dat is niet correct…

[wnvl1]

Ik zie het probleem niet.

f(x)=x*(x+2)

[RedCat]

\(\small x = 2^n-1\)

\(\small f(x) = 4^{2n} - 1 = 2^{4n}-1 = (2^{2n}-1)(2^{2n}+1) = (2^n-1)(2^n-1+2)(2^{2n}+1)\)

Verder is

\(\small x^2 = (2^n-1)^2 = 2^{2n}-2\cdot 2^n + 1 \)

dus

\(\small x^2 + 2x + 2 = (2^{2n}-2\cdot 2^n + 1) + 2(2^n-1) + 2 \)

\(\small = 2^{2n} - 2\cdot 2^n + 1 + 2\cdot 2^n - 2 + 2 \)

\(\small = 2^{2n} + 1\)

en dit is de laatste factor van je polynoom.

Dus:

\(\small f(x) = (2^n-1)(2^n-1+2)(2^{2n}+1) = x(x+2)(x^2+2x+2)\)

waarmee

\(\small f(2) = 2\cdot 4 \cdot 10 = 80\)

[PhilipVoets]

Yes, dank! Dit is inderdaad de oplossing. Kwam overigens ook via de illegale route op f(2) = 80, namelijk door: 2^n - 1 = 2 —> n = log(3)/log(2) —> 4^2n -1 = 4^2log(3)/log(2) - 1 —> log(9)/log(2) = log(x)/log(4) —> x = 81 —> x - 1 = 80. Nogmaals, valt e.e.a op aan te merken, o.a. dat de voorwaarde voor natuurlijke getallen genegeerd wordt, maar het antwoord f(2) = 80 klopt

[RedCat]

... valt e.e.a op aan te merken, o.a. dat de voorwaarde voor natuurlijke getallen genegeerd wordt ...

Bovenstaande afleiding geldt voor alle \(\small n \in \mathbb{R}\), dus ook voor \(\small n \in \mathbb{N}\)

[PhilipVoets]

... valt e.e.a op aan te merken, o.a. dat de voorwaarde voor natuurlijke getallen genegeerd wordt ...

Bovenstaande afleiding geldt voor alle \(\small n \in \mathbb{R}\), dus ook voor \(\small n \in \mathbb{N}\)

Bedoel je mijn afleiding of de jouwe?

[RedCat]

Mijn afleiding.
Jouw berekening geldt voor \(\small n=\log_2(3)\) en is een mooie controle voor mijn afleiding.

[wnvl1]

hint:

$$4n^{2n} - 1=(2n^n - 1)(2n^n + 1)=(2n^n - 1)(2n^n - 1 +2)$$

Ik had blijkbaar de opgave verkeerd gelezen. Links is het grondtal 2, niet n.

[PhilipVoets]

hint:

$$4n^{2n} - 1=(2n^n - 1)(2n^n + 1)=(2n^n - 1)(2n^n - 1 +2)$$

Ik had blijkbaar de opgave verkeerd gelezen. Links is het grondtal 2, niet n.

Dat was mijn punt in mijn eerdere reacties Maar sowieso bedankt voor het meekijken