Nulpunten

[PhilipVoets]

De vierkantsvergelijking ax^2 + bx + c = 0 heeft wortels x1 en x2. Zij αx^2 + βx + 1 = 0 de vergelijking met wortels x1/x2 en x2/x1, dan is β gelijk aan?

Als ik uitga van -β/2α = ((-b + sqrt(D))/(-b - sqrt(D)) + (-b - sqrt(D))/(-b + sqrt(D)))/2 en dus: -β/α = (-b + sqrt(D))/(-b - sqrt(D)) + (-b - sqrt(D))/(-b + sqrt(D)), kom ik uit op:

β/α = 2 - b^2/ac

Maar waar laat ik die α dan? Het correcte antwoord moet namelijk zijn: β = 2 - b^2/ac. Is de lezing dat α = 1 of is de vraag verkeerd gesteld en wordt er bedoeld "(...) dan is β/α gelijk aan"?

[Xilvo]

De eerste vergelijking heeft wortels w₁ en w₂.
Die vergelijking is dan \((x-w_1)(x-w_2)=0=x^2-x(w_1+w_2)+w_1 w_2\)

De tweede heeft wortels \(\frac{w_1}{w_2}\) en \(\frac{w_2}{w_1}\)

Die vergelijking wordt dan \(x^2-x(\frac{w_1}{w_2}+\frac{w_2}{w_1})+\frac{w_2}{w_1}\frac{w_1}{w_2}=0\)

Omdat de laatste term 1 is moet ook α 1 zijn.

[PhilipVoets]

Ja, logisch. Die som- en productregel zitten niet meer echt vooraan in de gedachten. Dan klopt het vermoeden van alfa = 1. Verder eens met de oplossing?

[Xilvo]

Verder eens met de oplossing?

(nog) niet naar gekeken. Ik keek alleen of α inderdaad 1 was.

[Bart23]

Met som- en productregel kom ik op hetzelfde:

\(P=\frac{1}{\alpha}=\frac{x_1}{x_2}\cdot\frac{x_2}{x_1}=1\Rightarrow \alpha=1\)

\(S=-\frac{\beta}{\alpha}=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(-\frac{b}{a})^2}{\frac{c}{a}}-2=\frac{b^2}{ac}-2\)

Waaruit

\(\beta=2-\frac{b^2}{ac}\)