resonantiefrequentie massaveersysteem in vloeistof

[irArjan]

nee, die kan ik niet meten. vraag is ook even wat die dan voor invloed zou moeten hebben. heeft invloed op de demping van de resonantie denk ik. maar die demping gaat straks cecompenseerd worden via een constante amplitude regeling.

In principe is de eigenfrequentie van het massa-veer systeem afhankelijk van de demping. Zie bijvoorbeeld paragraaf 1.2.2 hier. Daar staat de formule van de eigenfrequentie met demping:

$$
\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}
$$

Hierbij is \(\omega_0\) de eigenfrequentie van het ongedempte systeem en \(\gamma\) de 'dempingsfactor', wat de exponent is van de e-macht waarmee je de gedempte trilling kan beschrijven:

$$
x(t) = e^{-\gamma t}A \cos(\omega_1 t - \beta)
$$

waarbij \(x(t)\) de uitwijking is (als functie van de tijd), A de amplitude van de trilling bij t=0, \(\omega_1\) dus de gedempte eigenfrequentie en \(\beta\) nog een fase hoek (niet relevant hier).

Dus hoge demping kan wel aardig wat invloed hebben op de eigenfrequentie. Je zou een tijdreeks moeten meten van de uitwijking (hoek) en daar een \(e^{-\gamma t}\) op moeten fitten zodat je een idee hebt van \(\gamma\) en dus de invloed op de eigenfrequentie.

[HansH]

Met potentiaal stroming kom je op een verassend simpele vergelijking:

$$
m^* = \frac{2}{3} \pi \rho R^3
$$

Met \(m^*\) dus de toegevoegde massa, \(\rho\) de dichtheid [edit]van de vloeistof[/edit] en \(R\) de straal van de bol. In het massa veer systeem hoef je dus alleen deze massa toe te voegen aan de bol om het antwoord te krijgen.

inmiddels heb ik wel het inzicht dat je de toegvoegde massa moet optellen bij de massa van de bol en er niet van af moet trekken zoals ik eerst dacht (gebaseerd op het feit dat het ontbrekende water ervoor moet zorgen dat het water eropmheen precies tegengesteld aan de bol beweegt.) maar het is natuurlijk de bol die d massa van het water moet versnellen, dus die kracht is dan in dezelfde richting als de kracht die kje op de bol moet uitoefenen.

maar het volume van een bol is $$
m^* = \frac{4}{3} \pi \ R^3
$$ dus 2 x zo groot als jij hier aangeeft. Het is mij daarom niet duidelijk waarom je maar de helft van het volume neemt en niet het hele volume.

[irArjan]

Simpel gezegd: dat komt uit de vergelijkingen .

Het is dus blijkbaar zo dat de volume van het water om de bol dat accelereert t.g.v. een versnellende bol gelijk is aan de helft van de volume van de bol.

[irArjan]

Het water om de bol versnelt natuurlijk niet allemaal evenveel. Vloeistof wat verder van de bol accelereert wat minder, vloeistof dicht bij de bol wat meer. Maar alles bij elkaar opgeteld is dat dus vergelijkbaar met de volume van een halve bol.

[HansH]

In principe is de eigenfrequentie van het massa-veer systeem afhankelijk van de demping. Zie bijvoorbeeld paragraaf 1.2.2 hier. Daar staat de formule van de eigenfrequentie met demping:

$$
\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}
$$

Hierbij is \(\omega_0\) de eigenfrequentie van het ongedempte systeem en \(\gamma\) de 'dempingsfactor', wat de exponent is van de e-macht waarmee je de gedempte trilling kan beschrijven:

$$
x(t) = e^{-\gamma t}A \cos(\omega_1 t - \beta)
$$

waarbij \(x(t)\) de uitwijking is (als functie van de tijd), A de amplitude van de trilling bij t=0, \(\omega_1\) dus de gedempte eigenfrequentie en \(\beta\) nog een fase hoek (niet relevant hier).

Dus hoge demping kan wel aardig wat invloed hebben op de eigenfrequentie. Je zou een tijdreeks moeten meten van de uitwijking (hoek) en daar een \(e^{-\gamma t}\) op moeten fitten zodat je een idee hebt van \(\gamma\) en dus de invloed op de eigenfrequentie.

dat klopt. ik heb de periodetijd gemeten aan de hand van een trilling van 10 periodes. de eerste trilling had een amplitude van ca 1cm en de 10e ringing had een amplitude van ca 1mm want ik kon die nog net waarnemen in de tijdsmeting. Daaruit zou je dus ongeveer de demping moeten kunnen bepalen. maar zoals al gezegd ga ik uiteindelijk het systeem elektronisch bijsturen zodat de demping elektronisch precies 0 gemaakt wordt. dus dan moet de frequentie weer gelijk zijn aan de ongedempte frequentie.

[HansH]

Het water om de bol versnelt natuurlijk niet allemaal evenveel. Vloeistof wat verder van de bol accelereert wat minder, vloeistof dicht bij de bol wat meer. Maar alles bij elkaar opgeteld is dat dus vergelijkbaar met de volume van een halve bol.

ok dus welliswaar is het verplaatste volume gelijk aan het volume van een hele bol (dat kan niet anders) maar zijn de versnellingen van het water rondom de bol een functie van de plaats en effectief gezien heb je dan een aandrijf kracht nodig die bepaald is door een soort effectieve versnelling en die versnelling is dan blijkbaar alles bij elkaar de helft van de versnelling van de bol. als die factor 0.5 constant is dan zou dan heel mooi zijn.
Je zou dat kunnen testen door een ballonetje aan een draadje in een bak water te houden en dan krijg je een slinger op zijn kop. De massa van het ballonnetje is verwaarloosbaar dus hou je alleen het effect van het verplaatste water over in de DV komt dan een factor 0.5 dus zou de slingerfrequentie dan een factor wortel 2 moeten schelen tov die van dezelfde ballon gevuld met water (even aannemen dat die dan rond blijft) aan dezelfde slingerlengte.

[HansH]

misschien handig om dat proefje met een pingongballetje te doen

[wnvl1]

Ik zie in de link van irArjan, dan die formule volgt uit een oplossing van de Navier Stokes vergelijkingen voor het eenvoudige geval van een rotatievrije stroming van een homogene, onsamendrukbare, niet-viskeuze vloeistof.

Dat is een model met andere uitgangspunten dan wanneer je werkt met een C die je berekent op basis van evt. het Reynoldsgetal.

https://en.wikipedia.org/wiki/Drag_equation

Vraag is, welk model is hier van toepassing?

[wnvl1]

dat klopt. ik heb de periodetijd gemeten aan de hand van een trilling van 10 periodes. de eerste trilling had een amplitude van ca 1cm en de 10e ringing had een amplitude van ca 1mm want ik kon die nog net waarnemen in de tijdsmeting. Daaruit zou je dus ongeveer de demping moeten kunnen bepalen. maar zoals al gezegd ga ik uiteindelijk het systeem elektronisch bijsturen zodat de demping elektronisch precies 0 gemaakt wordt. dus dan moet de frequentie weer gelijk zijn aan de ongedempte frequentie.

Door 2 punten kan je altijd een exponentiële functie fitten. Je moet veel meer punten nemen en kijken wat dan de afwijking is tov een exponentiële fitting en ook veel meer amplitudes. Dat is dan bepalend of het lineaire model van irArjan van toepassing is of dat het niet-lineaire model met dragforce evenredig met snelheid in het kwadraat beter is. Dat laatste is wel moeilijker te fitten.

[irArjan]

ok dus welliswaar is het verplaatste volume gelijk aan het volume van een hele bol (dat kan niet anders) maar zijn de versnellingen van het water rondom de bol een functie van de plaats en effectief gezien heb je dan een aandrijf kracht nodig die bepaald is door een soort effectieve versnelling en die versnelling is dan blijkbaar alles bij elkaar de helft van de versnelling van de bol. als die factor 0.5 constant is dan zou dan heel mooi zijn.

Precies!

Je zou dat kunnen testen door een ballonetje aan een draadje in een bak water te houden en dan krijg je een slinger op zijn kop. De massa van het ballonnetje is verwaarloosbaar dus hou je alleen het effect van het verplaatste water over in de DV komt dan een factor 0.5 dus zou de slingerfrequentie dan een factor wortel 2 moeten schelen tov die van dezelfde ballon gevuld met water (even aannemen dat die dan rond blijft) aan dezelfde slingerlengte.

Mja, als praktische beperking denk ik dat dan de wrijving relatief heel groot wordt wat roet gaat gooien in deze meting. Ook vermoed ik dat de 'toegevoegde massa' zich niet precies hetzelfde gedraagt als de massa aan een slinger. In tegen tot een bol is de beweging van het water niet beperkt door de arm van de slinger en kan het dus in alle richtingen versnellen.

Mijn gevoel is dat de analyse met 'toegevoegde massa' alleen werkt als de massa van de bol een stuk hoger is dan de 'toegevoegde massa'. Hoe hoog weet ik niet, zal je met experimenteren achter moeten komen. Maar mijn gevoel is dat de bol minimaal 70-90% moet zijn van de totale massa inclusief de toegevoegde massa.

[wnvl1]

Ook vermoed ik dat de 'toegevoegde massa' zich niet precies hetzelfde gedraagt als de massa aan een slinger.

De voorwaarde rotatievrij die gebruikt wordt in jouw boek, zal vermoedelijk ook niet opgaan bij zo een slinger.

[HansH]

ik heb het net uitgetest.

een bakje met een oogje wat ik nog had liggen. eerst leeg op zijn kop in een bak water laten slingeren en de slinger een beetje aangedreven zodat die in zijn natuurlijke frequentie ging slingeren met constante kleine amplitude: daar kwam uit ca 125 slingeringen per minuut.
toen zelfde herhaald met het bakje helemaal gevuld met water zodat er geen luchtbelltje meer inzaten toen als gewone slinger op dezelfde manier maar dan in de lucht. daar kwam ook uit ca 125 slingeringen per minuut.
dus geen verschil, dus daaruit zou je moeten concluderen dat de toegevoegde massa gelijk is aan 1 x de verplaatste hoeveelheid water en nier 0.5. want wortel 2 ligt te ver van af om het met onnauwkeurigheden/meetfouten te kunnen verklaren.

[irArjan]

'rotatie vrij' betekent inderdaad geen vorticiteit. In een grenslaag, zoals deze zich om de bol zal vormen, zit per definitie vorticiteit. Net zoals in de wake die de bol in het water trekt (het gevolg van zowel de grenslaag als de losgelaten stroming rondom de bol).

Dus het moge duidelijk zijn dat dit slechts een benadering is, vandaar mijn eerdere opmerking over de nauwkeurigheid. Maar misschien snijdt het hout als de toegevoegde massa relatief klein is. Hoe kleiner deze toegevoegde massa echter is, hoe minder gevoelig de methode natuurlijk wordt voor dichtheidsverschillen. Dus dit is een balans.

Het model met drag coefficient is niet compleet omdat de massa alleen die van de bol is. Volgens dat model zal de frequentie in water gelijk zijn als in lucht. Dit is zeker niet zo (zoals HansH al in zijn metingen heeft aangetoond). Maar je kan dat model natuurlijk makkelijk aanpassen met een model voor toegevoegde massa, dan heb je een nog completer model. Maar ik zou de focus op de metingen houden, e.e.a. wordt al snel ingewikkeld in de vloeistofmechanica.

[HansH]

Hoe kleiner deze toegevoegde massa echter is, hoe minder gevoelig de methode natuurlijk wordt voor dichtheidsverschillen. Dus dit is een balans.

het gaat juist om de toegevoegde massa want alleen daarin zit de informatie over de vloeistofdichtheid. Daarom denk ik bij nader inzien dat het waarschijnlijk het beste is om de massa van het bolletje zo laag mogelijk te kiezen zodat je alleen maar de toegevoegde massa hebt. dat betekent dus een slinger, veer met drijver of torsiesysteem op zijn kop rustend op de bodem. een slinger aan een draadje op basis van toegevoegde massa gaat dan waarschijnlijk niet werken omdat in de DV dan de dichtheid van de vloeistof in zowel de uitwijking als in de versnellingsterm op dezelfde manier voorkomt dus valt tegen elkaar weg. dus dan zou je in de uitwijkingsterm alleen de veerconstante van een veer moeten hebben.

[irArjan]

het gaat juist om de toegevoegde massa want alleen daarin zit de informatie over de vloeistofdichtheid. Daarom denk ik bij nader inzien dat het waarschijnlijk het beste is om de massa van het bolletje zo laag mogelijk te kiezen zodat je alleen maar de toegevoegde massa hebt.

Zoals ik zei: het is een balans. Nu neem je de ene extreme van deze balans. Het nadeel daarvan is volgens mij dat andere effecten, zoals die van viscositeit, dan relatief veel belangrijker gaan worden. Aangezien visceuze effecten afhankelijk zijn van de snelheid zal jouw resultaat dus sterker van de snelheid waarmee het systeem door het water beweegt afhangen waarvoor je dan weer moet corrigeren, je moet die snelheid iig onder controle hebben. Dit betekent dat het complexer wordt om een goede meting te maken.

[edit]
en de meting wordt dan dus sterker afhankelijk van de viscositeit, en aangezien de verschillende vloeistoffen die je wilt meten ook een andere viscositeit hebben meet je dus zowel het effect van een andere viscositeit als van een andere dichtheid.
[/edit]

Het andere extreme van deze balans is als je de massa van de bol heel hoog neemt. Dan is de signaal/ruis verhouding laag waardoor het ook moeilijker is om een goede meting te maken.

Volgens mij moet je ergens in het midden zijn.